广东省深圳市罗湖区翠园初级中学2023 — 2024学年下学期八年级数学期中测试

这是一份广东省深圳市罗湖区翠园初级中学2023 — 2024学年下学期八年级数学期中测试，共42页。试卷主要包含了 下列说法中错误的是等内容，欢迎下载使用。

八年级数学
一. 选择题(共10小题)
1.《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的 故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来.下面四幅图是我国一
些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是()
A.6x²y³=2x²·3y³ B.a²-2a+1=(a-1)²
C.a(a+1)(a-1)=a³-a
3. 已知a>b, 则下列各式中一定成立的是( )
A.a-b<0 B.2a-1<2b-1 C.ac²>bc²
D.
4. 满足下列条件的△ABC 不是直角三角形的是( )
A.AC=1,BC=√3,AB=2 B.AC:BC:AB=3:4:5
C. ∠A:∠B:∠C=1:2:3 D. ∠A:∠B:∠C=3:4:5
5.如图，△ABC中，∠ACB=80°, 将△ABC 绕点C 顺时针旋转得△EDC. 当点B 的对应点
D 恰好落在AC 上时，∠CAE的度数是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
6. 用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先提出的假设是( )
A. 同旁内角不互补的两条直线平行
B. 同旁内角互补的两条直线不平行
C. 同旁内角互补的两条直线平行
该试卷源自 每日更新，享更低价下载。
D. 同旁内角不互补的两条直线不平行
7. 如图，直线y=kx+b 经过点A(2,1),B(-1,-2), 则不等式kx+b>-2 的解集
是( )
A.x>-1 B.x<-1 C.x>2 D.x<2
8. 下列说法中错误的是( )
A. 等边三角形是等腰三角形
B. 等腰三角形的高线、中线和角平分线互相重合
C. 三角形的高、中线、角平分线都是线段
D. 钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外一点
9. 若不等式组无解，则m 的取值范围是( )
A.m<2 B.m≤2 C.m≥2 D.m>2
10. 如图，∠ABC=∠ADB=90°,DA=DB,AB 与CD 交于点E, 若BC=2,AB=4,
则点D 到AC 的距离是( )
A.
B.
c.
D.
二 .填空题(共5小题)
11,因式分解：q²b+ab²=
12. 在平面直角坐标系中，将点P(2,6) 向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度
得到的点的坐标是 .
13. 关于x 的方程x-a=1-x 的解是一个非负数，则a 的取值范围是
14. 如图，在等腰三角形ABC中 ，AB=AC=√5,BC=2,AD 平分∠BAC,GE 垂直平
分AC交 AD于点F, 则AF 的长是
15.如图，在边长为4的等边AABC中，射线BD⊥AC于点D, 将△ABD沿射线BD平移，
得到AEGF, 连接CF、CG, 则CF+CG 的最小值为
三 .解答题(共7小题)
16.(1)因式分解：8a²b²+12ab³c;
(2)(x-2)²-x+2.
18.如图，在平面直角坐标系xOy 中 ，AABC 的三个顶点坐标分别为A(1,1),B(4,0),C(4,4).
(1)若△ABC 经过平移后得到△ABG, 已知A(-4,0).
①作出平移后的△A,B,C;
②平移的距离为 个单位长度；
(2)将AABC 绕点B 逆时针旋转90°,得到△A₂B₂C₂.
①作出旋转后的△A,B₂C₂
②求BA 在旋转过程中所扫过的面积为
19. 已知：如图，在△ADC中， AD=CD, 且AB/IDC,CB⊥AB 于 B,CE⊥AD 交AD
的延长线于E, 连接BE.
(1)求证： CE=CB;
(2)若∠CAE=30°,CE=2,
求BE 的长度.
20. 某文具商店购买了两种类型文具A和文具B 销售，若购A 文具5个， B 文具3个，需
要105元：若购进A 文具8个， B 文具6个，需要186元.
