广东省珠海市斗门区实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份广东省珠海市斗门区实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共22页。试卷主要包含了 若有意义，则的值可以是， 若是整数，则正整数的最小值是， 下列计算，正确的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 若有意义，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得：，则的值可以是
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
2. 若是整数，则正整数的最小值是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】先将写成平方数乘以非平方数的形式，再根据二次根式的基本性质即可确定出的最小整数值；
【详解】解：；
由是整数，得最小，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的基本性质，利用二次根式的基本性质是解题关键．
3. 下列计算，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式加减法则，以及二次根式的性质逐项判断即可．该试卷源自 每日更新，享更低价下载。【详解】解：∵，
∴选项A不正确；
∵，
∴选项B正确；
∵，
∴选项C不正确；
∵+＝3≠，
∴选项D不正确．
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式加减及二次根式的性质，解题关键是掌握二次根式的加减法则，以及二次根式的性质 ．
4. 将化简为最简二次根式，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式性质即可化简求解．
【详解】=
故选A．
【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的运算法则．
5. 如图，，，是角平分线．若，，则的长为（ ）
A. 6B. 5C. 1D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后由勾股定理可得出答案．
【详解】解：过点D作于点F，
∵，，
∴，
∵是的平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6. 如图，在中，点是的中点，对角线，相交于点，连接，若的周长是10，则的周长为（ ）
A. 3B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据中点的定义和三角形中位线定理得，，，从而得出可得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
点是的中点，
，，
的周长是10，
的周长，
故选：B．
7. 如图，直线，点P是直线上一个动点，当点P的位置发生变化时，的面积（ ）
A. 向左移动变小B. 向右移动变小C. 始终不变D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线间的距离处处相等可得点P到的距离不变，因此三角形的面积不变．
【详解】解：∵直线，点P是直线上一个动点，
∴无论点P怎么移动，点P到的距离不变，
∴的底不变，高不变，面积也不变，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线间的距离，掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键．
8. 如图，在中，、分别为、的中点，点在上，且，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形的中位线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握中位线的性质是解题关键．
根据题意求出，的长，即可求出．
【详解】解：、分别为、的中点，
是的中位线，
，
，
是直角三角形，
，
，
故选：．
9. 如图，，，与交于点，点是的中点，．若，，则的长是（ ）
A. B.
C. 3D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】∵AB⊥AF，
∴∠FAB=90°，
∵点D是BC的中点，
∴AD=BD=BC=4，
∴∠DAB=∠B，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=2∠B，
∵∠AEB=2∠B，
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD，
∴AE=AD=4，
∵EF=，EF⊥AF，
∴AF=3，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
10. 如图，菱形的对角线，交于点O，过点D作于点E，连接，若，，则菱形的面积为（ ）
A. 48B. 60C. 96D. 192
【答案】C
【解析】
【分析】由中，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，，则，根据勾股定理求出，得出，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和面积计算，直角三角形的性质，勾股定理，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解决本题的关键．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 把化成最简二次根式得______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是最简二次根式的有关知识，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 化简______.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得到：求出的取值范围，根据二次根式的性质进行化简即可.
【详解】根据二次根式有意义的条件得到：
解题：

