2024年广东省汕头市濠江区中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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说明：本卷试题共4页，满分为120分，考试用时为120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试题上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题10题，每小题3分，共30分）．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1. 给出四个数0，，，2024，其中最小的是（ ）
A. 0B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴四个数中最小的数为，
故选：C．
2. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三视图判断几何体的形状，即可得出判断．
【详解】由左视图为长方形，俯视图为三角形，结合主视图、左视图知该几何体为三棱柱，
故选：C．
【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查了空间想象能力．
3. 阅读可以丰富知识，拓展视野，在世界读书日（4月23日）当天，某校为了解学生的课外阅读，随机调查了40名学生课外阅读册数的情况，现将调查结果绘制成如图．关于学生的读书册数，下列描述正确的是（ ）
A. 极差是6B. 中位数是5C. 众数是6D. 平均数是5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了极差、中位数、众数以及平均数的判断，分别计算极差、中位数、众数以及平均数进行判断即可．
【详解】解：A、极差，故选项不符合题意；
B、中位数是第20和第21个数的平均数为5，故选项符合题意；
C、5出现的次数最多，故众数是5，故选项不符合题意；
D、平均数为，故选项不符合题意．
故选：B．
4. 计算，则“？”是（ ）
A. 8B. 6C. 5D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先将写成，然后用同底数幂相乘运算法则即可解答．
【详解】解：，则“？”是5．
故选C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，将写成是解答本题的关键．
5. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可．
【详解】，
解①得，
解②得，
∴不等式组解集为，
在数轴上表示为：

故选B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．不等式组的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点．
6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定a、b、c的正负，然后确定一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【详解】解：由图可知，抛物线的开口向下，对称轴位于y轴的左侧，与y轴正半轴交于一点，
即，，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，且，
∴反比例函数的图象经过第二、四象限．
故选项B符合题意．
7. 如图，是的切线，点是切点，延长交于点，连接，，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查切线的性质定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识．连接、，由是的直径，得，，由切线的性质得，而，则，得到是等边三角形，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接、，则，
是的直径，
，，
与相切于点，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
故选：C．
8. 四边形中，，且，长是关于x的方程的两个实数根，则四边形是（ ）
A. 矩形B. 平行四边形C. 梯形D. 平行四边形或梯形
【答案】C
【解析】
【分析】、长是关于x的方程的两个实数根，即判别式，可得到与的关系，再判定四边形的形状．
【详解】解：∵，，，
∴
∴方程有两个不相等的实数根．
∴，
∵，
∴四边形是梯形．
故选：C．
【点睛】本题利用了一元二次方程的根的判别式与根的关系，根据方程根的情况判断和的长度关系是解题的关键．
9. 为降低成本，某出租车公司推出了“油改气”措施，如图，，分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需费用2倍多元，设燃气汽车每千米所需费用为x元，则可列方程为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设燃气汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需的费用为元，由图像可得，燃油汽车花费30元所行驶的路程等于燃气汽车10元行驶的路程，依次列方程即可．
【详解】解：设燃气汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需的费用为元，
由图像可得，燃油汽车花费30元所行驶的路程等于燃气汽车10元行驶的路程，
即
故选：C．
10. 用弹簧秤将一长方体铁块悬于没有盛水的水槽中，再向水槽匀速注入水，直至铁块完全浸没在水中（如图），则能反映弹簧秤的读数y（单位：N）与水面高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】开始一段的铁块在空气中弹簧秤的读数保持不变，当铁块进入水中的过程中，弹簧秤的读数逐渐减小，直到全部进入水中，弹簧秤的读数保持不变．
【详解】解：根据铁块浸没在水中的过程可知，弹簧秤的读数由保持不变﹣逐渐减小﹣保持不变．
故选A．
【点睛】本题考查了函数概念及其图象．关键是根据弹簧秤的读数变化情况得出函数的图象．
二、填空题（本大题6题，每小题3分，共18分）．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11. 据探测，马里亚纳海沟的最大水深位于斐查兹海渊，水深约11000米，是地球的最深点，11000用科学记数法表示为___________．
【答案】1.1×104
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：11000=1.1×104，
故答案为：1.1×104．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12. 若点，都在反比例函数的图象上，且，则____________．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据函数解析式可得反比例函数图象经过第一、三象限，再由可得．
【详解】解：∵反比例函数解析式为，，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，
∵，
∴，
故答案：．
13. 某校课后服务课程有：足球，篮球，书法，舞蹈．为了解最受学生喜爱的课后服务课程，该校对初一同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息可知，该校初一学生中最喜爱足球课程的人数是___．
【答案】210
【解析】
【分析】先求解总人数,再利用总人数乘以足球所占的百分比即可.
【详解】解：总人数为：（人），
∴该校初一学生中最喜爱足球课程的人数是（人），
故答案为：210
【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，理解题意，再列式计算是解本题的关键.
14. 若边长分别为a，b（）的两个正方形按如图所示摆放，则图中阴影部分的面积为______．（用含a，b的式子表示）．