(1)求文具A, 文具B 的进价分别是多少元?
(2)若每个文具A的售价为20元，每个文具B的售价为21元.结合市场需求，该商店决
定购进文具A和文具B 共80个，且购进文具B 的数量不少于文具A 的数量的.且文具 A
和文具B 全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案.
21.[问题提出]:如何解不等式|x-1|+|x-3>x+2?
预备知识1:同学们学习了一元一次方程、 一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型
和函数的图象，可以解决一系列问题.
图①中给出了函数y=x+1 和y=2x+3 的图象，观察图象，我们可以得到：
当x>-2 时，函数y=2x+3 的图象在y=x+1 图象上方，由此可知：不等式2x+3>x+1 的
解集为
预备知识2:函数. 称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝
对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取
值段”化简，即可去掉绝对值符号.比如化简|x-1|+|x-3| 时，可令x-1=0 和x-3=0,
分别求得x=1,x=3 (称1,3分别是|x-1| 和|x-3| 的零点值),这样可以就x<1,l≤x<3,
x≥3三种情况进行讨论：
(1)当x<1 时， |x-1|+|x-3|=-(x-1)-(x-3)=4-2x
( 2 ) 当l≤x<3 时， |x-1|+|x-3|=(x-1)-(x-3)=2;
(3)当x≥3 时， |x-1|+|x-3|=(x-1)+(x-3)=2x-4
所以|x-1+|x-3| 就可以化简为
预备知识3:函数y=b(b 为常数)称为常数函数，其图象如图③所示.
[知识迁移]
如图④,直线y=x+1 与直线y=ax+b 相交于点A(m,3), 则关于x 的不等式x+l≤ax+b 的
解集是
山 心
[问题解决]:
结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式|x-1|+x-3Px+2.
(1)请在图⑤所示请在平面直角坐标系内作出函数y=|x-1|+|x-3| 的图象.
(2)通过观察图象，便可得到不等式|x-1|+|x-3>x+2 的解集.这个不等式的解集
为 _ ·
客 ①
名 ②
③
图④
22.(1)问题提出：如图1,点E 为等腰△ABC内一点，AB=AC,∠BAC=α, 将AE绕
着点A逆时针旋转α得到AD, 求证：△ABE=△ACD.
(2)尝试应用：如图2,点D 为等腰RtAABC外一 点，AB=AC,BD⊥CD, 过点A的直
线分别交 DB的延长线和CD的延长线于点N,M, 若∠M=60°, 求证： MC+NB=2AM.
(3)问题拓展：如图3,△ABC中 ，AB=AC, 点 D,E 分别在边AC,BC 上，
∠BDA=∠BEA=60°,AE,BD
图1
交于点H. 若CE=5,AH=3, 求BE 的长度.
图3
2023-2024学年度罗湖区翠园中学第二学期期中质量检测
八年级数学
参考答案与解析
一 .选择题(共10小题)
1.《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的 故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来.下面四幅图是我国一
些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【解答】解： A 、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意；
B 、是中心对称图形，故选项正确，符合题意；
C 、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；
D、 不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意.
故选： B.
2. 下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A.6x²y³=2x²·3y³ B.a²-2a+1=(a-1)²
C.a(a+1)(a-1)=a³-a
【解答】解： A 、6x²y³=2x²·3y³, 此选项为单项式的变形，非因式分解，故本选项不合
题意；
B 、a²-2a+1=(a-1)²,
C 、a(a+1)(a-1)=a³-a,
此选项为公式法因式分解，属于因式分解，故本选项符合题意；
此选项是整式乘法运算，非因式分解，故本选项不合题意；
D、
,此选项未将一个多项式化成几个整式乘积的形式，故本选项不合题
意；
故选：B.
3. 已知a>b,
A.a-b<0
则下列各式中一定成立的是(
B.2a-1<2b-1
)
C.ac²>bc²
D.