故答案为
【点睛】考查二次根式有意义的条件以及二次根式的化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键.
13. 如图，在中，，点在上，平分，平分，则的值是__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行的性质及角平分线的定义求出，利用勾股定理求出最后结果即可．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，
，
平分，平分，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，得出为直角三角形是解答本题的关键．
14. 有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是________
【答案】15
【解析】
【详解】解：设第三个数是a，
①若a为最长边，则，不是整数，不符合题意；
② 若17为最长边，则，三边是整数，能构成勾股数，符合题意，
故答案为15．
15. 在中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动．点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当时，运动时间________时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】或8
【解析】
【分析】由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，分两种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则，
设运动时间为t秒，
当时，，，，，
∴，
解得：；
当时，，，，
∴，
解得：．
综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形判定与性质以及一元一次方程的应用，分两种情况列出关于t的一元一次方程是解题的关键．
三．解答题一（本大题共4小题，每题6分，共24分）
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可．
（2）根据二次根式的混合运算法则求解即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
17. 在正方形网格中，四边形ABCD的每个顶点都在格点上，已知小正方形的边长为1，求这个四边形ABCD的周长和面积.
【答案】；.
【解析】
【分析】根据勾股定理求出各边的长度，结合网格解答即可．
【详解】解：根据题意，得：，，，，
∴这个四边形ABCD的周长=；
∵AC=5，
∴这个四边形ABCD的面积=.
【点睛】此题考查勾股定理与网格问题，解题的关键是根据勾股定理计算各边长．
18. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得．
【详解】解：在中，
，
设秋千的绳索长为，则，
故，
解得：，
答：绳索的长度是．
19. 阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，完成下列问题：如图，在中，，，．
（1）求的面积；
（2）过点A作，垂足为，求线段的长．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的应用．
（1）把，，代入公式进行计算即可；
（2）由的面积，再建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
∴的面积；
【小问2详解】
解：∵的面积，
∴，
∴．
四．解答题二（本大题3小题，每题9分，共27分）
20. 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，因为的整数部分是1；于是用来表示的小数部分．
请解答：
（1）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（2）已知：，其中是整数，且，求的相反数．
【答案】（1）2 （2）的相反数是．
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算与运算、相反数的定义等知识点，掌握理解无理数的估算方法是解题关键．
（1）先根据无理数的估算求出a、b的值，再代入求解即可；
（2）先根据无理数的估算，再根据是整数和求出x、y的值，再代入计算有理数的减法，然后根据相反数的定义即可得．
【小问1详解】
解：，
，即，
的小数部分为，即，
，
，即，
的整数部分为5，即，
则；
【小问2详解】
解：，
，即，
，
，
是整数，且，
，，
则的相反数是．
21. 已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，．

（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题；
（2）根据平行四边形的性质证明，然后根据勾股定理可得，进而可以解决问题．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
【小问2详解】
解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
22. 图，分别以a，b，m，n为边长作正方形 ．

（1）若，，求图1中两个正方形的面积之和；
（2）若，，求图2中的长；
（3）已知且满足，．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形的面积为3，求的面积．
【答案】（1）
（2）4 （3）1
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）由题意知，图1中两个正方形的面积之和为，计算求解即可；
（2）由题意知，，，则，由勾股定理求，，，根据，计算求解即可；
（3）由题意知，，，，，整理可求，则，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，，
∴图1中两个正方形的面积之和为；
【小问2详解】
解：由题意知，，，
∴，
由勾股定理得，，，
∴，
∴的长为4；
【小问3详解】
解：由题意知，，，
∵，，
∴，，
整理得，，
解得，，
∴，
解得，，
∴的面积为1．
五．解答题三（本大题2小题，每题12分，共24分）
23. （1）如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点，，请判断四边形形状并说明理由；

（2）如图②，直线分别交矩形的边，于点，，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，求的长；

（3）如图③，直线分别交平行四边形的边，于点，，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，，求的长．

【答案】（1）菱形，证明见解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】本题是四边形的综合题，考查了菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质，勾股定理．
（1）通过证明，得到，可证四边形为平行四边形，再由，可证平行四边形为菱形；
（2）过点作于，在中，利用勾股定理列式求得，，再根据折叠的性质和平行线的性质，求出；
（3）过点作，交的延长线于，过点作于，先求得，由勾股定理得到，列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：菱形
四边形是矩形，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：过点作于，

由折叠可知：，，
在中，，即，
，
，
∵，
，
；
（3）解：过点作，交的延长线于，过点作于，

四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可知：，，
∵，
，
，
，
，
．
24. 如图，在平行四边形中，，点是上动点，连结．
（1）若平行四边形是菱形，，试求出的度数；
（2）若于，，，，求的长；
（3）过点作交线段于点．过点作于，交的高于点．若，，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）证明，再利用三角形的内角和定理可得答案；
（2）过点作于设，则，，而，再建立方程求解即可；
（3）连接，证明，可得，，证明，再证明可得，，证明．可得，可得，从而可得结论．
【小问1详解】
解：在菱形中，．
，
，
；
【小问2详解】
解：过点作于，

在中，，
，
设，则，
在中，，
在中，，
．
解得：，
；
【小问3详解】
证明：连接

，，
．
，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
在中，．

，
，
，
在和中，
，
．
，
又，
，
，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，菱形的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．