北京市中关村中学2023~2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份北京市中关村中学2023~2024学年七年级下学期期中数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页，满分100分．考试时长90分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．
第一部分
本部分共10题，每题3分，共30分．在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项．
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1. 下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据邻补角的概念进行判定即可得出答案．
【详解】解：A．与是对顶角，故选项不符合题意；
B．与是邻补角，故选项符合题意；
C．与不存在公共边，不是邻补角，故选项不符合题意；
D．与是同旁内角，故选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是邻补角的定义，熟练掌握邻补角的定义是解题的关键．
2. 的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根的意义求解即可.
【详解】∵32=9，
∴的算术平方根是.
故选B.
【点睛】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.正数a有一个正的算术平方根， 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根.该试卷源自 每日更新，享更低价下载。3. 下列各数中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】无理数是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判断．
【详解】解：A、，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、是无理数，故此选项符合题意．
故选∶D．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的数要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个1之间依次多1个0）等形式．
4. 小明读了：“子非鱼，焉知鱼之乐乎？”后，利用电脑画出了鱼儿的各种形态，请问：下图中所示的小鱼图案经过平移后得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平移的性质，平移不改变图形的形状，大小和方向，只改变位置，据此即可解答．
【详解】解：由平移不改变图形的形状、大小和方向可知，经过平移后得到的是选项B中的图案．
故选：B．
5. 如图，ABCD，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据邻补角的定义及平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵∠DCE+∠BCD=180°，∠DCE=130°，
∴∠BCD=50°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BCD=50°，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
6. 如图，四边形ABCD中，AC，BD交于点O，如果∠BAC＝∠DCA，那么以下四个结论中错误的是（ ）
A. AD∥BCB. AB∥CD
C. ∠ABD＝∠CDBD. ∠BAD＋∠ADC＝180°
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的判定与性质逐项判断即可得．
【详解】解：，
，选项B正确；
，，选项C、D均正确；
根据已知条件无法证出，选项A错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
7. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 对顶角相等
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 在同一平面内三条直线，，，如果，，那么
D. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、垂直的定义、平行线的性质等知识．利用对顶角的性质、垂直的定义、平行线的性质等知识分别判断后，即可确定答案．
【详解】解：A. 对顶角相等，该命题是真命题，不符合题意；
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该命题是真命题，不符合题意；
C. 在同一平面内三条直线，，，如果，，那么，该命题是真命题，不符合题意；
D. 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题是假命题，符合题意．
故选：D．
8. 如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，表示太和门的点的坐标为，表示九龙壁的点的坐标为，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（ ）
A. 保和殿B. 养心殿
C. 武英殿D. 景仁宫
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了点的坐标问题，解题关键是找出原点的位置．首先根据题意确定原点的位置，然后根据平面直角坐标系的特点找出各个选项的正确坐标，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，表示太和门的点的坐标为，表示九龙壁的点的坐标为，
可知原点位于中和殿表示的点，
所以，保和殿，养心殿，武英殿，景仁宫，
所以，选项B、C、D错误，不符合题意；选项A正确，符合题意．
故选：A．
9. 在平面直角坐标系xOy中，以O，A，B，C为顶点的正方形的边长为3.若点A在x轴上，点C在y轴的正半轴上，则点B的坐标为（ ）
A. （3，3）B. （3，﹣3）
C. （3，3）或（﹣3，3）D. （﹣3，﹣3）或（3，﹣3）
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的特征作出图形，结合图形直接得到答案．
【详解】解：如图，
由图象知，符合条件的点B的坐标为（3，3）或（﹣3，3）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，解题时，需要对A、B的位置进行分类讨论，以防漏解．
10. 在平面直角坐标系中，已知点，点在轴上，对于线段有如下四个结论：①线段的最小值是2；②线段的最大值是2；③线段可能经过点；④线段可能经过点．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查坐标与图形，根据y轴上的点的横坐标等于零，点到坐标轴的距离进而解答即可．
【详解】解：由题意，设，
①根据垂线段最短，可得当时，线段的最小值是2，说法正确；
②无法判断线段的最大值，原说法错误；
③∵点A与点形成的直线与y轴平行，∴线段一定不经过点，原说法错误；
④∵点A与点形成的直线与y轴不平行，线段可能经过点，说法正确．
说法正确的有①④，
故选：D．
第二部分
二、填空题（每小题2分，共16分）
11. 实数的相反数是____.