【解答】解： A、∵a>b∴a-b>0,
B、∵a>b∴2a>2b∴2a-1>2b-1,
故A不合题意；
故 B 不合题意；
C 、当c²=0 时 ，ac²=bc², 故 C 不合题意；
D 、a>b, 则： 故 D符合题意；
故选：D.
4. 满足下列条件的AABC 不是直角三角形的是( )
A.AC=1,BC=√3,AB=2 B.AC:BC:AB=3:4:5
C. ∠A:∠B:∠C=1:2:3 D. ∠A:∠B:∠C=3:4:5
【解答】解： A、∵1²+(√3)²=4,2²=4,
∴1²+( √3)²=2²,
∴AC=1,BC=√3,AB=2 满足AABC 是直角三角形；
B、∵3²+4²=25,5²=25,
∴3²+4²=5²,
∴AC:BC:AB=3:4:5 满足AABC 是直角三角形；
C、∵∠A:∠B:∠C=1:2:3,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A:∠B:∠C=1:2:3 满足AABC 是直角三角形；
D、∵∠A:∠B:∠C=3:4:5,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A:∠B:∠C=3:4:5,AABC 不是直角三角形.
故选： D.
5. 如图，AABC中，∠ACB=80°, 将△ABC绕点C 顺时针旋转得△EDC. 当点B的对应点
D 恰好落在 AC 上时，∠CAE的度数是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
【解答】解：∵将AABC绕点C 顺时针旋转得AEDC.
∴∠ACB=∠DCE=80°,AC=CE,
∴∠CAE=50°
故选： C.
6.用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先提出的假设是( )
A. 同旁内角不互补的两条直线平行
B. 同旁内角互补的两条直线不平行
C. 同旁内角互补的两条直线平行
D. 同旁内角不互补的两条直线不平行
【解答】解：由题意可得，
反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设同旁内角不互补的两条
直线平行，
故 选 ：C.
7. 如图，直线y=kx+b 经过点A(2,1),B(-1,-2), 则不等式kx+b>-2 的解集
是( )
A.x>-1 B.x<-1 C.x>2 D.x<2
【解答】解：∵直线y=kx+b 经过点A(2,1),B(-1,-2),
∴代入得：
解 得 ：k=1,b=-1,
∴直线的解析式是y=x-1,
即x-1>-2,
x>-1,
则不等式kx+b>-2 的解集是x>-1,
故选： A.
8. 下列说法中错误的是( )
A. 等边三角形是等腰三角形
B. 等腰三角形的高线、中线和角平分线互相重合
C. 三角形的高、中线、角平分线都是线段
D. 钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外一点
【解答】故选： B.
9. 若不等式组无解，则m 的取值范围是( )
A.m<2 B.m≤2 C.m≥2 D.m>2
【解答】故选： C.
10. 如图，∠ABC=∠ADB=90°,DA=DB,AB 与CD 交于点E, 若BC=2,AB=4,
则点D 到AC 的距离是( )
A.
B.
C.
D.
【解答】解：过点D 作DF⊥AC, 垂足为F, 过点D 作DG⊥CB, 交CB的延长线于点G,
∵∠ABC=90°,BC=2,AB=4,
∴AC=√AB²+BC²=√4²+2²=2√5,
∵∠ADB=90°,DA=DB,
: ∠DBA=∠DAB=45°, ·
∵∠ABC=90°,
∴∠ABG=180⁰-∠ABC=90°,
∴∠DBG=90⁰-∠DBA=45°,
在 RtADBG 中 ，DB=2√2,
∴△ADC的面积=AABC 的面积+AADB的面积 -ADBC 的面积，
∴√5DF=4+4-2,
∴ 点D 到 AC 的距离是
故选： B.
二 . 填空题(共5小题)
11.因式分解： a²b+ab²=
【解答】故答案为： ab(a+b).
12. 在平面直角坐标系中，将点P(2,6) 向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度
得到的点的坐标是_ (1,8)_.
