2024年山西省朔州市多校中考二模数学试题

这是一份2024年山西省朔州市多校中考二模数学试题，共27页。

1.本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 计算的结果为（ ）
A. B. 3C. D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的加法，根据有理数的加法法则计算即可得出答案．
【详解】解：，
故选：B．
2. 如图是由几个大小相同的小正方体组成的立体图形的俯视图，则这个立体图形可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．由俯视图判断出组合的正方体的几何体的列数即可．
【详解】解：根据给出的俯视图，这个立体图形的左上边有2个叠放在一起的正方体，右边一列上有各有1个正方体．
故选：D该试卷源自 每日更新，享更低价下载。3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法，积的乘方，平方差公式，多项式除以单项式的运算法则，逐项判断即可．
【详解】解：A．，故A不符合题意；
B．，故B不符合题意；
C．，故C符合题意；
D．，故D不符合题意；
故选：C．
4. 某综合实践活动小组做抛掷质地均匀的纪念币试验获得的数据如表：
若抛掷纪念币的次数为2000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）
A. 497B. 502C. 800D. 1002
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率可以估计概率．随着试验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可．
【详解】因为正面朝上的频率接近于，
所以若抛掷硬币的次数为2000，“正面朝上”的频数最接近1000．
故选：D．
5. 将不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集．
【详解】解第一个不等式得：
解第二个不等式得：
∴不等式组的解集为：
在数轴上表示不等式组的解集为：，
故选：A．
6. 如图，直线，点分别在直线a和直线b上，点C在直线a和直线b之间，且．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的定义、几何图中角度的计算，作，则，，由平行线的性质得出，由垂线的定义得出，从而求出，即可得解．
【详解】解：如图，作，
，
则，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
7. 将二次函数的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到的图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，是基础题．
根据函数图象平移变换原则可得平移后的二次函数解析式，进而得到顶点坐标．
【详解】解：将的图象向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度可得：
，
则平移后的二次函数图象的顶点为．
故选：B．
8. 如图，正方形的边长为6，点E为上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，连接.若，则的长为（ ）
A. B. C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．由“”可证，可得，由勾股定理可求解．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：D
9. 某旅行社推出了“游山西·读历史”多条旅游线路，其中某旅行团选择的“平遥洪洞”线路的旅游费用在原来报价的基础上每人降价60元，该旅行社给旅行团（人数不变）的报价由13500元降为10800元．设该旅行社“平遥洪洞”线路原来报价是每人元，则根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设该旅行社“平遥洪洞”线路原来报价是每人元，根据“该旅行社给旅行团（人数不变）的报价由13500元降为10800元”列出分式方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
【详解】解：设该旅行社“平遥洪洞”线路原来报价是每人元，
由题意得：，
故选：A．
10. 如图，将一张圆形纸片对折三次后，沿图④中的虚线剪下（点A和B为半径的中点），得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的平面图形的内角和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和，由题意得出剩余部分展开后得到的平面图形是正八边形，再根据多边形的内角和公式计算即可得出答案．
【详解】解：将一张圆形纸片对折三次后，沿图④中的虚线剪下（点A和B为半径的中点），得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的平面图形是正八边形，
剩余部分展开后得到的平面图形的内角和为，
故选：C．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11 计算：＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式，即可.
【详解】
=
=
故答案是：.
【点睛】本题主要考查二次根式的减法运算，把二次根式化为最简二次根式，是解题的关键.