【答案】.
【解析】
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数.
【详解】实数的相反数是.
故答案为.
【点睛】考核知识点：相反数.理解定义是关键.
12. 点在轴上，则点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轴上点坐标的特征．熟练掌握轴上点坐标的横坐标为0是解题的关键．
由题意知，，可求，则，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
∴，
∴点坐标是，
故答案为：．
13. 如图，数轴上点A，B对应的实数分别是，2，点C在线段AB上运动，如果点C表示无理数，那么点C可以是________（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据点C在线段AB上运动，得到点C表示的数的取值范围，写出一个无理数即可．
【详解】解：∵点C在线段AB上运动，
∴点C表示的数在-1和2之间，
∴点C表示的数可以是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查了数轴与实数关系，无理数大小的估算，根据题意估算出点C表示的数的取值范围是解题关键．
14. 如图，从位置P到直线公路MN共有四条小道PA、PB、PC、PD，若用相同的速度行走，能最快到达公路MN的小道是__________，理由是__________．
【答案】 ①. PB ②. 垂线段最短
【解析】
【分析】根据垂线段最短，即可求解
【详解】根据垂线段最短得，能最快到达公路MN的小道是PB，
故答案为：PB，垂线段最短．
【点睛】本题考查了直线外一点到直线的距离，熟练掌握直线外一点到直线的距离垂线段最短是解题关键．
15. 在平面直角坐标系中，如果过点和点B的直线平行于x轴，且，那么点B的坐标是______．
【答案】（-2,2）或（4,2）##（4,2）或（-2,2）
【解析】
【分析】根据平行于x轴直线上的点的坐标特点解答即可．
【详解】∵AB所在直线平行于x轴，点A的坐标为，
∴点B的纵坐标为2，
当点B在点A的左边时，
∵点B到点A的距离为3，
∴点B横坐标为，
∴点B的坐标为；
当点B在点A的右边时，
∵点B到点A的距离为3，
∴点B的横坐标为，
∴点B的坐标为，
∴点B的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查的是坐标与图象的性质，掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，横坐标之差的绝对值等于两个点间的距离是解题的关键．
16. 如图，直线，直线分别与直线，相交于点和点，过点作射线于，若，则的度数是______．
【答案】##33度
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，即两直线平行内错角相等找到相等的角，进而可求出的度数．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
故答案为：．
17. 如图，雷达探测器探测到三艘船，按照目标表示方法的规定，的位置分别表示为，，船的位置应表示为 _____________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解坐标的意义是解题关键．直接利用坐标的意义得出点坐标即可．
【详解】解：如图所示：船的位置应表示为，
故答案为：．
18. 将1，，，，按如图方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则所表示的数是______；与表示的两数之积是______．
【答案】 ①. ②. 2
【解析】
【分析】此题主要考查了数字的变化规律．根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每五个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算．
【详解】解：表示第7排从左向右第3个数，
，
，
则所表示的数是；
从图示中知道，所表示的数是；
第19排最后一个数的序号是：，则表示的是第个数，
，
表示的数是．
与表示的两数之积是：．
故答案：；．
三、解答题（本题共54分，第19-20题，每小题4分；第21-25题，每题5分；第26题6分；第27题7分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，
（1）根据运算法则先求立方根、平方根和去绝对值，再进行加减运算即可；
（2）根据运算法则先去括号，再进行加减运算即可；
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
20. 求出下列等式中的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查根据平方根和立方根的定义解方程．
（1）根据平方根的定义求解即可．
（2）根据立方根的定义应用求解即可．
【小问1详解】
解：系数化1，得．
∴，．
【小问2详解】
解：移项，得．
合并同类项，得．
∴．
∴．
21. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，将三角形平移后得到三角形，点，，的对应点分别为，，，且的坐标为．

（1）点的坐标为_____，点的坐标为_____；
（2）在平面直角坐标系中画出三角形，并写出一种平移方式：_____．
【答案】（1）；
（2）见详解，向左平移4个单位，向下平移2个单位．
【解析】
【分析】本题主要考查平移的性质，
（1）根据给定的A点平移坐标即可求得点B和C；
（2）根据平移点得到平移方式，并得到对应坐标点，顺次连接即可．
【小问1详解】
解：∵点平移后得到，
