湖南省永州市道县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（满分120分，时量120分钟）
一、单选题（每题3分，共30分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2. 下列四个命题说法正确的是（ ）
A. 一组对角相等的平行四边形是矩形
B. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C. 顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形
D. 对角线相等的四边形是矩形
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A、一组对角相等的平行四边形不一定是矩形，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等且平分的四边形是矩形，是假命题，不符合题意；
C、顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形，是真命题，符合题意；
如图所示，在菱形中，分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理得，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
D、对角线相等的四边形不一定是矩形，也有可能是等腰梯形，是假命题，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键．
3. 如图所示，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的平分线．”这样说的依据是（ ）
A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
C. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D. 以上均不正确
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得平分．
【详解】解：如图，过点作，，垂足分别为和，
两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，
，
平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：C．
4. 如图，菱形中，则菱形高长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由菱形性质可得AC⊥BD，BD=2BO=6，AC=2AO=8，再由勾股定理求得AB=5，利用菱形的面积公式和等面积法求解即可．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2OA=8cm，BD=2OB=6cm，
在Rt△AOB中，由勾股定理得cm，
∵，
∴，
解得：DE=4.8cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、菱形的面积公式、勾股定理，熟练掌握菱形的性质，会利用等面积法解决问题是解答的关键．
5. 若一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是．则原来多边形的边数可能是（ ）
A. 10或11B. 11C. 11或12D. 10或11或12
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和；先求出截去一个角后得到的是11边形，再根据不同的裁切方式求出原来多边形的边数即可．
【详解】解：设截去一个角后多边形边数为n，
则有：，
解得：，
如图1，从角两边的线段中间部分切去一个角后，在原边数基础上增加了一条边，则原来多边形的边数是10；
如图2，从一边中间部分，与另一顶点处截取一个角，边数不增也不减，则原来多边形的边数是11；
如图3，从两个顶点处切去一个角，边数减少1，则原来多边形的边数是12；
综上，原来多边形的边数可能是10或11或12；
故选：D．
6. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A. ①②B. ②④C. ③④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键．
根据勾股定理和正方形的性质即可得到，即可判定④；根据图形可知，即可判断②；根据四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得，即可判断③；进而得到，即可判断①．
【详解】解：如图所示，
∵正方形的面积为49，
∴，

∵是直角三角形，
∴根据勾股定理得：，故④正确；
∵正方形的面积为4，
∴，
∴，故②错误；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为，
即，故③正确；
由可得，
又∵，
两式相加得：，
整理得：，
，故①错误；
故正确的是③④．
故选：C．
7. 如图，在中，，顶点分别在轴，轴的正半轴上，，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
过点B作轴于D，先根据直角三角形的性质与勾股定理求得，，再证明，求得，，然后根据点B在第二象限，写出点B坐标即可．
【详解】解：如图，过点B作轴于D，
∵，
∴
∴
∵轴
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴
∴．
故选：A．
8. 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ）
A. 12秒B. 16秒C. 20秒D. 30秒．
【答案】B
【解析】
【分析】过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．
【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵72千米/小时=20米/秒，
∴影响时间应是：320÷20=16秒．
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理、点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对A处产生噪音的时间，解题关键是根据勾股定理求BD的长.．
9. 如图动点从出发，沿如图所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2014次碰到长方形的边时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据反弹时反射角等于入射角作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【详解】解：如图，经过6次反弹后点回到出发点，
∵，
∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组第4次碰到矩形的边，
∴点P的坐标为．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了点坐标的规律探索，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
10. 如图，已知正方形的边长为2，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为4；③一定是等腰三角形；④；⑤EF的最小值为．其中正确结论的序号为（ ）
A. ①②③④B. ①②④⑤C. ②④⑤D. ①②④
【答案】B
【解析】
【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得是等腰直角三角形，在中，，求得；②先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，则四边形的周长为4；
③根据P的任意性可以判断不一定是等腰三角形；④由②可知，四边形为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明；⑤当最小时，最小，的最小值等于．
【详解】解：①如图，∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．故①正确；
②∵，
∴四边形为矩形，
∴四边形的周长，故②正确；
③∵点P是正方形的对角线上任意一点，，
∴当或或时，是等腰三角形，
除此之外，不是等腰三角形，故③错误；
④连接，
∵四边形为矩形，
∴，
∵正方形为轴对称图形，
∴，
∴，故④正确；
⑤由，
∴当最小时，最小，
则当时，即时，的最小值等于，故⑤正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，在解答时要认真审题．
二、填空题（每题3分，共24分）
11. 已知一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是_________．
【答案】10##十
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的外角，解题的关键是掌握多边形的外角和是．利用外角和定理求出边数即可．
【详解】解：，
故答案为：10．
12. 如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】如图标字母G，连结AD，根据AC为小正方形网格的对角线，可得∠CAG=45°，利用勾股定理，根据扇形面积公式代入数据计算即可．
【详解】解：如图标字母G，连结AD，
∵AC为小正方形网格的对角线，
∴∠CAG=45°，
在Rt△ADB中，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形性质，勾股定理，扇形面积，掌握以上知识，利用勾股定理构造图形是解题关键．
13. 如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为_____．
【答案】15
【解析】
【详解】∵▱ ABCD的周长为36，
∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OB=BD=6．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE=CD．
∴OE=BC．
∴△DOE的周长="OD+OE+DE=" OD +（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15．
故答案是：15．
14. 定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝_____．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况，根据勾股定理、“和美三角形”的定义计算即可．
【详解】解：在Rt中，，
∴，
当时，
∴，，
∵Rt是“和美三角形”，
∴，
∴，
∴，
∴（负值已舍去），
当，
∴，，
∵Rt是“和美三角形”，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
故或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表而从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可．
【详解】解：由题意得：
①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示：

