湖南省岳阳市云溪区八校联考2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共三道大题，26道小题，满分120分，考试时量120分钟；
2．本试卷分为试卷和答题卡，所有答案都必须填写在答题卡规定的答题区域内；
3．考试结束，考生不得将答题卡带出教室．
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )
A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，
∴另一个锐角的度数是90°-60°=30°．
故选D．
2. 下列四组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断．本题考查勾股定理的逆定理，注意是最长边的平方要等于另外两条边的平方和．
【详解】解：A、，，故该选项不能构成直角三角形；
B、，，故该选项不能构成直角三角形；
C、，故该选项不能构成直角三角形；
D、，故该选项能构成直角三角形；
故选：D．
3. 在中，，则的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
4. 一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ）
A. 5B. C. D. 5或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况：当直角三角形的两直角边分别为3和4时；当为斜边，为直角边时；分别利用勾股定理计算即可．
【详解】解：当直角三角形的两直角边分别为3和4时，则第三边长为，
当为斜边，为直角边时，则第三边长为，
综上所述，第三边的长为5或，
故选：D．
5. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A. 两条直角边对应相等B. 斜边和一条直角边对应相等
C. 两个锐角对应相等D. 一个锐角和一条直角边对应相等
【答案】C
【解析】
【分析】利用全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、两条直角边对应相等，判定两个直角三角形全等，不符合题意；
B、斜边和一条直角边对应相等，判定两个直角三角形全等，不符合题意；
C、两个锐角对应相等，，不能判定两个直角三角形全等，符合题意；
D、一个锐角和一条直角边对应相等，或判定两个直角三角形全等，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判断方法，是解题的关键．
6. 七边形外角和为( )
A. 180°B. 360°C. 900°D. 1 260°
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：∵任意多边形的外角和为360°，
∴七边形的外角和为360°，
故选B．
7. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 等边三角形B. 正五边形C. 平行四边形D. 正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
【详解】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知，
A、B为轴对称图形，
C为中心对称图形；
D既是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，解题关键是熟练掌握中心对称图形与与轴对称图形的概念．
8. 顺次连结菱形各边中点得到的四边形是（ ）
A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形
【答案】A
【解析】
【分析】由菱形的性质得到AC⊥BD，再由三角形中位线定理得到EFBD，FGAC，得到EF⊥FG，同理FG⊥HG，GH⊥EH，HE⊥EF，即可得出结果．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，
∴EFBD，FGAC，
∴EF⊥FG，
同理：FG⊥HG，GH⊥EH，HE⊥EF，
∴∠FGH=∠EHG=∠FEH=90°，
∴四边形EFGH是矩形．
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形性质、矩形的判定、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键．
9. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等D. 对角线互相垂直平分且相等
【答案】A
【解析】
【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．
10. 如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，有以下结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中正确结论的个数有（ ）

A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】①由四边形是正方形，可得，又由折叠的性质，可求得的度数；②由，可得；③由，可得的面积的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得是等腰三角形，即可证得；⑤易证得四边形是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得．此题考查的是折叠的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
【详解】解：四边形是正方形，
，
由折叠的性质可得：
故，
故①正确．
由折叠的性质可得：，，
，
，
，
，故②错误．
，
，与同高，
，
故③错误．
，
，
，
，
，
，
，
，
故四边形是菱形，
故④正确．
，，
，
四边形是菱形，
，
，
．
故⑤正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE=5，则AB的长为_______．
【答案】10
【解析】
【详解】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D
∴△ADC是直角三角形
∵E是AC的中点
∴DE=AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）
又∵DE=5，AB=AC
∴AB=10
故答案为：10．
12. 如图，点在内，于点，于点，且，，则______．
【答案】##55度
【解析】
【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上．
根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得平分，再根据三角形内角和定理求解．
【详解】∵，，且，
∴
∴．
故答案为：．
13. 的周长为12，点、、分别是的边、、的中点，连接、、，则的周长是______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理计算即可；
【详解】如图，
∵点、分别是的边、的中点，
∴，
同理可得：，，
∴；
故答案是：6．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，准确计算是解题的关键．
14. 已知等边三角形的边长为，则这个等边三角形的高为______．
【答案】##厘米
【解析】
【分析】根据等边三角形三角都是，利用勾股定理可求得其高，根据面积公式求解．此题主要考查学生对等边三角形的性质的理解及运用能力．
【详解】解：如图：

