2024年江苏省盐城市东台市第二教育联盟中考模拟考试一模数学试题

这是一份2024年江苏省盐城市东台市第二教育联盟中考模拟考试一模数学试题，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（分值：150分 时间：120分钟）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据和为的两个数是互为相反数即可求解．
【详解】解：根据题意可知：的相反数为．
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．
2. 已知二元一次方程2x+3y＝3，其中x与y互为相反数，则x，y的值为（ ）
A. x＝﹣4，y＝4B. x＝4，y＝﹣4C. x＝3，y＝﹣3D. x＝﹣3，y＝3
【答案】A
【解析】
【分析】x与y互为相反数，那么y＝−x，然后联立解方程组即可求解．
【详解】解：由题意得：x＋y＝0，即y＝−x，
代入已知方程得：2x−3x＝4，
解得：x＝−4，
则y＝4．
故选：A．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解本题的关键．
3. 下列运算中，计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】该试卷源自 每日更新，享更低价下载。【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则和公式是解答本题的关键．根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，二次根式的除法法则逐项分析即可．
【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故不正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，正确；
故选D．
4. 实数、、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有（ ）
①； ②； ③； ④．
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，不等式的性质，解题的关键是利用数轴确定、、的取值范围．先由数轴可得，且，再判定即可．
【详解】解：由数轴可得，且，
①，正确；
②，正确；
由，得到，③错误；
④，正确；共个正确．
故选：C．
5. 如图，已知在平面直角坐标系中，的顶点，，，函数的图象经过点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图（见解析），过点C作轴于点D，根据点A、B的坐标可得，从而可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，设，从而可得点C的坐标为，然后利用反比例函数的解析式可求出a的值，最后利用两点之间的距离公式即可得．
【详解】如图，过点C作轴于点D，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
将代入得：，
解得或（不符题意，舍去），
，
由两点之间的距离公式得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用、等腰直角三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质是解题关键．
6. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG：S△ABG=（ ）
A. 1：3B. 3：1C. 1：9D. 9：1
【答案】C
【解析】
【详解】【分析】先证明△EFG∽△BAG，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题.
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∵DE=EF=FC，
∴EF：AB=1：3，
∵CD∥AB，
∴△EFG∽△BAG，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握和灵活运用平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.
7. 如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A ①②B. ①③C. ①②④D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
根据正方形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质得到，故①正确；求得，根据垂直的定义得到，故②正确；推导出不是等边三角形，进而得到，故③错误；延长交的延长线于，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到．故④正确．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵分别是的中点，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴不是等边三角形，
∴，故③错误；
∵，
∴，
延长交的延长线于，如图，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是斜边的中线，
∴．故④正确；
故选：C．
8. 如图，抛物线经过点，且，有下列结论：①；②；③；④若点在抛物线上，则．其中，正确的结论有（ ）

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】抛物线经过点，且，，可以得到，，从而可以得到b的正负情况，从而可以判断①；继而可得出，则，即可判断②；由图象可知，当时，，即，所以有，从而可得出，即可判断③；利用，再根据，所以，从而可得，即可判断④．
【详解】解 ：∵抛物线的图象开口向上，
∴，
∵抛物线经过点，且，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴
∴，故②正确；
由图象可知，当时，，即，
∴
∵，，
∴，故③正确；
∵，
又∵，
∴，
∵抛物线的图象开口向上，
∴，故④错误．
∴正确的有①②③共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握根据二次函数图象性质是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9. 若，，则的值是___________________．
【答案】6
【解析】
【分析】先提公因式分解原式，再整体代值求解即可．
【详解】解：，
∵，，
∴，
∴原式，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解方法，利用整体思想方法是解答的关键．
10. 红细胞的直径约为，用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：．
故答案为：
11. 已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为__________．
【答案】m＞1且m≠2．
【解析】
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
【详解】原方程整理得：2x-m=x-1
解得：x=m-1
因为x＞0，所以m-1＞0，即m＞1．①
又因为原式是分式方程，所以，x≠1，即m-1≠1，所以m≠2．②
由①②可得，则m的取值范围为m＞1且m≠2．
故答案为：m＞1且m≠2．
【点睛】考核知识点：解分式方程.去分母，分母不等于0是注意点.
12. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为__________米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）
【答案】208．
【解析】
【详解】试题解析：由题意可得：tan30°=，
解得：BD=30，
同理，DC=90
故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120.
13. 如图，已知圆柱底面周长为4，高为2，在圆柱的侧面上，过点A和点C镶嵌一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小值为________

