湖南郴州市临武县第三中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份湖南郴州市临武县第三中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二元一次方程组的定义进行判断即可．
【详解】解：A、有三个未知数，不二元一次方程组，故A错误；
B、有两个未知数，且次数为一次，故B正确；
C、含有未知数项和的次数不是1，因此不是二元一次方程组，故C错误；
D、含有未知数项次数为2，因此不是二元一次方程组，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的判断，解题的关键是熟记二元一次方程组的定义，如果方程组中含有两个未知数，且含未知数项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂的乘方和多项式的乘法法则对选项逐一进行计算，求得正确结果．
【详解】A．，故正确．符合题意．
B．，故错误．不符合题意．
C．，故错误．不符合题意．
D．，故错误．不符合题意．
故选：A．该试卷源自 每日更新，享更低价下载。【点睛】本题考查幂的乘方、多项式的乘法以及完全平方公式，解决的关键是熟练应用各计算法则．
3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、属于整式的乘法运算，不是分解因式，故本选项错误；
B、等式右边不是整式积的形式，不是分解因式，故本选项错误；
C、等式右边不是整式积的形式，不是分解因式，故本选项错误；
D、符合因式分解的定义，故本选项正确，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的定义，解题的关键是知道把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
4. 下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方差公式的特征逐一判断即可．
【详解】解：A. =，故不符合题意，
B.= ，故不符合题意，
C. ，符合题意，
D. ，故不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查了对平方差公式的理解，掌握=是解答本题的关键．
5. 利用加减消元法解方程组时，要使方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须进行适当变形，以下四种变形正确的是（ ）
（1） （2） （3） （4）
A. (1)(2)B. (2)(3)C. (3)(4)D. (1)(4)
【答案】C
【解析】
【分析】根据加减消元法适用的条件将方程进行适当变形，使方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数即可
【详解】解：把y的系数变为相等时，①×3，②×2得，
把x的系数变为相等时，①×2，②×3得，
故选C．
【点睛】此题比较简单，考查的是用加减消元法求二元一次方程组的解时对方程进行合理变形的方法．
6. 将多项式进行因式分解，结果正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定出公因式，然后提取公因式即可．
【详解】解：原式．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是因式分解，找出多项式中的公因式是解题的关键．
7. 已知是二元一次方程的解，则k的值是（ ）
A. 2B. C. 10D.
【答案】A
【解析】
【分析】把代入二元一次方程x-y=10，转化为关于k的一元一次方程求解即可
【详解】解：把代入二元一次方程x-y=10，得：
2k+3k=10，
解得k=2，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程解的定义，只要把解代入原方程就可求出参数k的值．
8. 已知x,y满足方程组，则x+y的值为（）
A. 5B. 7C. 9D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】直接把两式相加即可得出结论．
【详解】，
①+②得，4x+4y=20，解得x+y=5．
故选A．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟知利用加减法解二元一次方程组是解答此题的关键．
9. 从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路．如果上坡平均每小时走2km，下坡平均每小时走3km，那么从甲地走到乙地需要15分钟，从乙地走到甲地需要20分钟．若设从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，则所列方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，去时上坡，回时下坡，分别列方程构成方程组即可．
【详解】∵从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，上坡平均每小时走2km，下坡平均每小时走3km，那么从甲地走到乙地需要15分钟，
∴，
返回时，列方程为，
联立方程组为，
故选C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用：路程，速度，时间的关系问题，熟练掌握运动的特点，准确列方程是解题的关键．
10. 将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式．将若干张图2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用，能够根据所给的单项式画出几何图形，画出图形，根据图形因式分解即可，利用等积法进行因式分解是解题的关键．
【详解】解：如图：
∴，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 把方程改写成用含的式子表示的形式是： ______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程，将移到右边即可，能正确根据等式的性质进行变形是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
12. 已知是二元一次方程的一个解，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程的应用，把代入方程得出关于的方程，求出即可，关键是能根据题意得出关于的方程．
【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴将代入得：，
解得：，
故答案为：．
13. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式y，然后再利用平方差公式进行分解即可.
【详解】
=
=，
故答案为.
