2024年山东省青岛市崂山区中考数学一模试卷

这是一份2024年山东省青岛市崂山区中考数学一模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题请用直尺，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）的倒数是（ ）
A．﹣5B．5C．﹣D．
2．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）2024年春节期间国内旅游出行合计约474000000人次，比2023年大幅增加．数据474000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.474×109B．47.4×107C．4.74×109D．4.74×108
4．（3分）我市今年一月连续10天的最高气温统计如下：
则最高气温（单位：℃）的中位数和众数分别是（ ）
A．4，3B．5，2C．5，3D．4，2
5．（3分）如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝7，AC＝24，点D为边AC上一点，将△ABC沿BD折叠后，点A的对应点A′恰好落在BC边上，则线段AD的长为（ ）该试卷源自 每日更新，享更低价下载。
A．B．C．D．
7．（3分）如图，已知点A（1，3），B（4，1），将线段AB绕点M逆时针旋转到A′B′，点A与A′是对应点，点B与B′是对应点，则点M的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（1，0）C．（﹣1，1）D．（1，﹣3）
8．（3分）如图，平行四边形ABCD对角线AC与BD交于点O，且AD＝6，AB＝8，在BC延长线上取一点E，使，连接OE交CD于点F，则CF的长为（ ）
A．2B．C．D．
9．（3分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝15°，∠ADC＝40°，则∠BPC的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＞0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；③方程ax2+bx+c+1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；④若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣9a．正确结论的序号为（ ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①③
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算的结果是 ．
12．（3分）如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为3m，宽为2m的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他可以估计不规则图案的面积为 m2．
13．（3分）某水果店搞促销活动，对某种水果打9折出售，若用50元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤．设该种水果打折前的价格为x元/斤，根据题意可列方程为 ．
14．（3分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
15．（3分）如图，从一块半径为3m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的最大扇形，则阴影部分的面积为 m2．
16．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，点E是边BC的中点，连接AE，DE，分别交BD，AC于点P，Q，则四边形OPEQ的周长为 ．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
17．（4分）已知：∠O及其一边上的两点A，B．
求作：以AB为底的等腰△ABC，使点C在∠O的内部，且∠BAC＝∠O．
四、解答题（本大题共9小题，共68分）
18．（8分）计算：
（1）解不等式组；
（2）化简．
19．（6分）端午节放假期间，小明和小华准备到景点A、景点B、景点C、景点D中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．用画树状图或列表的方法求小明和小华都选择去同一景点游玩的概率．
20．（6分）某市为调查学生的视力变化情况，从全市九年级学生中抽取了部分学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，并将所得数据处理后，制成如下折线统计图和扇形统计图：
解答下列问题：
（1）扇形D的圆心角度数是 °；
（2）该市共抽取了多少名九年级学生？
（3）若该市共有8万名九年级学生，请你估计该市九年级视力较好（5.0及以上）的学生大约有多少人？
21．（6分）【问题情境】
图形的分割：就是在保持面积不变的前提下，将一个或几个图形分割成两个或几个图形．图形的拼合：就是把一个图形通过分割后再重新拼接组合，在保持面积不变的前提下，得到一个新的图形．图形分割与拼合问题，集趣味性、探索性、实验性于一体．
如图①，任意三角形通过分割后重新拼接，可以拼成平行四边形．方案设计：
图形的分割：取AB中点D，AC中点E，连接DE，沿DE将△ABC分割成两个图形；
图形的拼合：如图所示，将△ADE绕点E旋转180°，与四边形DBCE拼接成平行四边形DBCF．此时，▱DBCF的面积与△ABC的面积相等．
【探究实践】
仿照图示的方法，解答下列问题：
如图②，对直角三角形ABC，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与三角形等面积的矩形．请你写出方案设计．
【拓展应用】
如图③，对任意三角形ABC，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．请你画出方案设计．
