湖南省益阳市2023-2024学年高三下学期4月联考（三模）数学地理试卷

这是一份湖南省益阳市2023-2024学年高三下学期4月联考（三模）数学地理试卷，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学
（时量：120 分钟满分：150 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
6．2023 年的某一天某红酒厂商为了在线出售其红酒产品，联合小 Y 哥直播间，邀请某“网红”来现场带货．在
带货期间，为吸引顾客光临直播间、增加客流量，发起了这样一个活动：如果在直播间进来的顾客中，出现生日相同的顾客，则奖励生日相同的顾客红酒 1 瓶．假设每个随机来访的顾客的出生日期都是相互独立的，并且每个人都等可能地出生在一年（365 天）中任何一天（2023 年共 365 天），在 n 远小于 365 时，近似地
7．如图所示，4 个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4 个球之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中 4 个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一
1．已知 i 为虚数单位，若 1  i z  2 ，则
 （
z
）
A．1  i
B．1  i
C． 1  i
D． 1  i
2．已知 a  0, f x  
1
ax2  bx ，则 x0 是方程 ax  b 的解的充要条件是（
）
2
A． x R, f x   f x0 
B． x R, f x   f x0 
C． x R, f x   f x0 
D． x R, f x   f x0 
3．顶角为 36°的等腰三角形，常称为“最美三角形”．已知 cs 36 
1 
，则“最美三角形”的底边长
5
4
与腰长的比为（
）
A．
1 
B．
1 
C．
1 
1 
5
5
5
D．
5
2
2
4
4
4．已知数列an 满足 anan1  2n n  N*  且 a1  1 ，则 a9  （
）
A．128
B．64
C．32
D．16
5．已知双曲线
x2

y
2
 1(m  0, n  0) 与椭圆
x2

y2
 1 有相同的焦点，则
4

1
的最小值为（
）
m
n
4
3
m
n
A．6
B．7
C．8
D．9
 n1

k

n1
k
n
ln 1 

 
， ln2
 0.693
，其中 
ai  a1
 a2
  an ．如果要保证直播间至少两个人
365
365
 k 0


k 0
的生日在同一天的概率不小于
1
，那么来到直播间的人数最少应该为（
）
2
A．21
B．22
C．23
D．24
种金属原子并和原来的 4 个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为 rA ，另
一种金属晶体的原子半径为 rB ，则 rA 和 rB 的关系是（）
A． 2rB  3rAB． 2rB  6rAC． 2rB  3 1rAD． 2rB  6  2 rA
8．已知 f x的定义域为 0, , f x  是 f x的导函数，且 x2 f x   2xf x   lnx ， 2ef e  1 ，则
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分．
9．下列命题中，正确的是（）
B．函数 v x  x2  2x  2 与 u t   t2  2t  2 是同一函数
C．函数 y  f x 的图象与直线 x  2024 的图象至多有一个交点
10．如图 1 所示，为曲杆道闸车库出入口对出人车辆作“放行”或“阻拦”管制的工具．它由转动杆 OP 与横
杆 PQ 组成，P,Q 为横杆的两个端点．在道闸抬起的过程中，横杆 PQ 始终保持水平．如图 2 所示，以点 O 为
原点，水平方向为 x 轴正方向建立平面直角坐标系．若点 O 距水平地面的高度为 1 米，转动杆 OP 的长度为
1.6 米，横杆 PQ 的长度为 2 米，OP 绕点 O 在与水平面垂直的平面内转动，与水平方向所成的角 30,90

1


1


1

f 
, f
sin

, f  tan

的大小关系是（
）
3
4
2






 1


1 

1 

1 

1 

1 
A． f 


f sin


f
 tan

B． f sin


f 


f
 tan

3
4
4
2





2 



3 



1


1 

1 

1 

1


1 
C． f  tan

 f 


f
sin

D． f sin


f  tan

 f 

2
3
4
2
3





4 






x
1,当x  0时,
A．函数 v x  
与 u x   0,当x  0时, 表示同一函数
x

1,当x  0时
D．函数 f x  
x 1


1

 x ，则 f 
f 

 0
2



（）
图 1图 2
C．若 OP 绕点 O 从与水平方向成 30 角匀速转动到与水平方向成 90 角，则横杆 PQ 距水平地面的高度为 135 米
D．若 OP 绕点 O 从与水平方向成 30 角匀速转动到与水平方向成 90 角，则点 Q 运动轨迹的长度为 135 米11．在 △ABC 中，角 A, B, C 所对的边依次为 a, b, c ，已知 sinA : sinB : sinC  2 : 3: 4 ，则下列结论中正确
的是（）
A． a  b: b  c: c  a   5 : 6 ：
B． △ABC 为钝角三角形
C．若 a  b  c  18 ．则 △ABC 的面积是 615
D．若 △ABC 的外接圆半径是 R ，内切圆半径为 r ，则 5R  16r
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．在平面直角坐标系中，已知点 F1 1,0, F2 1,0，若 P 为平面上的一个动点且 PF1  2 PF2 ，则点 P
运动所形成的曲线的方程为______．
64