，
∴在中，；
②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示：

，
∴在中，；
∵，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，
需要爬行的最短距离是25，
由长方体的特征可得其他途径必定比①②两种更远，故不作考虑；
故答案为：25．
16. 如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，……按照此规律继续下去，则S2019的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】在图中标上字母E，如图所示，根据正方形的面积公式以及勾股定理的内容发现S1=22=4，S2=S1=2，S3=S2=1，S4=S3=，…，继而得出规律即可求得答案.
【详解】在图中标上字母E，如图所示，
∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，
∴S2+S2=S1，
观察，发现规律：S1=22=4，S2=S1=2，S3=S2=1，S4=S3=，…，
∴Sn=()n-3，
当n=2019时，S2019=，
故答案为.
【点睛】本题考查了规律型——图形的变化类，推导出前几个正方形的面积得出面积变化的规律是解题的关键.
17. 如图，在中，于点，为上一点，且，，连接，若为的中点，则_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识．证明，由全等三角形的性质得出，证出，过点作于点，作于点，由全等三角形的性质得出，，得出，由角平分线的性质，再根据，求出的长，最后利用等腰直角三角形的性质得出结论．
【详解】解：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
如图，过点作于点，作于点，
，
，，
，，
，
平分；
，
，
，为的中点，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
18. 如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，则S△AOC＋S△AOB＝__________________．
【答案】6＋
【解析】
【分析】将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使AB与AC重合，再根据旋转的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：如图所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使AB与AC重合，点O旋转至O′，
由旋转的性质可得，
∴,
∵,
可得△AOO′是边长为3的等边三角形，
△COO′是三边分别为3、4、5的直角三角形，
由勾股定理可得等边三角形△AOO′的高为：，
故S△AOC＋S△AOB＝S四边形AOCO′＝S△AOO′＋S△COO′＝＋＝6＋．
故答案为：6＋．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
三、解答题（19题6分；20-21题每题7分；22-24每题8分；25题10分，26题12分；共66分）
19. 如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，求BC的长．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：延长AD到E使AD=DE，连接CE，证△ABD≌△ECD，求出AE和CE的长，根据勾股定理的逆定理求出∠E=90°，根据勾股定理求出CD即可．
试题解析：延长AD到E使AD=DE，连接CE，
在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD，
∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，
在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，
∴AC2=AE2+CE2， ∴∠E=90°，
由勾股定理得：CD=，
∴BC=2CD=2，
答：BC的长是2．
20. 如图，在中，，分别是的中点，延长到点，使，连接．