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，根据图形补成一个长方形，将去三个三角形即可求出阴影部分的面积，观察图形所给条件并列式是解答本题的关键．
【详解】解析：如图补成一个长方形，

．
15. 如图，在中，是的平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是_____．
【答案】####7.2
【解析】
【分析】过点D作于点E，过点E作于点Q，交于点P，连接，先根据角平分线的性质得到，进而根据证明，再根据证明，然后根据证明，最后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：过点D作于点E，过点E作于点Q，交于点P，连接，此时取最小值，如图所示．
在中，．
∵是的平分线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
延长，交于F，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值是，
故答案为．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
16. 已知正方形和正六边形边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使边与边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使边与边重合，完成第一次旅转；再绕点C顺时针旋转，使边与边重合，完成第二次旋转；…在这样连续的旋转过程中，第6次点M在图中直角坐标系中的坐标是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，坐标与图形变化—旋转，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，先将正方形旋转六次的图形画出，确定六次旋转之后点的位置，然后通过添加辅助线构造出直角三角形，进而利用含角的直角三角形的性质求、，再根据勾股定理求得，再根据正六边形的性质、线段的和差即可求得，即可得解．
【详解】解：经历六次旋转后点落在点处，过作于点，设点为正六边形中心，连接，如图：
∵在中，，，
∴，
∴，，
∵点是正六边形的中心，
∴，
∴，
∴点的坐标是：．
故答案为：
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再计算算术平方根，最后计算加减法即可．
【详解】解；
18. 如图，点为平分线上一点，交于点．求证：是等腰三角形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】此题主要考查等腰三角形的判定，根据平行线的性质、角平分线的性质证明，由等腰三角形的判定即可求解．
【详解】证明：平分，
．
，
，
，
，
是等腰三角形．
19. （1）如图的方格，每个小格的顶点叫做格点，若每个小正方形边长为1单位，请在方格中作一个正方形，同时满足下列两个条件：
①所作的正方形的顶点，必须在方格上；
②所作正方形的面积为8个平方单位
（2）在数轴上表示实数（保留作图痕迹）