【解答】解：将点P(2,6)向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的点的坐
标是(2-1,6+2),
即(1,8)
故答案为：(1,8) ·
13. 关 于x 的方程x-a=1-x 的解是一个非负数，则a 的取值范围是∠a≥-1__.
【解答】解：由x-a=1-2x得，,
;
∵关于x 的方程x-a=1-x 的解是一个非负数，
解得a≥-1:
故答案为： a≥-1
14.如图，在等腰三角形ABC中 ，AB=AC=√5,BC=2,AD
分AC 交AD于点F, 则 AF 的长是
【解答】解：等腰三角形ABC中 ，AB=AC=√5,BC=2,AD
∴AD⊥BD,
∴AD=√AB²-BD²=√(√5F-F=2,
连接CE,
∵GE 垂直平分AC 交AD 于点F,
∴AF=CF,
设AF=x, 则DF=AD-x=2-x,CF=AF=x,
在RtACDF中， DF²+CD²=CF²,
即(2-x)²+1²=x²,
解得：
故答案为：
平分∠BAC,GE 垂直平
平分∠BAC,
: ·
15. 如图，在边长为4的等边△ABC 中，射线BD⊥AC 于点D, 将△ABD 沿射线BD 平移，
得到AEGF, 连接CF 、CG, 则CF+CG 的最小值为_2 √ 7_
【解答】解连接AG 、AE 、AF, 作 点F 关于点E 的对称点F', 连接AF'.
∵AE//BD,
则AF'=AF,
∵△ABC 为等边三角形， BD⊥AC,
∴AG=CG,AF=CF,
∴AF'=CF.
∴CF+CG=AF'+AG,
当G 、A 、F '三点在同一直线上时， AF'+AG 的最小值为GF'.
连接GF',
∵等边△ABC的边长为4,
,FF¹=2EF=2AD=AC=4,
∴GF'=√GF²+FF¹²=√(2√3)²+4²=2√ 7,
即AF'+AG 的最小值为2 √7.
故答案为：2 √7.
三 .解答题(共7小题)
16.(1)因式分解：8a³b²+12ab³c;
(2)(x-2)²-x+2
【解答】解：(1)原式=4ab²(2a²+3bc);
(2)原式=(x-2)²-x+2=(x-2)²-(x-2)=(x-2(x-3)
17. 解不等式组 并将其解集在数轴上表示.
【解答】解：
解不等式①得：x≤4,
解不等式②得：
∴原不等式组的解集为：
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
2
18.如图，在平面直角坐标系xOy中，AABC的三个顶点坐标分别为A(1,1),B(4,0),C(4,4).
( 1 ) 若AABC经过平移后得到△ABC, 已知A(-4,0).
①作出平移后的△A₁B,C
②平移的距离为_ √26_个单位长度；
(2)将AABC 绕点B 逆时针旋转90°,得到△A₂B₂C₂,
①作出旋转后的△A₂B₂C₂;
②求BA 在旋转过程中所扫过的面积为
【解答】解：(1)①如图，△A₁BC₁ 为所作；
②平移的距离= √ (1+4)+F= √26,
故答案为 √26;
(2)①如图，△A₂B₂C₂ 为所作；
19. 已知：如图，在△ADC中 ，AD=CD, 且 AB/1DC,CB⊥AB 于 B,CE⊥AD 交AD
的延长线于E, 连接BE ·
(1)求证： CE=CB;
(2)若∠CAE=30°,CE=2,
求BE 的长度.
【解答】解：(1)证明：∵AD=CD,
∴∠DAC=∠DCA,
∵AB/ICD,
∴∠DCA=∠CAB,
∴∠DAC=∠CAB,
∴AC是∠EAB的角平分线，
又∵CE⊥AD,CB⊥AB,
∴CE=CB.