∴向左平移4个单位，向下平移2个单位；
∴，平移后得到，；
故答案为：，；
【小问2详解】
向左平移4个单位，向下平移2个单位
平移后如图，

故答案为：向左平移4个单位，向下平移2个单位．
22. 已知：如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数．
【答案】∠DOE＝110°
【解析】
【分析】根据邻补角的性质得到∠BOC＝140°，由角平分线的定义得到∠COE＝70°，再根据邻补角的性质可求出答案．
【详解】解：∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°−∠AOC＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝70°，
∴∠DOE＝180°−∠COE＝110°．
【点睛】本题考查的是邻补角的性质，角平分线的定义，掌握邻补角的和等于180°是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系中，已知点，，，且．
（1）直接写出点，的坐标；
（2）若三角形的面积为6，求的值．
【答案】（1），；
（2）或
【解析】
【分析】本题考查图形与坐标，非负数的性质．
（1）根据非负数的性质求出a和b的值，即可求解；
（2）根据三角形的面积和高，可得三角形的底为6，据此即可求解．
【小问1详解】
解：∵
∴，，
∴，，
∴，；
【小问2详解】
解：如图，
∵三角形的面积为6，高为2，
∴㡳为6，
，
解得：或．
24. 已知：如图，于，于，交于，交延长线于，，求证：平分．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．根据，，可得，从而得到，即可求证．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分．
25. 我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，（其中，），将与称为数对的一对“和谐数对”．例如：的一对“和谐数对”为和．
（1）数对的一对“和谐数对”是______；
（2）若数对的一对“和谐数对”相同，则的值为______；
（3）若数对的一个“和谐数对”是，直接写出的值______．
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义的实数运算：
（1）利用“和谐数对”的规定解答即可；
（2）利用“和谐数对”的定义列出关于b的等式解答即可；
（3）利用“和谐数对”的定义列出关于a、b的等式解答即可．
【小问1详解】
解：数对的一对“和谐数对”是和，即和；
故答案为：，
【小问2详解】
解：∵数对的一对“和谐数对”相同，
∴，
∴；
故答案为：
【小问3详解】
解：∵数对的一个“和谐数对”是，
∴或，
∴或，
∴或．
故答案为：，
26. 已知，直线，点为直线上一定点，直线交于点，平分，．
（1）如图1，当时，______；
（2）点为射线上一点，点为直线上的一动点，连接，过点作交直线于点．
①如图2，点在线段上，若点在点左侧，求与的数量关系；
②点在线段的延长线上，当点在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含的式子表示）．
【答案】（1）；
（2）①；②或．
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的性质和分类讨论．
（1）由平行线的性质得，由平角的定义得再由角平分线的定义求解即可；
（2）①过点P作，则，根据平行线的性质和等量代换即可求解；②当时，过点P作，得，根据角平分线求得，利用平行即可求得；当时，延长交于点S，有，，利用角平分线得，根据平行得，由①知，等量代换即可求得．
【小问1详解】
解：∵，
∴
∵
∴
∴
∵平分，
∴，
故答案为：55；
【小问2详解】
①过点P作，如图，
则，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
②当时，过点P作，如图，
∵，
∴ ，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
当时，延长交于点S，如图所示，
则，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
由①知，得，
∵；
故的度数为或．
27. 平面直角坐标系中任意两点，，小聪定义了，的“分解距离”，如下：
若，则为点，的“分解距离”，即；
若，则为点，的“分解距离”，即．
例如，点，，因为，所以点，的“分解距离”为，记为．
根据上面的材料，解决下列问题：
（1）如图1，已知点，为平面内一个动点．
①则______；
②若点在第一象限，且点，求点的坐标；
③动点满足，所有动点组成的图形面积为16，请直接写出的值；
（2）对于点，点，若有动点，使得，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）①2；②或；③；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查坐标系下两点间的距离．
（1）①根据新定义，即可求解；②根据新定义可得或，即可求解；③由题意可得点B在以A点为对称中心，边长为的正方形边上，即可求解；
（2）根据题意画出图形，可得点M在长方形内（含边）运动时，，即可求解．
【小问1详解】
解：①∵，
∴；
故答案为：2
②∵点在第一象限，
∴，
∵点，
∴或，
∴或，
即或1，
∴点B的坐标为或；
③由题意得：点B在以A点为对称中心，边长为的正方形边上，
∵所有动点组成的图形面积为16，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：由题意得：点M在长方形内（含边）运动时，，如图，
∴．