（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的判定，中位线，直角三角形斜边中线等于斜边一半的知识，掌握平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半是解题的关键．
（1）根据点分别为的中点，可得是中位线，，根据可得，根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可求证；
（2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，再根据平行四边形的性质可得，，由此即可求证．
【小问1详解】
证明：∵点分别为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
证明：在中，为的中点，
∴，
∴,
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
21. 一辆装满货物的卡车，高米，宽米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为，长方形的另一条边长是．
（1）此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由．
（2）为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为，高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？
【答案】（1）此卡车能通过桥洞，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用．明确线段之间的数量关系是解题的关键．
（1）如图，记长方形宽的中点为，圆心为，取，过作交半圆于，交半圆的直径为，由勾股定理求的长，然后根据求，最后比较大小，然后进行判断作答即可；
（2）如图2，同理（1），由题意知，，则，由勾股定理求的长，进而可得的长，然后计算即可．
【小问1详解】
解：此卡车能通过桥洞，理由如下；
如图，记长方形宽的中点为，圆心为，取，过作交半圆于，交半圆的直径为，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∵，
∴此卡车能通过桥洞；
小问2详解】
解：如图2，
同理（1），由题意知，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴桥洞的宽至少要增加到．
22. 如图，，点在轴上，且．
（1）求点的坐标，并画出；
（2）求的面积；
（3）在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）点的坐标为，，画图见解析
（2）
（3）存在，点的坐标为或
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形性质；
（1）分点在点的左边和右边两种情况解答；
（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可．
【小问1详解】
解：点在点的右边时，，
点在点的左边时，，
所以，的坐标为（）或（），
如图所示：
【小问2详解】
解：的面积；
【小问3详解】
解：设点到轴的距离为，
则，
解得，
点在轴正半轴时，（），
点在轴负半轴时，（），
综上所述，点的坐标为（）或（）．
23. 如图，在等腰直角△ABC中，AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF.
（1）证明：BE²+CF²=EF2；
（2）若BE=12，CF=5，求△DEF的面积.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接AD，首先利用等腰直角三角形的性质得到AD⊥BC，AD=CD=BD，∠C=∠DAE，得出∠CDF=∠ADE，然后利用ASA证得DCF≌△ADE，得出CF=AE，DF=DE，得出BE=AF，再根据勾股定理即可得出结论；
（2）由（1）知：AE=CF，AF=BC，DE=DF，即△EDF为等腰直角三角形，在Rt△AEF中，运用勾股定理求出EF，进而求出DE、DF的值，代入S△EDF=DE2进行求解即可．
【详解】(1)证明：连接AD,如图所示：
∵AB=AC,D为BC的中点,∠BAC=90°，
∴AD⊥BC,AD=CD=BD,∠C=∠B=45°,∠DAE=45°，
∵DE⊥DF，
∴∠CDF+∠ADF=∠EDA+∠ADF，
即∠CDF=∠ADE，
在△DCF和△ADE中,，
∴△DCF≌△ADE(ASA)，
∴CF=AE，DF=DE，
∴BE=AF，
∵AF2+AE2=EF2，
∴BE2+CF2=EF2；
(2)由(1)知：AE=CF=5，同理AF=BE=12，
∵∠EAF=90°，
∴EF2=AE2+AF2=52+122=169，
∴EF=13，
又∵由(1)知：△AED≌△CFD，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴DE=DF=EF⋅，
∴△DEF的面积=DE2= .
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理.
24. 阅读下列一段文字，回答问题．
【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离．例如．如图1，，则．

【直接应用】
（1）已知 ，求P、Q两点间的距离；
（2）如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值；
（3）利用上述两点间距离公式，求代数式 的最小值是多少？
【答案】（1）
（2）的最小值为
（3）
【解析】
【分析】本题三角形综合题，考查了最短路径，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
（1）由两点间的距离公式可求出答案；
（2）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出的最小值．
（3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值．
【小问1详解】
解：∵，
∴；
【小问2详解】
如图，作点B关于x轴对称的点C，连接，则，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴当A、P、C三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长，
∵，
∴，
∴的最小值为；
【小问3详解】
∵把看成点到两点和的距离之和，
∴两点和的距离便是的最小值，
∴最小值为：．
25. 如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接、过点作．交点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
【答案】（1）见详解 （2），证明见详解
【解析】
【分析】（1）由正方形ABCD，可得，，由四边形DEFG是矩形，可得，利用证明，即可得到，进而得出结论．
（2）由矩形为正方形，可得，，由四边形是正方形，可得，利用证明，即可得到，再进一步计算即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图所示，过作于点，过作于点，
正方形，
，
，且，
四边形为正方形，
，
，
又，
在和中，
，
，且四边形是矩形，
矩形为正方形．
【小问2详解】
值为定值，理由如下：
矩形为正方形，
，
四边形是正方形，
，
，
∴在和中，
，
，
，
，
即是定值．
【点睛】本题考查正方形和三角形的综合应用，涉及勾股定理、矩形性质和判定、正方形的性质和判定、三角形全等的判定等，熟练掌握知识点是关键．
26. 如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．
（1）用含t的代数式表示 ；
（2）当时， 求t的值；
（3）请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）或
（2）
（3）存在，或4
【解析】
【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
（1）先算出，再结合点Q的运动方向、速度以及起点，进行分类讨论，即可作答．
（2）先证四边形是平行四边形，可得，列出方程可求解；
（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可得，列出方程可求解；
【小问1详解】
解：∵，，
∴
点从点出发，以速度沿射线运动，
当在线段上时，
∴
∵动点从点出发沿以速度向终点运动，，
∴，
当在的延长线上时，；
【小问2详解】
解：过点作于，
四边形是平行四边形，，，
，，，
，，
，，
，，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
；
【小问3详解】
解：存在，
当为边时，
四边形是平行四边形，
，
，
，
当为对角线时，
四边形是平行四边形，
，
，
，
综上所述：的值为或4.