4

 4
8
2
2
3

A．则点 P 运动的轨迹方程为 x
 ( y
1)

（其中 x  0,

, y 

,

）
25

5

 5
5

64

10  4

4
8 
2
2
3

B．则点 Q 运动的轨迹方程为 ( x
 2)
 y

（其中 x  2,

, y
 
,

）
25
5
5
5




13 ． 已
知
(1 
62 x)99  (62 
x)99  a0  a1 x  a2 x2  a59 x99
， 且
a0 , a1, a2 ,, a99  R
， 则 满 足
ak
 0(k
 N 且 0 
k
 99) 的 k 的最大值为______．
14
．已
知函
数
f x
的定义
域为
, 
．对
任
意
的
x, y  R
恒有
f x  y  f
x  y    f 
x  
f  y   f  
x  
f  y 
，且
f 1  2, f
2  0
．则
2023  f 2024  ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分 15 分）
新鲜是水果品质的一个重要指标。某品牌水果销售店，为保障所销售的某种水果的新鲜度，当天所进的水果如果当天没有销售完毕，则第二天打折销售直至售罄．水果销售店以每箱进货价 50 元、售价 100 元销售该种水果，如果当天卖不完，则剩下的水果第二天将在原售价的基础上打五折特价销售，而且要整体支付包装更换与特别处理等费用 30 元．这样才能保障第二天特价水果售罄，并且不影响正价水果销售，水果销售店经理记录了在连续 50 天中该水果的日销售量 x（单位：箱）和天数 y（单位：天）如下表所示：
日销售量 x（单位：箱）2223242526
天数 y（单位：天）10101596
（1）为能减少打折销售份额，决定 70%地满足顾客需求（即在 100 天中，大约有 70 天可以满足顾客需求）．请根据上面表格中的数据，确定每天此种水果的进货量 t 的值。（以箱为单位，结果保留一位小数）
（2）以这 50 天记录的日需求量的频率作为日需求量的概率，设（1）中所求 t 的值满足 t n0 , n0 1n0  N* ，
请以期望作为决策依据，帮销售店经理判断每天购进此种水果是 n0 箱划算还是 n0  1箱划算？
17．（本小题满分 15 分）
如图所示，四边形 ABCD 为梯形， AB∥CD, AB  2, AD  DC  CB  1 ，以 AC 为一条边作矩形 ACFE ，
CF  1，平面 ACFE  平面 ABCD ．
（1）求证： BC  AF ；
（2）甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为 0    90 ，其中一个平面
内的图形 G 在另一个平面上的正投影为 G ，它们的面积分别记为 SG 和 SG ，则 SG  SG  cs ．乙同学利用
甲的这个结论，发现在线段 EF 上存在点 M ，使得 S△MAB  26 ．请你对乙同学发现的结论进行证明．
18．（本小题满分 17 分）
已知直线 y  ax(a  0) 与椭圆 C : x2  y2  1 相交于点 P,Q ，点 P 在第一象限内， F1, F2 分别为椭圆的左、
43
15．（本小题满分 13 分）
已知 a, b 为正实数，构造函数 f x  
lnx
．若曲线 y  f x 在点 1, f 1
处的切线方程为 y 
1
ax  b ．
ax  b


2
（1）求 a  b 的值；
（2）求证： f x  
2

1
．
x 1
x
右焦点．
（1）设点 Q 到直线 PF1, PF2 的距离分别为 d1, d2 ，求 d1 的取值范围； d2
（2）已知椭圆 C 在点 P x0 , y0  处的切线为 l ．
（1）求证：切线 l 的方程为 x40x  y30y  1；
（2）设射线 QF1 交 l 于点 R ，求证： △F1RP 为等腰三角形．
19．（本小题满分 17 分）
我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组 a1, a2 表示；三维空间向盘可用三元有序数组 a1, a2 , a3 
表示．一般地，n 维空间向量用 n 元有序数组 a1, a2 ,, an 表示，其中 ak k  1,2,, n称为空间向量的第 k
个 分 量 ， k 为 这 个 分 量 的 下 标 ． 对 于 n n  3 维 空 间 向 量 a1, a2 ,, an  ， 定 义 集 合
Am  k∣ak  m, k  1,2,, n．记 Am的元素的个数为 A m  （约定空集的元素个数为 0）．
（1）若空间向量 a1, a2 , a3, a4 , a5 , a6 , a7 , a8   6,3,2,5,3,7,5,5，求 A5 及 A5 ；
则 ai  a j ；
（ 3 ）若空间向量 a1, a2 , a3 ,, an  的坐标满足 Aak 2  ak 1   k, a1  a2  1 ，当 n  3 时，求证：
a12  a22  an2  2an1an ．（2）对于空间向量 a1, a2 , , an ．若
1

1
 
1
 n ，求证：i, j 1,2, , n，若 i  j ，
Aa

A a

A a

1
2
n