22．（6分）为建设和谐新社区，增强群众幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩（图①）．在侧面示意图中（图②），遮阳棚AB长为4米，从点A看棚顶顶点B的仰角为20°，靠墙端离地高BC为5米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为50°时，求凉荫处CD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
23．（8分）如图，点C为⊙O上一点，连接OC并延长至点D，使得OC＝CD．过点D作⊙O的切线DB，点B为切点，连接OB．点A为⊙O上一点，，连接OA，AD，BC，AC．
（1）证明：AD为⊙O的切线；
（2）判断四边形OACB的形状，并证明你的结论．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b（k1，b为常数，且k1≠0）与反比例函数y＝（k2为常数，且k2≠0）的图象交于点A（m，6），B（4，﹣3）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当＞k1x+b＞0时，直接写出自变量x的取值范围；
（3）已知一次函数y＝k1x+b的图象与y轴交于点C，点P在x轴上，若△PAC的面积为8，求点P的坐标．
25．（10分）某商场新进一批拼装玩具，每件玩具进价是30元，并规定每件售价不得少于50元．根据以往销售经验发现，当每件售价定为50元时，日销售量为500件，每件售价每提高0.5元，日销售量减少5件．设每件售价为x元，日销售量为y件．
（1）当x＝60时，y＝ 件；
（2）当每件售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
（3）当日销售利润不低于6000元时，求每件玩具售价x的取值范围．
26．（10分）在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．动点P从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从A点出发，沿射线DA方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作PE⊥BD，垂足为点P，交射线DC于点E，连接EQ，交AB于点G，交DB于点F．设运动时间为t（s）（0＜t≤5）．
（1）当点E与点C重合时，求t的值；
（2）当t为何值时，点Q，B，E在一条直线上；
（3）是否存在某一时刻t，使得△AQG∽△PEF？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2024年山东省青岛市崂山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）的倒数是（ ）
A．﹣5B．5C．﹣D．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：的倒数是5．
故选：B．
【点评】本题考查了倒数的定义，掌握倒数的定义是关键．
2．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键．
3．（3分）2024年春节期间国内旅游出行合计约474000000人次，比2023年大幅增加．数据474000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.474×109B．47.4×107C．4.74×109D．4.74×108
【分析】学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：474000000＝4.74×108．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
4．（3分）我市今年一月连续10天的最高气温统计如下：
则最高气温（单位：℃）的中位数和众数分别是（ ）
A．4，3B．5，2C．5，3D．4，2
【分析】根据中位数和众数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据的中位数是第5、6个数据的平均数，
所以这组数据的中位数为＝5（℃），
众数为3℃．
故选：C．
【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5．（3分）如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．
【解答】解：从上面可看到第一横行左下角有一个正方形，
第二横行有3个正方形，
第三横行中间有一个正方形．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6．（3分）如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝7，AC＝24，点D为边AC上一点，将△ABC沿BD折叠后，点A的对应点A′恰好落在BC边上，则线段AD的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由∠A＝90°，AB＝7，AC＝24，根据勾股定理求得BC＝25，由折叠得∠BA′D＝∠A＝90°，A′D＝AD，则×25AD＝×7（24﹣AD）＝S△BCD，求得AD＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝7，AC＝24，
∴BC＝＝＝25，
∵将△ABC沿BD折叠后，点A的对应点A′恰好落在BC边上，
∴∠BA′D＝∠A＝90°，A′D＝AD，
∴AB⊥CD，A′D⊥BC，
∴BC•A′D＝CD•AB＝S△BCD，
∴×25AD＝×7（24﹣AD），
解得AD＝，
故选：B．
【点评】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，根据BC•A′D＝CD•AB列出方程是解题的关键．