12. 山西知名古塔景点有应县木塔、太原永祚寺双塔、洪洞广胜寺飞虹塔，小明打算五一假期选择其中两个景点去打卡，他决定用抽签法选择，于是将以上三座塔名制作成三张卡片（除内容外，其余完全相同），洗匀放好，从中随机抽取两张卡片，则他恰好抽到“应县木塔”和“太原永祚寺双塔”的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得．
【详解】假设“应县木塔”，“太原永祚寺双塔”，“洪洞广胜寺飞虹塔”分别为A、B、C，
根据题意画图如下：
由图可知，共有6种等可能结果，其中恰好是“应县木塔”和“太原永祚寺双塔”的有2种，则抽到“应县木塔”和“太原永祚寺双塔”的概率是．
故答案为：．
13. 如图，在中，，，以为直径的与边相切于点E，与边相交于点F，连接，，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】该题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，平行四边形的性质，扇形面积计算，解答的关键是掌握以上知识点．
根据是平行四边形和圆周角定理，证明，再根据与相切得出，从而算出，再根据扇形面积计算公式计算即可．
【详解】∵是平行四边形，
∴，
∴．
∵与相切，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
所以阴影部分的面积为．
故答案为：．
14. 在测量液体密度的实验中，根据测得的液体和烧杯的总质量与液体的体积，绘制了如图所示的函数图象（图中为一线段），则当时，m为________g．
【答案】212
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，设，将，代入解析式求得，当时，求出的值即可．
【详解】解：由图象可得：液体和烧杯的总质量与液体的体积为一次函数关系，
设，
将，代入解析式得：，
解得：，
，
当时，，
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，点是边上一点，连接，．过点作的垂线，垂足为，的角平分线分别交，于点，．若，，，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，连接，交于点，首先证明四边形、均为矩形，易得，，再证明，由全等三角形的性质可得，，利用三角形函数解得，进而可得，的长度；证明，由相似三角形的性质解得，进而可得的值，结合矩形的性质可得；证明，利用相似三角形的性质计算的长度即可．
【详解】解：如下图，过点作于点，连接，交于点，
∵四边形为矩形，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形、均为矩形，
∴，，
∵为的平分线，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，即有，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，为的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定性质、角平分线的性质定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）1（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分式混合运算、实数的运算，解题关键是对相应的运算法则的掌握．
（1）首先进行括号内运算、乘方运算以及负整数指数幂运算，然后相加减即可；
（2）先算括号里的运算，能分解的因式进行分解，除法转为乘法，最后约分即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
17. 2024年中国家电及消费电子博览会在上海举行．据了解某电商平台2024年2月份的销售额是10万元，由于乘借“以旧换新”的政策东风，4月份的销售额是12.1万元．求该电商平台3，4两个月销售额的月平均增长率．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系式列出方程．设该电商平台3，4两个月销售额的月平均增长率为x，根据题意列一元一次方程求解即可．
【详解】解：设该电商平台3，4两个月销售额的月平均增长率为x．
根据题意得
解得，（不符合题意，舍去）
所以．
答：该电商平台3.4两个月销售额的月平均增长率为．
18. 五四青年节前夕，某校开展了主题为“扬五四精神·展青春风采”教育主题活动.为了解七、八年级学生的学习情况，从七、八年级中各随机抽取10名学生进行测试，成绩（百分制）统计如下：
七年级：98 96 86 85 84 94 77 69 59 94
八年级：99 96 73 82 96 79 65 96 55 96
请根据以上数据，按要求补全数据描述、数据分析，并进行结论推断．
（1）数据整理：根据上面得到的两组数据，分别绘制了如图所示的频数分布直方图，请补全八年级成绩的频数分布直方图．
（2）数据分析：两组数据的平均数、中位数、方差如下表所示．
表格中的值为________，的值为________．
（3）结论推断：根据以上信息，对七、八两个年级各抽取的10名学生的测试成绩作出评价.（从“平均数”“中位数”“方差”这三个统计量中选择两个统计量进行评价）
【答案】（1）见解析 （2）84.2，89
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了补全频数分布直方图、平均数、中位数、方差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由成绩统计可得：八年级成绩在之间的有人，在之间的有人，由此补全八年级频数分布直方图即可；