(2)∵AC 是∠EAB的角平分线，
∴∠EAB=2∠CAE=60°,
∵∠DCA=∠DAC=30°,
∴∠EDC=∠DCA+∠DAC=60°,
∵CE⊥AD,
∴∠CED=90°,
∴∠ECD=30°,
∵CB⊥AB,
∴∠CBA=90°
∵AB//CD,
∴∠CBA+∠DCB=180°,
∴∠DCB=90°,
∴∠ECB=∠ECD+∠DCB=120°,
∵CE=CB=2,
∴∠EBA=60°,
∴∠AEB=∠EAB=∠ABE=60°,
∴AAEB是等边三角形，
∴BE=AB;
在RtAABC中，
∵BC⊥AB,∠CAB=30°,
∴AC=2BC=4,
∴AB=√AC²-BC²=√4²-2²=2√3,
∴BE=2√3.
20. 某文具商店购买了两种类型文具A 和文具B 销售，若购A 文具5个，B 文具3个，需
要105元：若购进A文具8个， B 文具6个，需要186元.
(1)求文具A, 文具B 的进价分别是多少元?
(2)若每个文具A 的售价为20元，每个文具B 的售价为21元.结合市场需求，该商店决
定购进文具A 和文具B 共80个，且购进文具B 的数量不少于文具A 的数量的 且文具 A
和文具B 全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案.
【解答】解：(1)设文具A, 文具B 的进价分别是x 元 ，y 元，由题意，得：
解得：
答：文具A, 文具B 的进价分别是12元和15元；
(2)设购进文具A的数量为a 个，则购进文具B(80-a) 个，由题意，得：
解得： a≤48,
设总利润为w, 由题意，得：w=(20-12)a+(21-15)(80-a)=2a+480,
∴w随a 的增大而增大，
∵a≤48,
∴当a=48 时，此时80-a=32,w 有最大值为576;
答：当购进文具A的数量为48个，文具B 的数量为32个时，利润最大为576元.
21.【问题提出]:如何解不等式|x-1|+|x-3>x+2?
预备知识1:同学们学习了一元一次方程、 一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型
和函数的图象，可以解决一系列问题.
图①中给出了函数y=x+1 和y=2x+3 的图象，观察图象，我们可以得到：
当x>-2 时，函数y=2x+3 的图象在y=x+1 图象上方，由此可知：不等式2x+3>x+1 的
解集为
预备知识2:函数. 称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝
对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取
值段”化简，即可去掉绝对值符号.比如化简|x-1|+|x-3| 时，可令x-1=0 和x-3=0,
分别求得x=1,x=3 (称1,3分别是|x-1| 和 |x-3| 的零点值),这样可以就x<1,l≤x<3,
x≥3三种情况进行讨论：
(1)当x<1 时， |x-1|+|x-3|=-(x-1)-(x-3)=4-2x
(2)当l≤x<3时， |x-1|+|x-3|=(x-1)-(x-3)=2;
(3)当x≥3 时， |x-1|+|x-3|=(x-1)+(x-3)=2x-4
所以|x-l+|x-3| 就可以化简为
预备知识3:函数y=b(b 为常数)称为常数函数，其图象如图③所示.
[知识迁移]
如图④,直线y=x+1 与直线y=ax+b 相交于点A(m,3), 则关于x 的不等式x+l≤ax+b 的
解集是
[问题解决]:
结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式|x-1|+x-3>x+2.
(3)请在图⑤所示请在平面直角坐标系内作出函数y=|x-1|+|x-3| 的图象.
(4)通过观察图象，便可得到不等式|x-1|+|x-3>x+2 的解集.这个不等式的解集
为 .