【答案】
【解析】
【分析】把圆柱的侧面展开，得到矩形，根据勾股定理求解即可；
【详解】解：把圆柱的侧面展开，得到矩形，如下图：
则这圈金属丝的周长最小值为的长度；
∵圆柱的底面周长为4，高为2，
∴，
∴
则这圈金属丝的周长最小值为
故答案为：
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确运用勾股定理进行求解．
14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为 _____．

【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件得出，根据等面积法得出，设，则，进而即可求解．
【详解】解：∵点，点，
∴，
，
∵，
∴，
过点作于点，

∵，是的角平分线，
∴
∵
∴
设，则，
∴
解得：或（舍去）
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了正切的定义，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
15. 如图，以AB为直径的半圆O内有一条弦AC，P是弦AC上一个动点，连接BP，并延长交半圆O于点D．若AB＝5，AC＝4，则的最大值是 __．
【答案】
【解析】
【分析】过D作DE⊥AC于E，过O作OF⊥AC于F，作OG⊥DE于G，连接OD，BC，得到BCDE，根据勾股定理得到BC3，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，过D作DE⊥AC于E，过O作OF⊥AC于F，作OG⊥DE于G，连接OD，BC，
则BCDE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC3，
∵DEBC，
∴△PDE∽△PBC，
∴，
∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
∴OFBC，
∵∠OFE＝∠FEG＝∠G＝90°，
∴四边形OFEG是矩形，
∴EG＝OF，
∵DE+EG＝DG≤OD，
∴DE≤1，
∴，
故的最大值是．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
16. 如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：①；②；③；④；⑤若，则，你认为其中正确的是_____（填写序号）
【答案】①②③④
【解析】
【分析】①四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，得∠ABD＝∠FBE＝45°，根据等式的基本性质确定出；②再根据正方形的对角线等于边长的倍，得到两边对应成比例，再根据角度的相减得到夹角相等，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判断；④根据两角相等的两个三角形相似得到△EBH∽△DBE，从而得到比例式，根据BE＝BG，代换即可作出判断；③由相似三角形对应角相等得到∠BAF＝∠BDE＝45°，可得出AF在正方形ABCD对角线上，根据正方形对角线垂直即可作出判断．⑤设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，结合BE2＝BH•BD，求出BH，DH，即可判断．
【详解】解：①∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，
∴∠ABD＝∠FBE＝45°，
又∵∠ABF＝45°−∠DBF，∠DBE＝45°−∠DBF，
∴，
∴选项①正确；
②∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，
∴AD＝AB，BF＝BE，
∴BD＝AB，BE=BF，
∴
又∵，
∴，
∴选项②正确；
④∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，
∴∠BEH＝∠BDE＝45°，
又∵∠EBH＝∠DBE，
∴△EBH∽△DBE，
∴ ，即BE2＝BH•BD，
又∵BE＝BG，
∴，
∴选项④确；
③由②知：，
又∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线，
∴∠BAF＝∠BDE＝45°，
∴AF在正方形另外一条对角线上，
∴AF⊥BD，
∴③正确，
⑤∵，
∴设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，
∴BE=，
∵BE2＝BH•BD，
∴，
∴DH=BD-BH=,
∴，
故⑤错误，
综上所述：①②③④正确，
故答案是：①②③④．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键．
三、解答题
17. （1）计算 ：
（2）解方程：
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）先根据绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义，二次根式的性质化简，再根据实数混合运算的顺序计算；
（2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．
【详解】解：（1）
（2）
两边都乘以，得
解得
检验：当时，，
∴是原方程的解．
【点睛】本题考查了对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义，二次根式的性质，以及分式方程的解法，熟练掌握特殊角的三角函数值、二次根式的性质以及分式方程的解法是解答本题的关键．
18. 解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
【答案】 整数解有
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别解几个不等式，然后把它们的解集的公共部分作为原不等式的解集；按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于小的小于大的为空集”，是解题的关键；
分别解出两不等式的解集，再根据大于小的小于大的取中间得到不等式组的解集即可求解．
【详解】解：
解不等式得
解不等式得，
则不等式组的解集为：，
不等式组的整数解有：
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先将除法变成乘法，再把分子、分母进行化简，最后把得数代入即可求得结果．
【详解】解：原式．
代入，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题时要注意把分式化到最简，再把得数代入是解题的关键．
20. 某校九年级举办“自强不息·百题闯关”活动，分为自强赛和不息赛．已知年级所有学生都分别参加了两个阶段的活动．为了解年级活动情况，现在随机抽取n名学生，将他们两次得分情况分别按以下六组进行整理（得分用x表示）；
A：，B：，C：，
D：，E：，F：，
并绘制自强赛测试成绩频数分布直方图和不息赛测试成绩扇形统计图，部分信息如下：