（2）根据平均数和中位数的定义计算即可；
（3）根据平均数、中位数以及方差分析即可得出答案．
【小问1详解】
解：由成绩统计可得：八年级成绩在之间的有人，在之间的有人，
补全八年级频数分布直方图如答图所示：
【小问2详解】
解：由题意得：
，
，
故答案为：84.2，89；
【小问3详解】
解：答案不唯一，合理即可，
从平均数来看：七年级抽取的10名学生成绩的平均数高于八年级抽取的10名学生成绩的平均数；
从中位数来看：八年级抽取的10名学生成绩的中位数高于七年级抽取的10名学生成绩的中位数；
从方差来看：七年级抽取的10名学生成绩的方差小于八年级抽取的10名学生成绩的方差，
说明七年级抽取的10名学生成绩波动小．
19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，且与反比例函数的图象交于点C，轴于点D，．
（1）求直线的函数表达式．
（2）当反比例函数的函数值时，请根据函数图象直接写出自变量x的取值范围．
（3）设点P是x轴上的点，若的面积等于15，请求出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）点P的坐标为或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、求一次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积公式，熟练 以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意得出点C的横坐标为2，代入得出，再利用待定系数法求解即可；
（2）在中，当时，，解得，再结合图象即可得出答案；
（3）求出，设点P的坐标为，根据得出，从而即可得出点的横坐标，即可得解．
【小问1详解】
解：∵轴于点D， ，
∴点C的横坐标为2，
将代入，得，
∴，
设直线的函数表达式为，
将点，代入得，
解得，
∴直线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：在中，当时，，解得，
由图象可得：当反比例函数的函数值时，自变量x的取值范围为；
【小问3详解】
解：当时，，解得，
∴，
∵点P是x轴上的点，
∴设点P的坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴点P的坐标为或．
20. 如图1是某城建部门利用折臂升降机正在路边检修路灯的实物图片，图2是某时刻折臂升降机工作时的平面示意图，上折臂顶端恰好接触路灯杆，点A，B，C，D，E，F，M，N都在同一竖直平面内．路灯杆和折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座，上折臂，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，求上折臂顶端F到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点作，垂足为G，过点D作，垂足为H，过点E作，垂足为K．根据题意可得，，，，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
【详解】解：如答图，过点E作，垂足为G，过点D作，垂足为H，过点E作，垂足为K．
则，，，，，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
．
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，．
∴．
∴．
答：上折臂顶端F到地面的距离约为．
21. 阅读与思考
下面是小宇同学收集的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.
任务：
（1）上面小论文中的“依据”是________．
（2）如图2，已知点P是等边三角形的边上的一点，若，则在以线段，，为边的三角形中，最小内角的度数为________．
（3）如图3，在四边形中，，，．求证：．
【答案】（1）有一个角是的等腰三角形是等边三角形
（2）18 （3）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理：
（1）依据是有一个角是的等腰三角形是等边三角形；
（2）将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，则，可得是等边三角形，则就是以，，为边的三角形．根据全等三角形的性质及三角形内角和定理分别求得三个内角的度数，即可得到答案；
（3）连接，将绕点C顺时针旋转到的位置，连接，先证明是等边三角形，由旋转的性质可得为等边三角形，进而可得，利用勾股定理即可得证．
【小问1详解】
解：依据是有一个角是的等腰三角形是等边三角形，
故答案为：有一个角是的等腰三角形是等边三角形；
【小问2详解】
解：如图，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，则，
，，，
由旋转的性质可知，
是等边三角形，
，，
就是以，，为边的三角形，
，
，
，
，
，
，
最小内角的度数为，
故答案为：18；
【小问3详解】
证明：如图，连接，将绕点C顺时针旋转到的位置，连接，
，，
是等边三角形，
，
由旋转可知，，，
为等边三角形，
，，
，
在中，由勾股定理得，
．
22. 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们画一个，使，点D为的中点，连接．然后组织同学们以“操作发现”为活动主线进行学习．
动手操作（如图1）
第一步，线段上取一点E（点A和点D除外）；
第二步，以点D为圆心，以为半径画弧交于点F；
