安徽省霍邱县第一中学2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题（原卷版+解析版）

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（考试总分：150 分 考试时长： 150 分钟）
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1. 已知函数，则在处的瞬时变化率为（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由瞬时变化率定义可知，直接求即可.
【详解】由题可知，则
故选：C
2. 在的展开式中，的系数为（ ）
A 8B. 28C. 56D. 70
【答案】C
【解析】
【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可求解.
【详解】展开式的通项为，
令，解得，
故的系数为.
故选：C.
3. 法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理:若函数在闭区间上是连续不断的，在开区间上都有导数，则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”.函数在区间上的“拉格朗日中值”（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“拉格朗日中值”定义可得，解得.
【详解】由题可知，结合“拉格朗日中值”的定义可得，
即，所以.
故选：A
4. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对求导，得到，令可得到，从而，即可求出结果.
详解】由题知，所以，得到，
所以，得到，
故选：B.
5. 在2024年第22届上海国际茶博会中，某展区展出6种茗茶，分别是武夷山大红袍、西湖龙井、安溪铁观音、普洱茶、正山小种、福鼎白茶.将这6种茶排成一排，若武夷山大红袍和西湖龙井不能相邻，则不同的排序方法有（ ）
A. 240种B. 280种C. 340种D. 480种
【答案】D
【解析】
【分析】不相邻问题插空法，先将其它4种茶排序，再将武夷山大红袍和西湖龙井插入5个空，即可.
【详解】先将除武夷山大红袍和西湖龙井之外的4种茶排序，形成5个空，
再将武夷山大红袍和西湖龙井插入5个空，则不同的排法有种.
故选：D.
6. 若函数在上单调递增，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意将问题转化为在上恒成立，构造函数，利用导数求出最大值即可.
【详解】由题可知，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
令 ，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值，即最大值，
因为，所以.
故选：B
7. 把6个不同的小球随机放入3个不同的盒子中，若每个盒子中至少有1个小球，则不同放法的种数为（ ）
A. 540B. 630C. 1080D. 1260
【答案】A
【解析】
【分析】根据排列组合中的分组分配问题求解即可.
【详解】将6个不同的小球按要求放有三种方案：4:1:1，3:2:1，2:2:2，
则所有的放法有种.
故选:A.
8. 已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】先根据导数判断函数的单调性，然后利用函数单调性对已知不等式变形，再通过构造新函数进行求解即可.
【详解】由题可知，，
由于，故在上恒成立，
故在上单调递增，
因为，
所以，即恒成立，
令，，
则，
由可得，，由可得，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
即，
故 ，解得
故实数的最小值为.
故选：B
二、 多选题 （本题共计3小题，总分18分）
9. 下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】对A、B：借助排列数与组合数的计算公式计算即可得；对C：借助组合数的性质及等差数列求和公式计算即可得；对D：借助二项式定理计算即可得.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：因为
，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：BD
10. 已知函数，则（ ）
A. 有3个不同的零点
B. 在区间和上单调递增
C. 不存在，使得
D. 存在唯一的，使得
【答案】ABD
【解析】
【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到的图象，数形结合即可判断A、B、C，依题意有解，画出与的图象，数形结合即可判断D.
【详解】设，则，令，可得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，当时，，
所以的大致图象如图（1），由图可知A、B正确，C错误.
存，使得，即有解，
画出与的图象如图（2）所示：
数形结合可知存在且唯一，故D正确.
故选：ABD
11. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用赋值法即可求解ACD，根据4个个2或者选2个个即可求出展开式中的系数判断B.
【详解】令，则;令，则，
所以，故C错误;
令，则，又，
以上两式相加可得，所以，
所以，故正确;
因为是的展开式的系数和，
所以令，则，
所以，故D正确;
因为表示5个的乘积，
所以选4个个2或者选2个个即可求出展开式中的系数为，
则，故B错误.
故选：AD
三、 填空题 （本题共计3小题，总分15分）
12. 已知函数的图象在处的切线与直线平行，则实数______
【答案】
【解析】
【分析】对函数求导，求出，结合已知条件两直线平行斜率相等，得：，解出值即可.
【详解】由题可知，所以，
又直线的斜率为，所以，解得：.
故答案为：.
13. 从1，2，3，…，9这9个正整数中任意抽取3个不同的正整数，，，则它们的积能被4整除的情况共有______种.
【答案】54
【解析】
【分析】分三类情况，分别考虑一个偶数，两个偶数以及三个偶数，利用排列组合即可求解.
【详解】若，，只有一个偶数，则能被4整除时，这个偶数为4或者8，再从剩下5个奇数中选2个奇数，则有,
若，，有两个偶数，一个奇数，则能被4整除，此时有，
若，，三个均为偶数，则，
故满足条件的所有情况为，
故答案为：
14. 已知关于的方程有且只有两个实数根，则实数的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】由题意构造函数，对该函数求导，并利用导数求得单调区间与极值，再画出函数图象，即可求得的取值范围.