已知不息赛测试成绩D组的全部数据如下：
86，85，87，86，85，89，88．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1） ___________， ___________；
（2）不息赛测试成绩的中位数是___________；
（3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生获得“闯关之星”称号，请说明在抽取的n名学生中，自强赛和不息赛同时获得“闯关之星”称号的人数至多是多少？并给出理由．
【答案】（1）20，4
（2）
（3）自强赛和不息赛同时获得“闯关之星”称号的人数至多是11人．
【解析】
【分析】（1）根据不息赛D等级的人数以及所占比例可求得样本容量n，再用样本容量减去自强赛其他等级的人数即可求得a的值；
（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）求出自强赛和不息赛同时获得“闯关之星”称号的人数和即可．
【小问1详解】
解：，
，
故答案为：20，4；
【小问2详解】
解：不息赛A等级的人数为：（人）；
B等级的人数为：（人）；
C等级的人数为：（人）；
D等级的人数为：（人）；
将抽取的20名学生的成绩从小到大排列，处于中间位置的两个数的平均数为，
故答案为：
【小问3详解】
解：（人）；
答：自强赛和不息赛同时获得“闯关之星”称号的人数至多是11人．
【点睛】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图，掌握“频率=频数总数”是正确解答的前提．
21. 如图，点E是矩形的边上的一点，且．

（1）尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合角平分线的定义可得，则，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
四边形是菱形；
理由：∵矩形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
22. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先把代入求得m的值即可；
（2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解；
（3）分三种情况求解：①当时，②当时，③当时．
【小问1详解】
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
【小问2详解】
∵点在上，
∴，
∵，都在一次函数的图象上，代入得：
，
解得，
∴一次函数的解析式为；
∵直线与x轴交于点C，如图1，
∴，
∴，
∵A的坐标为，B的坐标为，
∴
；
【小问3详解】
①当时，
∵，
∴，
∴；
②当时，
作轴于点E，则．
∵，
∴，
∴，
∴．
同理可求；
③当时
设，
则，
解得，
∴．
同理可求．
综上可知，点P的坐标为．
【点睛】此题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键．
23. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E，交的延长线于点F．

（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）如果 ，求的长．
【答案】（1）相切，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)根据过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，证明垂直即可．
(2)根据勾股定理，三角形面积不同表示法，计算即可．
【小问1详解】
相切，理由如下：
连接，

∵为的直径，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴与相切．
【小问2详解】
．由（1）知，
∴在中，由勾股定理 得
．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，中位线定理，
三角形面积计算，熟练掌握切线判定和勾股定理，中位线定理是解题的关键．
24. 为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
（1）男装、女装的单价各是多少？
（2）如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
【答案】（1）男装单价为100元，女装单价为120元．
（2）学校有11种购买方案，当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元
【解析】
【分析】（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设参加活动的女生有a人，则男生有人，列不等式组找到a的取值范围，再设总费用为w元，得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可．
【小问1详解】
解：设男装单价为x元，女装单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：男装单价为100元，女装单价为120元．
【小问2详解】
解：设参加活动的女生有a人，则男生有人，
根据题意可得，
解得：，
∵a为整数，
∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，
故一共有11种方案，
设总费用为w元，则，
∵，
∴当时，w有最小值，最小值为（元）．
此时，（套）．
答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，找到题中的等量关系或不等关系是解题的关键．
25. 如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可；
（3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过两点，
∴，解得：，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
设直线，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴；
作点关于轴的对称点，连接，
则：，，
∴当三点共线时，有最小值为的长，

∵，，
∴，
即：的最小值为：；
【小问3详解】
解：存在；
∵，
∴对称轴为直线，
设，，
当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：
①为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
②当为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
③当为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
26.
综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．

【答案】（1）四边形是正方形，证明见解析；（2）；（3），证明见解析；
【解析】
【分析】（1）证明，可得，从而可得结论；
（2）证明四边形矩形，可得，同理可得：，证明，，，证明四边形是正方形，可得，从而可得结论；
（3）如图，连接，证明，，，，可得，再证明，可得，证明，可得，从而可得答案．
详解】解：（1）∵，，，
∴，，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
（2）∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
（3）如图，连接，
∵，正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，构建相似三角形是解本题的关键．