7．（3分）如图，已知点A（1，3），B（4，1），将线段AB绕点M逆时针旋转到A′B′，点A与A′是对应点，点B与B′是对应点，则点M的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（1，0）C．（﹣1，1）D．（1，﹣3）
【分析】因为旋转前后对应点连线的垂直平分线经过旋转中心，据此可解决问题．
【解答】解：因为线段A′B′由线段AB绕点M逆时针旋转得到，
所以AA′和BB′的垂直平分线经过旋转中心M．
如图所示，画出线段AA′和BB′的垂直平分线，
所以点M的坐标为（﹣1，1）．
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，熟知旋转前后对应点连线的垂直平分线经过旋转中心是解题的关键．
8．（3分）如图，平行四边形ABCD对角线AC与BD交于点O，且AD＝6，AB＝8，在BC延长线上取一点E，使，连接OE交CD于点F，则CF的长为（ ）
A．2B．C．D．
【分析】作BC的中点G，连接OG，根据中位线的性质可得OG∥CD，，从而得出△CEF∽△GEO，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CF的长．
【解答】解：如图，作BC的中点G，连接OG，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AD＝6，AB＝8，
∴BC＝AD＝6，OB＝OD，AB＝CD＝8，
∴，
∵点G为BC的中点，OB＝OD，
∴OG∥CD，，
∴△CEF∽△GEO，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质及三角形的中位线定理，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9．（3分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝15°，∠ADC＝40°，则∠BPC的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【分析】根据圆周角定理得出∠ADB＝90°，则∠ADC＝40°，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠BDC＝50°，再根据三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝40°，
∴∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝50°，
∴∠BAC＝∠BDC＝50°，
∵∠C＝15°，
∴∠BPC＝∠C+BAC＝65°，
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＞0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；③方程ax2+bx+c+1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；④若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣9a．正确结论的序号为（ ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①③
【分析】依据题意，由抛物线经过（﹣2，0），再结合二次函数的性质可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断②，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断③，由x＝1时y取最大值可判断④．
【解答】解：由题意，∵对称轴是直线x＝1，a＜0，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大．
∵﹣2＜﹣1，抛物线过点（﹣2，0），
∴当x＝﹣1时y＝a﹣b+c＞0，故①正确．
∵a＜0，
∴抛物线开口向下．
又点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，且点（6，y3）到对称轴的距离最大，点（2，y2）到对称轴的距离最小，
∴y3＜y1＜y2，②错误．
∵方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2，
∴抛物线与直线y＝﹣1的交点的横坐标为x1，x2．
由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣2，0），（4，0），
∵抛物线开口向下，x1＜x2，
∴x1＜﹣2，x2＞4，故③正确．
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a．
∵4a﹣2b+c＝0，
∴c＝2b﹣4a＝﹣8a，
∵抛物线的最大值为a+b+c，
∴若m为任意实数，则am2+bm+c⩽a+b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，
∴am2+bm+c⩽﹣9a，故④正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算的结果是 7 ．
【分析】直接利用算术平方根和立方根进行计算即可．
【解答】解：
＝5﹣（﹣2）
＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了实数的计算，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是关键．
12．（3分）如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为3m，宽为2m的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他可以估计不规则图案的面积为 2.1 m2．
【分析】根据图②可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.35，设不规则图案的面积为x，再根据几何概率可得：不规则图案的面积÷长方形的面积＝小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解．