【详解】原方程可变形为，
令函数，则，
令，得或，
当或时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极大值，且极大值为，
当时，取得极小值，且极小值为，
又当趋向于时，趋向于0，当趋向于时，趋向于，
所以的大致图象如图，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求参数的范围问题.本题的关键点是方程有且只有两个方程，构造函数，结合导数求得单调区间与极值，从而得到函数的大致图象，即可求得参数的取值范围.
四、 解答题 （本题共计5小题，总分77分）
15. 已知.
（1）若展开式的第3项和第5项的二项式系数相等，求的值，并求常数项;
（2）若展开式中所有项的系数之和为81，求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】（1），60；
（2）.
【解析】
【分析】（1）分别表示出展开式的第3项和第5项的二项式系数，利用相等关系列出方程解出，通过展开式的通项，求出常数项即可；
（2）令，结合已知条件，求出所有项的系数之和为，解出，根据二项式系数的单调性，即可求解.
【小问1详解】
因为展开式的第3项和第5项的二项式系数相等，
所以，即，，
整理得，解得或（舍），
所以展开式的通项为，
令，得，
故常数项为.
【小问2详解】
令，得所有项的系数之和为，解得.
由于是偶数，所以展开式中共有5项，且第3项的二项式系数最大，
所以展开式中二项式系数最大的项为.
16. 已知函数，点在的图象上.
（1）求曲线在点处的切线方程;
（2）设函数，求在上的值域.
【答案】（1）.
（2）.
【解析】
【分析】（1）对求导，求出，由导数的几何意义求解即可；
（2）对求导，得到的单调性，比较的极值点和端点值的大小，即可得出答案.
【小问1详解】
由题知，即，得.
所以，
，则.
故曲线在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
由题可知，则.
令，可得.
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，取得极大值，，
当时，取得极小值，，
又，
所以在上的值域为.
17. 现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如346和157都是三位“幸福数”）.
（1）求三位“幸福数”的个数；
（2）如果把所有的三位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第80个三位“幸福数”.
【答案】（1）个
（2）589
【解析】
【分析】（1）由幸福数的定义结合组合公式求解即可；
（2）分类讨论最高位数字，由组合公式结合分类加法计数原理得出第80个三位“幸福数”.
【小问1详解】
根据题意，可知三位“幸福数”中不能有0，
故只需在数字1，2，3，…，9中任取3个，将其从小到大排列，即可得到一个三位“幸福数”，每种取法对应1个“幸福数”，则三位“幸福数”共有个.
【小问2详解】
对于所有的三位“幸福数”，1在最高数位上的有个，
2在最高数位上的有个，
3在最高数位上的有个，
4在最高数位上的有个，
5在最高数位上的有个.
因为，
所以第80个三位“幸福数”是最高数位为5的最大的三位“幸福数”，为589.
18. 已知函数.
（1）若，求的最小值；
（2）若在区间上没有极值，且在上的最大值与最小值之差大于5，求实数的取值范围.
【答案】（1）0； （2）.
【解析】
【分析】（1）利用导数判断函数单调性，从而求出最值；
（2）针对导函数，分析讨论参数的范围，从而确定函数在指定区间的单调性，进而求实数的取值范围即可.
【小问1详解】
若，则，.
令，得.
当时，；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数取得最小值，最小值为.
【小问2详解】
设在[1,2]上的最大值为，最小值为，依题意得.
因为，
①若，则在[1,2]上单调递增.
此时，所以，得.
②若，则在[1,2]上单调递增，所以，
从而在[1,2]单调递增，同①可得，矛盾.
③若，由，得，当时，单调递减，
当时，单调递增，有极小值，不符合题意.
④若，则在[1,2]上单调递增，所以，
从而在[1,2]上单调递减，
此时，所以，得.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：本题解题可从以下方面入手：
（1）在函数的定义域内，使用导数求解函数的单调性；
（2）针对导函数，分析讨论参数的范围，确定函数在指定区间的单调性，从而求实数的取值范围.
19. 已知函数.
（1）当时，证明：；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）对所证不等式等价变形为，构造函数，利用导数求解函数最值，即可证明
（2）把恒成立化简为不等式恒成立，根据和分类讨论，当时，参变分离，构造函数，利用导数研究函数的最值即可求解参数范围.
【小问1详解】
当时，要证，即证，即证.
设，则，当时，，
所以在上单调递增，
所以，即，即，
故当时，.
【小问2详解】
由题可得不等式恒成立，其中.
①当时，不等式为，显然成立，符合题意.
②当时，有，
记，
则.
令，则，由（1）可得，
故在上单调递增，则，
故当时，单调递增，
当时，单调递减，
故.
综上可得，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．