北京市朝阳区2024届高三下学期质量检测二数学试题（原卷版+解析版）

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2024.5
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 设等差数列的前n项和为，若，，则 （ ）
A. 60B. 80C. 90D. 100
4. 已知抛物线的焦点为F，点P为C上一点.若，则点 P的横坐标为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
5. 已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知是两个互相垂直的平面，是两条直线，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 在平面直角坐标系中，锐角以为顶点，为始边.将的终边绕逆时针旋转后与单位圆交于点，若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力满足公式 ，其中是空气密度，是该飞行器的迎风面积，是该飞行器相对于空气的速度， 是空气阻力系数（其大小取决于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率. 当不变，比原来提高时，下列说法正确的是（ ）
A. 若不变，则比原来提高不超过
B. 若不变，则比原来提高超过
C. 为使不变，则比原来降低不超过
D. 为使不变，则比原来降低超过
9. 已知双曲线的右焦点为F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆上一点，线段FA与双曲线C的右支交于点B.若 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
10. 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共5 小题，每小题5分，共25分.
11. 复数满足，则的虚部是__________．
12. 已知向量，，且，则实数k=______.
13. 在的展开式中，若二项式系数的和等于，则________，此时的系数是_______.（用数字作答）
14. 若直线与曲线 有两个不同的交点，则实数的一个取值为_______.
15. 设为正整数，已知函数，，. 当时，记，其中. 给出下列四个结论：
①，；
②，；
③若，则；
④若，则.
其中所有正确结论的序号是________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中，为锐角，且
（1）求的值;
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求.
条件①:
条件②:;
条件③:.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
17. 科技发展日新月异，电动汽车受到越来越多消费者的青睐.据统计，2023 年1月至12月 A，B两地区电动汽车市场各月的销售量数据如下：
月销量比是指：该月 A 地区电动汽车市场的销售量与B 地区的销售量的比值（保留一位小数）.
（1）在2023年2月至12月中随机抽取1个月，求 A 地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量的概率；
（2）从2023 年1月至12月中随机抽取3个月，求在这3个月中恰有1个月的月销量比超过8且至少有1个月的月销量比低于5的概率；
（3）记2023年1月至12月 A，B 两地区电动汽车市场各月销售量数据的方差分别为，，试判断与的大小.（结论不要求证明）
18. 如图，六面体是直四棱柱 被过点 的平面所截得到的几何体，底面，底面是边长为2的正方形，

（1）求证: ；
（2）求平面. 与平面 的夹角的余弦值；
（3）在线段 DG上是否存在一点 P，使得 若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
19. 已知椭圆E的两个顶点分别为，，焦点在x轴上，且椭圆E过点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设O为原点，不经过椭圆E的顶点的直线l与椭圆E交于两点，直线BP与直线OC交于点H，点M与点Q关于原点对称.
（i）求点H的坐标（用，表示）；
（ii）若A，H，M三点共线，求证：直线l经过定点.
20 已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求a的值；
（3）若有两个不同的零点，且，求a的取值范围.
21. 设为正整数，集合对于，设集合.
（1）若，写出集合；
（2）若，且满足令 ，求证： ；
（3）若，且 ，求证： .

1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
A 地区
（单位：万辆）
29.4
39.7
54.3
49.4
56.2
65.4
61.1
68.2
70.2
71.9
771
89.2
B 地区
（单位：万辆）
7.8
8.8
8.1
8.3
9.2
10.0
97
9.9
10.4
9.4
8.9
101
月销量比
3.8
4.5
6.7
6.0
6.1
6.5
6.3
6.9
6.8
7.6
8.7
8.8