第三步，分别以E，F为圆心，长为半径画弧，交于点G，连接，．
猜想验证
（1）根据图1的操作，填空：
①四边形的形状为________，依据的判定定理是________；②与的数量关系为________．
（2）以D为旋转中心，将四边形按顺时针方向旋转到如图2的位置，请判断与的数量关系，并加以证明．
问题解决
（3）如图3，若，，，以D为旋转中心，将四边形按顺时针方向旋转，使点F在的下方，连接，且点F，E，C在同一条直线上．求的面积．

【答案】（1）①菱形；四条边相等的四边形是菱形；②相等（或）；（2），证明见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）①根据作图可知，故根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形的菱形；
②根据直角三角形的性质可得，再结合菱形性质即可解答；
（2）根据直角三角形的性质可得，再结合菱形性质证明即可解答；
（3）连接，与的交于点H．在中，根据从而得出，，再根据直角三角形性质得出，，根据旋转性质得出，结合菱形性质得出，，在中，算出，，得出，再证明，即可解答；
【详解】解：（1）①菱形，四条边相等的四边形是菱形；
②相等（或）；
证明：∵在中，点D是的中点，
∴，
由作图知，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴；
故答案为：相等；
（2）．
证明：∵在中，点D是的中点，
∴，
由图1知，
∴，
即．
∵四边形是菱形，
∴．
在和中，
．
∴，
∴；
（3）如图，连接，与的交于点H．

∵在中，，，
∴，，．
∵在中，D是的中点，
∴，
∴．
由旋转可知．
又∵四边形是菱形，，
∴，．
∴，
∴，．
在中，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】该题主要考查了直角三角形的性质，菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，旋转的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
23. 综合与探究
如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点．点D与点C关于x轴对称，直线交抛物线于另一点E．
（1）求抛物线的函数表达式，并直接写出直线的函数表达式．
（2）点P是直线下方抛物线上的一点，过点P作直线的垂线，垂足为F．设点P的横坐标为m，试探究当m为何值时，线段最大？请求出的最大值．
（3）在（2）的条件下，当取最大值时，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）存在，当时，有最大值为
（3）存在，点M的坐标为，或
【解析】
【分析】（1）将，代入得：，求解即可得出抛物线解析式，从而得出点的坐标，进而得出点的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴的平行线交于，，求出得出，从而得到当取得最大值时，取得最大值，设点，则，则，求出的最大值即可；
（3）求出点的横坐标为，设点，分三种情况：当为对角线时；当为边，平行四边形为时；当为边，平行四边形为时；分别利用平行四边形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：将，代入得：，
解得：，
二次函数的解析式为：；
在中，当时，，
，
点D与点C关于x轴对称，
，
设直线的表达式为，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的表达式为；
【小问2详解】
解：存在，
如图，过点作轴的平行线交于，
，
，，
，，
，
，
在中，，
，
当取得最大值时，取得最大值，
设点，则，
，
，
当时，取得最大值为，
的最大值为；
【小问3详解】
解：，
抛物线的对称轴为直线，
点的横坐标为，
由（2）可得，点，
设点，
点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，，
当为对角线时，则，
解得：，此时，即；
当为边，平行四边形为时，，
解得：，此时，即；
当为边，平行四边形为时，，
解得：，此时，即；
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，二次函数综合—线段问题，二次函数综合—特殊四边形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当辅助线，采用数形结合与分类讨论思想是解此题的关键．抛掷次数/次
100
200
300
500
1000
正面朝上的频数
58
94
152
251
497
年级
平均数/分
中位数/分
方差
七年级
85.5
144.36
八年级
83.7
215.21
构图法在初中数学解题中的应用
构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法.巧妙地构造图形有助于我们把握问题的本质，明晰解题的路径，也有利于发现数学结论.本文通过列举一个例子，介绍构图法在解题中的应用，
例：如图1，已知P为等边三角形内一点，，.
求以，，为边的三角形中各个内角的度数.
解析：如何求所构成的三角形三个内角的度数？由于没有出现以，，为边的三角形，问题难以解决.于是考虑通过构图法构造长度为，，的三角形来解决问题．
解：将绕点A顺时针旋转得，则．
，，．
由旋转可知，是等边三角形．【依据】
，．
就是以，，为边的三角形．
，．
.．
．
以，，为边的三角形中，三个内角的度数分别为，，.
构造图形的关键在于通过图形的变化，能使抽象的数量关系集中在一个图形上直观地表达出来，使问题变简单．