【解答】解：据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为0.35，长方形的面积为3×2＝6（m2），
设不规则图案的面积为x，
则＝0.35，
解得：x＝2.1，
∴不规则图案的面积约为2.1m2，
故答案为：2.1．
【点评】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为0.35．
13．（3分）某水果店搞促销活动，对某种水果打9折出售，若用50元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤．设该种水果打折前的价格为x元/斤，根据题意可列方程为 ．
【分析】可根据“若用50元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤“列出方程即可．
【解答】解：依题意得：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意找出等量关系是解决问题的关键．
14．（3分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞﹣ ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4×1×k2＝4k+1＞0，
∴k＞﹣．
故答案为k＞﹣．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
15．（3分）如图，从一块半径为3m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的最大扇形，则阴影部分的面积为 π m2．
【分析】根据圆周角定理由∠BAC＝90°得BC为⊙O的直径，即BC＝6m，根据等腰直角三角形的性质得AB＝3m，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解．
【解答】解：如图，连接BC，
∵∠BAC＝90°，
∴BC为⊙O的直径，
∴BC＝2×3＝6m，
∴AB＝BC＝3m，
∴S阴影＝S圆﹣S扇形＝π×32﹣＝π（m2），
故答案为：π．
【点评】本题考查了扇形的面积计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：．
16．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，点E是边BC的中点，连接AE，DE，分别交BD，AC于点P，Q，则四边形OPEQ的周长为 ．
【分析】要求得四边形的OPEQ的周长，即求OP+PE+QE+OQ线段和，由于全等三角形可得，OP＝OQ，PE＝QE，则周长转化为求2倍的PE+OP的长，则利用相似三角形，找到OP和PE与已知线段长之间的关系，则需要这样的三角形，题目中没有，因此需要作辅助线，构造相似三角形．
【解答】解：连接OE．
∵E是BC的重点，四边形ABCD为正方形
∴OE⊥BC，OE＝1，BE＝CE＝1
在Rt△ABE中，AE＝
在Rt△EBO中，OB＝
∵AB∥BC，OE⊥BC
∴AB∥OE
∴∠BAP＝∠PEO，∠ABP＝∠POE
∴△ABP∽EOP
∴
∴2PE＝AP，2OP＝BP
∴PE＝，OP＝
∴四边形OPEQ的周长＝2（PE+OP）＝
【点评】本题考查利用正方形和相似三角形的性质求得四边形周长的掌握情况，注意求线段长度不要局限于全等三角形方法，相似三角形就适用于处于不全等的两个三角形中，寻找两线段之间的关系，可以求得本题．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
17．（4分）已知：∠O及其一边上的两点A，B．
求作：以AB为底的等腰△ABC，使点C在∠O的内部，且∠BAC＝∠O．
【分析】作AB的垂直平分线，然后作∠BAC＝∠O交AB的垂直平分线于C点．
【解答】解：如图，点C为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质．
四、解答题（本大题共9小题，共68分）
18．（8分）计算：
（1）解不等式组；
（2）化简．
【分析】（1）根据解一元一次不等式的方法进行解答；
（2）根据分式的乘除法法则进行计算．
【解答】解：（1）原式＝，
解得：，
故x＞0；
（2）原式＝×
＝
＝．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和分式的乘除法，掌握解一元一次不等式的步骤和分式的乘除法法则是关键．
19．（6分）端午节放假期间，小明和小华准备到景点A、景点B、景点C、景点D中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．用画树状图或列表的方法求小明和小华都选择去同一景点游玩的概率．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小华都选择去同一景点游玩的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小华都选择去同一景点游玩的结果有4种，
∴小明和小华都选择去同一景点游玩的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20．（6分）某市为调查学生的视力变化情况，从全市九年级学生中抽取了部分学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，并将所得数据处理后，制成如下折线统计图和扇形统计图：
解答下列问题：
（1）扇形D的圆心角度数是 36 °；
（2）该市共抽取了多少名九年级学生？
（3）若该市共有8万名九年级学生，请你估计该市九年级视力较好（5.0及以上）的学生大约有多少人？
【分析】（1）将D组所占百分比乘以360°即可求出扇形D的圆心角度数；
（2）将2022年抽取的九年级学生视力在4.9以下的人数除以40%即可求出该市共抽取了多少名九年级学生；
（3）将C、D组所占百分比的和乘以8万即可估计该市九年级视力较好（5.0及以上）的学生大约有多少人．
