福建省福州市闽清县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂．）
1. 二次根式的值是（ ）
A. －2B. 2或－2C. 4D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简可得答案．
【详解】解：=2，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，当a≥0时，=a；当a”号连接）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了函数值的大小比较．数形结合是解题的关键．
根据题意画函数图象，然后结合图象判断作答即可．
【详解】解：如图，
由图象可知，，
故答案为：．
16. 如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为______．

【答案】##
【解析】
【分析】过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质以及已知条件得出，进而求得，根据折叠的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，

∵在中，，，，
∴，
∴，
在中，
∵将沿折叠得到，当点恰好落在上时，
∴
又
∴
∴
∴
设，
∴
在中，
∴
解得：（负整数）
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，满分86分，请在答题卡相应位置作答．）
17. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】此题考查了有理数的乘方，算术平方根和零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算有理数的乘方，算术平方根和零指数幂，然后计算加减．
【详解】原式
．
18. 如图，，，，垂足分别为，．若，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明，得出，由勾股定理可得出答案．
【详解】，
在与中
在中，
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先算分式的除法，再算分式的减法，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】

当时，原式．
20. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点．求直线的函数表达式．
【答案】直线的解析式为
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，先利用解析式确定A点坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式．
【详解】把代入，得，
，
设直线的解析式为，
点，在图象上，
，解得，
直线的解析式为．
21. 如图，中，为钝角．
（1）尺规作图：作边，的垂直平分线分别交于点，；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理；
（1）根据线段垂直平分线的作图方法分别作图即可．
（2）连接，．由线段垂直平分线的性质可得，
，则， ．结合勾股定理的逆定理可得，根据三角形内角和定理可得，即可根据求解．
【小问1详解】
作两条垂直平分线即可
【小问2详解】
连接，，
边，的垂直平分线分别交于点，，
，，
， ，
，
，
，
，
∴，
．
22. 如图，矩形对角线，相交于点O，．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）先根据矩形的性质求得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理；
（2）根据矩形的性质求得的面积，然后结合菱形的性质求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵矩形中，，
∴平行四边形菱形；
【小问2详解】
解：矩形的面积为，
∴的面积为，
∴菱形的面积为．
【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键．
23. 甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．

（1）当时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）求得甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，联立，即可求解．
【小问1详解】
解：设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，将，代入得，
，
解得：，
∴；
【小问2详解】
设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为
将点代入得，
解得：，
∴；
联立
解得：
∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为米
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
24. 如图①，，为直线上的两点．
（1）求的值；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，过点作轴的平行线，交直线于点，如图②．求线段的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）的最小值为
【解析】
【分析】（1）将，代入求解即可；
（2）设直线交轴于点，则，根据代数求解即可；
（3）设交轴于点，交轴于点，直线交轴于，求出，，勾股定理求出，然后证明出，得到，得到当最小时，最小，当时，最小，然后利用等面积法求解即可．
【小问1详解】
，均在直线上
两式相减得
【小问2详解】
设直线交轴于点，则
；
【小问3详解】
设交轴于点，交轴于点，直线交轴于，
∵直线
∴当时，；当时，；
∴，
∴
根据对称可得，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴平行四边形是矩形
∴
∴，
又∵，
．
当最小时，最小
当时，最小
的最小值为．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，矩形的性质和判定，轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键．
25. 【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，正方形中，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为，延长交线段于点，连接．求的度数．
【实践探究】
（2）小瑞受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图②，正方形的边长为6，点，分别在，上，连接，，．若，，求的长．
【拓展迁移】
（3）小波深入研究以上两个问题，发现并提出新的探究点：如图③，是的高，，若，，求的面积．
【答案】（1）；（2）的长为3；（3）
【解析】
【分析】此题是四边形综合题目，考查了折叠性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．
（1）证明，得出，由直角三角形的性质可得出答案；
（2）延长到，使，连接，证明，得出，由勾股定理可得出答案；
（3）将沿和翻折得到，沿翻折得到，延长，交于点，证明四边形是正方形，得出，设，则，，由勾股定理可得出答案．
【详解】（1）由折叠可得：，，．
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
；
（2）延长到，使，连接，
则，
，
，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
在中，，
，
，
的长为3．
（3）将沿翻折得到，沿翻折得到，延长，交于点，
，，，，，
四边形是正方形，
，，
设，则，，
在中，，
，
解得，
，
．