图①
图②
图③
图④
【解答】解：[问题提出],如图，
图①
∵当>-2时，函数y=2x+3 的图象在y=x+1 的图象上方，
:不等式2x+3>x+1 的解集为： x>-2,
故答案为： x>-2;
[知识迁移],如图，
图④
∵点A(m,3)在 y=x+1 上，
∴m+1=3,
解得： m=2,
∴A(2,3)
∵当x≤2 时，直线y=ax+b 的图象在y=x+1
∴不等式ax+b≥x+1,
即x+l≤ax+b 的解集为：x≤2
故答案为： x≤2;
[问题解决],如图，
根据题意得：
图⑤
故图像为
时， y=|x-1|+|x-3|
的图象在y=x+2
由函数图象可知，当
当x>6 时， y=|x-1|+|x-3|
的图象的上方，
图⑥
的图象在y=x+2 的上方，
的上方，
故不等式|x-1|+|x-3>x+2 的解集为： 或x>6,
故答案为： 或x>6.
22.(1)问题提出：如图1,点E 为等腰△ABC内一点， AB=AC,∠BAC=α, 将AE绕
着点A 逆时针旋转α得到AD, 求证：AABE=AACD.
(2)尝试应用：如图2,点D 为等腰RtAABC外一点， AB=AC,BD⊥CD, 过点A的直 线分别交 DB的延长线和CD的延长线于点N,M, 若∠M=60°, 求证： MC+NB=2AM.
(3)问题拓展：如图3,△ABC 中 ，AB=AC, 点 D,E 分别在边 AC,BC 上，
∠BDA=∠BEA=60°,AE,BD 交于点H. 若CE=5,AH=3, 求BE 的长度.
图1
图3
【解答】(1)证明：∵将AE绕着点A逆时针旋转α得到AD,
∴∠EAD=a,AE=AD,
· ∠BAC=α,
∴∠BAC=∠EAD,
∴∠BAE=∠CAD,
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE=△ACD(SAS);
(2)证明：延长MC 至G, 使 CG=BN, 连 接AG, 设 BD交AC 于K, 如图：
G
∵∠BAK=90°=∠CDK,∠AKB=∠DKC,
∴∠ABK=∠DCK,
∴∠ABN =∠ACG,
在△ABN 和AACG中，
∴△ABN=△ACG(SAS),
∴∠BAN =∠CAG,
∵∠CAG+∠BAG=90°,
∴∠BAN+∠BAG=90°, 即∠NAG=90°,
∴∠MAG=90°
∵∠M=60°
∴∠G=30°,
∴MG=2AM,
∵MG=MC+CG=MC+NB,
∴MC+NB=2AM;
(3)解：将AB 绕 点A 逆时针旋转60°至AF, 作 AM⊥BC 交 BC 于 M, 连 接BF,EF,
如图：
B
∵将AB绕点A 逆时针旋转60°至AF,
∴AB=AF,∠BAF=60°,
∴△ABF为等边三角形，
∴BF=AF=AB=AC,∠AFB=∠ABF=60⁰=∠BDA=∠BEA,
∵∠AHD=∠BHE,
∴∠3=∠2,
∵∠AKE=∠BKF,
∴∠4=∠1,
∵∠AEB=60⁰=∠C+∠2,∠ABF=60⁰=∠ABD+∠3+∠4,
∴∠C+∠2=∠ABD+∠3+∠4,
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABD+∠3,
∴∠2=∠4,
∴∠1=∠2=∠3=∠4;
在△ACE 和 AAFE 中，
∴△ACE=△AFE(SAS),
∴CE=EF=5,∠AEC=∠AEF,
∵∠AEB=60°,
∴∠AEC=∠AEF=120°,
∴∠BEF=∠AEF-∠AEB=60⁰=∠AEB,
∵∠3=∠4,BE=BE,
∴△BEH=△BEF(ASA),
∴EH=EF=5,
∴AE=AH+EH=3+5=8,
∵AM⊥BC,∠AEM=60°,
∴∠MAE=30°,
∴CM=EM+CE=4+5=9,
∵AB=AC,AM⊥BC,
∴BM=CM=9,
∴BE=BM+EM=9+4=13;
∴BE的长度为13.