【解答】解：（1）（100%﹣40%﹣30%﹣20%）×360°＝36°，
故答案为：36；
（2）∵2022年抽取的九年级学生视力在4.9以下的人数为900人，占40%，
∴抽取的人数为：900÷40%＝2250（名），
答：该市共抽取了2250名九年级学生；
（3）（10%+20%）×80000＝24000（人），
答：估计该市九年级视力较好（5.0及以上）的学生大约有24000人．
【点评】本题考查折线统计图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
21．（6分）【问题情境】
图形的分割：就是在保持面积不变的前提下，将一个或几个图形分割成两个或几个图形．图形的拼合：就是把一个图形通过分割后再重新拼接组合，在保持面积不变的前提下，得到一个新的图形．图形分割与拼合问题，集趣味性、探索性、实验性于一体．
如图①，任意三角形通过分割后重新拼接，可以拼成平行四边形．方案设计：
图形的分割：取AB中点D，AC中点E，连接DE，沿DE将△ABC分割成两个图形；
图形的拼合：如图所示，将△ADE绕点E旋转180°，与四边形DBCE拼接成平行四边形DBCF．此时，▱DBCF的面积与△ABC的面积相等．
【探究实践】
仿照图示的方法，解答下列问题：
如图②，对直角三角形ABC，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与三角形等面积的矩形．请你写出方案设计．
【拓展应用】
如图③，对任意三角形ABC，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．请你画出方案设计．
【分析】探究实践：参考问题情境中的操作，进行图形的分割和合并即可；
拓展应用：先过A的BC垂线，即可得到两个直角三角形，参考探究实践中的思路进行图形的分割和合并．
【解答】解：探究实践：
图形的分割：取AB中点D，AC中点E，连接DE，延DE将△ABC分割成两个图形；
图形的拼合：如图2所示，
将△ADE绕点D旋转180°，与四边形拼接成矩形BCEE，此时，矩形BCEF的面积与△ABC的面积相等，
拓展应用：如图：
图形的分割：过A作AG⊥BC于G，取AB中点E，AC中点D，连接DE交AG于H，延DE，AG将△ABC分割成四个图形；
图形的拼合：将△AEH绕点E旋转180°，将△ADH绕点D旋转180°，与四边形拼接成矩形BCDE，此时矩形BCNM的面积与△ABC的面积相等．
【点评】本题考查图形设计，三角形中位线的性质，矩形的判定；解题的关键是根据题意作辅助线．
22．（6分）为建设和谐新社区，增强群众幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩（图①）．在侧面示意图中（图②），遮阳棚AB长为4米，从点A看棚顶顶点B的仰角为20°，靠墙端离地高BC为5米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为50°时，求凉荫处CD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【分析】过点A作AF⊥BC，垂足为F，过点A作AG⊥CE，垂足为G，根据题意可得：CF＝AG，AF＝CG，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF和AF的长，从而求出CF的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点A作AF⊥BC，垂足为F，过点A作AG⊥CE，垂足为G，
由题意得：CF＝AG，AF＝CG，
在Rt△ABF中，AB＝4米，∠BAF＝20°，
∴BF＝AB•sin20°≈4×0.34＝1.36（米），
AF＝AB•cs20°≈4×0.94＝3.76（米），
∴AF＝CG＝3.76米，
∵BC＝5米，
∴CF＝AG＝BC﹣BF＝5﹣1.36＝3.64（米），
在Rt△ADG中，∠ADG＝50°，
∴DG＝≈3.06（米），
∴CD＝CG﹣DG＝3.76﹣3.06≈0.7（米），
∴凉荫处CD的长约为0.7米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（8分）如图，点C为⊙O上一点，连接OC并延长至点D，使得OC＝CD．过点D作⊙O的切线DB，点B为切点，连接OB．点A为⊙O上一点，，连接OA，AD，BC，AC．
（1）证明：AD为⊙O的切线；
（2）判断四边形OACB的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理得到∠OAD＝∠OBD，根据切线的性质得到∠OBD＝90°，根据切线的判定定理得到AD为⊙O的切线；
（2）根据直角三角形的性质得到BC＝OC＝OD，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵，
∴∠BOC＝∠AOC，
在△BDO与△ADO中，
，
∴△BDO≌△ADO（SAS），
∴∠OAD＝∠OBD，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∴∠OAD＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD为⊙O的切线；
（2）解：四边形OACB是菱形，
证明：∵∠OBD＝90°，OC＝CD，
∴BC＝OC＝OD，
∵，
∴AC＝BC，
∵OA＝OB＝OC，
∴OA＝OB＝AC＝BC，
∴四边形OACB是菱形．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，菱形的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质定理是解题的关键．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b（k1，b为常数，且k1≠0）与反比例函数y＝（k2为常数，且k2≠0）的图象交于点A（m，6），B（4，﹣3）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当＞k1x+b＞0时，直接写出自变量x的取值范围；