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形面积得出正方形周长，再根据勾股定理和网格，构造出边长即可；
（2）以A为圆心、为半径做弧交数轴于点E，点E即为所求．
【详解】解：（1）∵正方形面积为8个平方单位，
∴正方形边长为个平方单位，
∵，
∴如图，四边形即为所求的正方形；
（2）以A为圆心、为半径做弧交数轴于点E，点E即为所求．
【点睛】本题主要考查了根据勾股定理和网格构造无理数，解题的关键是掌握用勾股定理和网格构造无理数的方法和步骤．
20. 阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：；
立方差公式：．
根据材料和已学知识解决下列问题
（1）因式分解：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）
（2），5
【解析】
【分析】（1）根据材料给出的立方差公式，分解因式即可；
（2）根据材料给出的立方差公式，先对分式进行因式分解，化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【小问1详解】
）原式
【小问2详解】
原式
=
．
当时，原式．
【点睛】本题考查了公式法分解因式、分式化简求值，掌握立方差公式的应用，读懂材料是解题关键．
21. 嘉嘉给琪琪展示她做的一个小程序，如图，运行程序后屏幕显示一个平面直角坐标系，当她在键盘上输入数字“2”时，屏幕上显示一个点，坐标为，输入数字“3”时，屏幕上显示另一个点，坐标为，嘉嘉告诉琪琪：这些点都在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式，并求出输入“4”得到的点的坐标；
（2）嘉嘉和琪琪从2、3、4中各选一个数字输入，得到两个不同的点，求两个点都在轴下方的概率．
【答案】（1），（4，－8）；（2）
【解析】
【分析】（1）将（2，0），（3，－3）分别代入函数关系式联立方程组求解即可，再将x＝4代入即可求得点的坐标；
（2）利用树状图即可判断两个点都在轴下方的概率．
【详解】解：（1）将（2，0），（3，－3）分别代入得：
解得
∴，
当x＝4时，y＝－16＋8＝－8，
∴输入“4”得到的点的坐标为（4，－8）；
（2）由题意可知三个点的坐标分别为（2，0），（3，－3），（4，－8），
一共有9种等可能性的结果，其中两个点都在x轴下方的可能性有4种，
∴两个点都在轴下方的概率为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数关系式以及用树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22. 甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一”假期，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y甲（元），在乙采摘园所需总费用为y乙（元），图中折线O﹣A﹣B表示y乙与x之间的函数关系．
（1）求y甲、y乙与x之间的函数关系式；
（2）当游客采摘15千克的草莓时，你认为他在哪家草莓园采摘更划算？
【答案】（1）y甲＝18x+60；y乙＝
（2）甲家草莓园采摘更划算
【解析】
【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可；
（2）根据的值，结合（1）中的解析式，分别求得甲乙两家草莓园的总费用，比较即可求解；
【小问1详解】
根据题意得，甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格：300÷10＝30（元/千克）．
∴y甲＝30×0.6x+60＝18x+60；
当0＜x≤10时，y乙＝30x；
当x＞10时，设y乙＝kx+b，
由题意的：，
解得，
∴y乙＝12x+180，
∴y乙与x之间的函数关系式为：y乙＝
【小问2详解】
当x＝15时，y甲＝18×15+60＝330，
y乙＝12×15+180＝360，
∴y甲＜y乙，
∴他在甲家草莓园采摘更划算．
【点睛】本题考查了一次函数应用，根据函数图象获取信息是解题的关键．
23. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且CF是⊙O的切线．
（1）求证：∠DCF＝∠CAD．
（2）探究线段CF，FD，FA的数量关系并说明理由；
（3）若csB＝，AD＝2，求FD的长．
【答案】（1）证明过程见详解
（2）FC2＝FD•FA；理由见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）可证明△FCD∽△FAC，即可得出结论；
（3）由csB＝，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD＝3：4：5，再根据相似三角形的性质可求出答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠OCD+∠OCA＝90°，
∵FC是⊙O的切线，
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
∴∠OCA=∠DCF，
∵OC＝OA，
∴∠CAD＝∠OCA，
∴∠DCF＝∠CAD；
【小问2详解】
解：FC2＝FD•FA，理由如下：
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴，
∴FC2＝FD•FA；
【小问3详解】
解：∵∠B＝∠ADC，csB＝，
∴cs∠ADC＝，
在Rt△ACD中，
∵cs∠ADC＝＝，
∴，
由（2）知△FCD∽△FAC，
∴，
∴FC2＝FD•FA，
设FD＝3x，则FC＝4x，
又∵FC2＝FD•FA，
即（4x）2＝3x（3x+2），
解得x＝（取正值），
∴FD＝6x＝．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质．
24. 如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，且顶点的坐标为，对称轴与直线交于点，与轴交于点，连接．

（1）求二次函数的解析式；
（2）点在上方二次函数图象上，且的面积等于6，求点的坐标；
（3）在二次函数图象上是否存在一点，使得？若存在，求出直线与轴的交点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）由题意可设二次函数的解析式为，然后把点A的坐标代入求解即可；
（2）由题意可得，则可得直线的解析式为，然后可得，进而问题可求解；
（3）由题意可分①当在内部且时，令直线与轴的交点为点，②当在外部，且时，令直线与轴的交点为点，然后根据等腰直角三角形的性质及勾股定理可进行求解．
【小问1详解】
解：设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为，
把顶点代入，得，把点代入得：
，
∴，
∴二次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
设直线的解析式为，把的坐标代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵二次函数的对称轴是直线，
∴点的横坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：存在，理由如下：
∵点坐标为，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵抛物线的顶点，
∴两点关于直线对称，
∴点坐标为，
①当在内部且时，令直线与轴的交点为点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
∴直线与轴的交点的坐标为；

②当在外部，且时，令直线与轴的交点为点，
∵，，
∴，即过点作的垂线与抛物线的交点为为则在中，，
∴

解得，
∴与轴的交点的坐标为，
综上所述，直线与轴的交点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
25. 如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点G．
（1）求线段的长．
（2）判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由．
（3）如图，M、N分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设．是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3 （2）菱形，理由见解析
（3）或2
【解析】
【分析】（1）由翻折可知：．，设，则．在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
（2）首先证明，，推出四边形是平行四边形，再根据邻边相等推出四边形是菱形．
（3）是直角三角形，，只有或．分两种情形画出图形分别求解即可．
【小问1详解】
解：如图1中，
四边形是矩形，
，，
，
由翻折可知：．，设，则．
在中，，
，
在中，则有：，
，
．
【小问2详解】
菱形，理由是：
证明：如图2中，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【小问3详解】
是直角三角形，，
只有或．
如图中，当时，
，
∴，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
如图中，当时，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或2．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．