【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14. 如果是一个完全平方式，那么k的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题是完全平方公式的应用，解题的关键是掌握两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．这里首末两项是和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去的系数和常数3的积的2倍，故．
【详解】解：中间一项为加上或减去的系数和常数3的积的2倍，
．
故答案为：．
15. 若，则＝__．
【答案】
【解析】
【分析】根据一个数的平方的非负性和绝对值的非负性可以列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再求出的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一个数的平方的非负性和绝对值的非负性，根据已知方程列出关于x、y的二元一次方程组是解答本题的关键．
16. 要使的展开式中不含的项，则的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，直接利用单项式乘多项式运算法则化简，进而得出项的系数为，即可得出答案，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：，
∵展开式中不含的项，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 已知，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，根据幂的乘方的逆运算法则得到，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
18. 如图，若大正方形与小正方形的面积之差为20，则阴影部分的面积是_____．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查利用平方差公式求图形的面积．熟练掌握平方差公式是解题的关键．
设大正方形的边长为，小正方形的边长为，得到，，再根据阴影部分的面积等于进行求解即可．
【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由题意和图可知：，，，，
∴阴影部分面积
；
故答案为：10．
三、解答题（本大题8个小题，共66分，其中：19，20题每题6分，21，22题每题8分，23，24题每题9分，24，25题每题10分）
19 化简：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据积的乘方计算法则及同底数幂乘法计算法则解答；
（2）根据积的乘方计算法则及整式乘法及加减法法则计算解答．
【小问1详解】
【小问2详解】
．
【点睛】此题考查了整式的计算，正确掌握整式的积的乘方计算法则及同底数幂乘法计算法则，整式乘法及加减法法则是解题的关键．
20. 因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）直接提取公因式进行分解因式即可；
（2）先提取公因数，再利用完全平方公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
22. 如图，在长为10米，宽为8米的长方形空地上，沿平行于长方形边的方向分割出三个形状、大小完全一样的小长方形花圃（阴影部分）．求其中一个小长方形的长和宽．
【答案】8
【解析】
【分析】设小长方形的长为 x 米，宽为y米． 依题意有：解方程组即可.
【详解】解: 设小长方形的长为 x 米，宽为y米．
依题意有：
解此方程组得：
故，小长方形的长为 4米，宽为2米．
【点睛】本题考核知识点：列方程组解应用题．解题关键点：根据已知列出方程组．
23. 如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．

（1）设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请用含a、b的代数式表示：______，______（只需表示，不必化简）；
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______；
（3）运用（2）中得到的公式，计算：．
【答案】（1），；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）图1中阴影部分面积用大正方形面积减去小正方形面积表示即可，图2中阴影部分面积用长方形面积公式表示即可；
（2）根据（1）的结果，即可得到答案；
（3）运用（2）中得到的公式计算，即可得到答案．
【小问1详解】
解：由图形可知，图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：以上结果可以验证乘法公式为：，
故答案为：；
【小问3详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，利用面积公式表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
24. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用100万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请问A、B两种型号的汽车各购买多少辆？
【答案】（1）A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元；
（2）A种型号汽车购买2辆，B种型号的汽车购买5辆；
【解析】
【分析】（1）根据2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据（1）中的结果和该公司计划正好用100万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），可以得到相应的二元一次方程，然后求解即可；
【小问1详解】
解：（1）设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，
由题意可得
，
解得，
答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元；
【小问2详解】
解：设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，,
由题意可得25m+10n=100，且m＞0，n＞0，
∴，
∴A种型号的汽车购买2辆，B种型号的汽车购买5辆；
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
25. 观察下列各式：
（1）根据以上规律，由此归纳出一般性规律： ；
（2）根据上述规律，求的值；
（3）根据上述规律，求的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式及其规律问题，明确最后结果的最高指数比第二个括号中的最高指数多，是解题的关键．
（1）由规律得出的指数为，即可得出答案；
（2）将写为再根据规律计算即可；
（3）根据规律分别计算和 再将原式分为两部分计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：由规律得：，
故答案为：．
【小问2详解】
解：
．
【小问3详解】
解：∵
．
26. 完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，求的值．
解：因为，所以，
所以得
（1）若，求的值；
（2）填空：①若，则_____；
②若，则______；
（3）两块全等的特制直角三角板如图所示放置，其中，在一直线上，连接，若，，求一块直角三角板的面积．
【答案】（1）；
（2）①，②；
（3）一块直角三角板的面积为．
【解析】
【分析】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答此题的关键．
（1）直接由完全平方公式即可得出答案；
（2）①先由，得，再把代入即可求解；
②先由，得，再把代入即可求解；
（3）设由得据此得再由得利用完全平方公式可求出即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：①∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
故答案为：．
【小问3详解】
解：设
在一直线上，
即：
∴一块直角三角板的面积为．