（3）已知一次函数y＝k1x+b的图象与y轴交于点C，点P在x轴上，若△PAC的面积为8，求点P的坐标．
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）根据函数图象直接写出不等式＞k1x+b＞0的解集即可；
（3）根据S△PAC＝S△PAD﹣S△PCD＝8求得PD，进一步即可求得P点的坐标．
【解答】解：（1）∵B（4，﹣3）在反比例函数y＝（k2为常数，且k2≠0）的图象上，
∴k2＝4×（﹣3）＝﹣12，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣，
∵点A（m，6）在y＝﹣图象上，
∴m＝﹣2，
∴A（﹣2，6），
∵点A（﹣2，6），B（4，﹣3）在一次函数y＝k1x+b（k1，b为常数，且k1≠0）的图象上，
∴，解得，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x+3．
（2）观察函数图象，当＞k1x+b＞0时，自变量x的取值范围为：﹣2＜x＜0；
（3）由一次函数y＝﹣x+3可知C（0，3），D（2，0），
∵△PAC的面积为8，
∴S△PAC＝S△PAD﹣S△PCD＝8，即＝8，
∴PD＝，
∴P（﹣，0）或（，0）．
【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，三角形的面积，熟练掌握待定系数法、数形结合是解题的关键．
25．（10分）某商场新进一批拼装玩具，每件玩具进价是30元，并规定每件售价不得少于50元．根据以往销售经验发现，当每件售价定为50元时，日销售量为500件，每件售价每提高0.5元，日销售量减少5件．设每件售价为x元，日销售量为y件．
（1）当x＝60时，y＝ 400 件；
（2）当每件售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
（3）当日销售利润不低于6000元时，求每件玩具售价x的取值范围．
【分析】（1）根据“每件售价每提高0.5元，日销售量减少5件”求解即可；
（2）根据“销售利润＝（售价﹣成本）x销量”列关系式，并根据函数的性质求最值；
（3）先求出当W＝6000元时，x的值，再根据开口方向确定W＞6000时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）当x＝60时，y＝500﹣5×＝400（件），
故答案为：400；
（2）根据题意得：y＝500﹣5×＝﹣10x+1000，
W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250，
∵﹣10＜0，
∴当x＜65时，W随x的增大而增大，当x＞65时，W随x的增大而减小，
由题意，
解得50≤x≤100，
∴当x＝65时，W取最大值，最大值为12250，
答：当每件售价定为65元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是12250元；
（3）当W＝6000元时，﹣10x2+1300x﹣30000＝6000，
解得x1＝40，x2＝90，
∵a＝﹣10＜0，
∴开口向下，
∴当40≤x≤90时，W≥6000，
又∵50≤x≤100，
∴50≤x≤90，
答：当日销售利润不低于6000元时，每件玩具售价x的取值范围为50≤x≤90．
【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
26．（10分）在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．动点P从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从A点出发，沿射线DA方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作PE⊥BD，垂足为点P，交射线DC于点E，连接EQ，交AB于点G，交DB于点F．设运动时间为t（s）（0＜t≤5）．
（1）当点E与点C重合时，求t的值；
（2）当t为何值时，点Q，B，E在一条直线上；
（3）是否存在某一时刻t，使得△AQG∽△PEF？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）证明△DPC∽△DCB，得出，则可得出答案；
（2）证明△DBC∽△DEP，得出，即，求出DE，CE，证明△ABQ∽△CEB，得出，则可得出答案；
（3）由相似三角形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得AQ＝t cm，DP＝2t cm，
∵矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．
∴∠DAB＝∠ADC＝∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝DC＝6cm，AD＝BC＝8cm，AB∥CD，
∴BD＝＝10（cm），
∵当点E与点C重合时，PE⊥BD，CD＝DE＝6cm，
∴∠DPE＝∠DCB＝90°，
∵∠PDE＝∠BDC，
∴△DPC∽△DCB，
∴，
即，
解得；
（2）如图，若Q，B，E在一条直线上，
∵∠DPE＝∠DCB＝90°，∠PDE＝∠BDC，
∴△DBC∽△DEP，
∴，
即，
解得；
∴，
∵∠QAB＝∠BCE＝90°，∠AQB＝∠CBE＝90°﹣∠QBA，
∴△ABQ∽△CEB，
∴，
即，
解得 ，t2＝﹣3 （舍），
∴t＝时，点Q，B，E在一条直线上；
（3）若△AQG∽△PEF，则∠AGQ＝∠PFE，，
由（2）可知． ，
∵AB∥CD，
∴∠AGQ＝∠DEF，
∴∠PFE＝∠DEF，
∴，
∴，
∵∠DPE＝∠DCB＝90°，∠PDE＝∠BDC，
∴△DPE∽△DCB，
∴，
即，
解得PE＝t，
∴，
∵AB∥DC，
∴，
∵，
∴，
解得．
【点评】本题是相似形综合题，考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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