是等边三角形，
．
．
故答案为：．
15. 若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为________．
【答案】24
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8，
∴该菱形的面积为，
故答案为：．
16. 正十二边形的一个外角为_________度.
【答案】30
【解析】
【分析】根据正十二边形的每个外角都相等，且外角和为360°解答;
【详解】正十二边形的每一个外角为.
故答案为:30
【点睛】本题主要考查多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角是解题的关键.
错因分析 容易题.失分原因：正多边形的内角公式和外角公式记混.
17. 中，，，点、分别为和两条边上的动点，且满足，则线段的长度的最小值是______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂线段最短，矩形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定；过点作，连接，过点作于点，勾股定理可得，进而可得，证明四边形是矩形，则，当时，即时，最短，即最短，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作，连接，过点作于点

∵，
∴，，
∴等腰直角三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵
∴四边形是矩形，
∴
∵当时，即时，最短，即最短，
∴的最小值为，
故答案为：．
18. 如图，是等边内部的一个点，，，，则的边长是______．
【答案】
【解析】
【分析】该题主要考查了旋转变换性质及其应用、勾股定理逆定理等几何知识点问题；解题的关键是作旋转变换，借助旋转变换的性质将该题分散的条件集中．如图，作旋转变换，运用旋转变换的性质首先证明为等边三角形，得到，然后证明，求出线段，，运用勾股定理求出的长度，即可解决问题．
【详解】解：将绕点A沿逆时针方向旋转60°到的位置；
连接；过点A作，交的延长线于点M．
由旋转变换的性质得：，，；
∴为等边三角形，，；
∵，
∴，，
∴，，，
∴；
由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，满分共66分，解题时应写出必要的计算步骤、文字说明或证明过程）
19. 如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：PE=PF.

【答案】见解析
【解析】
【详解】试题分析：连接AP，证明Rt△APF≌Rt△APE，便可得PE=PF.
解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP=∠AFP=90°，
∵Rt△AEP和Rt△AFP中，AP=AP，AE=AF，
∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），
∴PE=PF．
20. 如图，在中，于点，于点，为的中点，若，，求的周长．

【答案】14
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的周长的定义解答；本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的质，熟记性质是解题的关键．
【详解】解：，，为的中点，
，
，，
∴，
∴的周长．
21. 已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？

【答案】7200元
【解析】
【分析】连接，在中，根据勾股定理得到的长为5，根据勾股定理的逆定理得到为一直角三角形，，根据四边形由和构成，即可求解．
【详解】连接，
在中，，
在中，，
而，
即，
∴是直角三角形，，
∴
．
∴需费用（元）．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形．
22. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形BFDE是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；
【解析】
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等的性质，即可证得∠A=∠C，AB=CD，又由AE=CF，利用SAS，即可判定△ABE≌△CDF．
（2）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF．根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，
在△ABE和△CDF中，∵AB=CD，∠A=∠C，AE=CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．
∵AE=CF，∴AD﹣AE=BC﹣CF，即DE=BF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
23. 已知：点是的对角线与的交点，，，，求的周长．
【答案】
【解析】
【分析】利用平行四边形的对边相等对角线互相平分进而得出即可．此题主要考查了平行四边形的性质，得出，的长是解题关键．
详解】解：如图所示：
在中，对角线和交于点，，，，
，，，
的周长．
24. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为菱形；
（2）连接AE、BE，AE与BE相等吗？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）AE=BE，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）先判断四边形OCDE是平行四边形，又因为四边形ABCD是矩形，两个结论联合起来，可知四边形OCDE是菱形；
（2）先证出∠ADE=∠BCE，再证明△ADE≌△BCE，从而得出AE=BE．
【详解】解：（1）四边形OCDE是菱形．理由如下：
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCDE是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OC=AC=BD=OD，
∴四边形OCDE是菱形；
（2）AE=BE，理由是：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ADC=∠BCD，
∵四边形OCDE是菱形，
∴ED=EC，∠EDC=∠ECD，
∴∠EDC+∠ADC =∠ECD+∠BCD，
即∠ADE =∠BCE
在△ADE和△BCE中，
∵，
∴△ADE≌△BCE，
∴AE=BE．
25. 如图所示，点是矩形的边的中点，点是边上一动点，，，垂足分别为点，．
（1）当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形为矩形？猜想并说明理由．
（2）在（1）中，当点运动到什么位置时，矩形为正方形，为什么？
【答案】（1）矩形的长与宽满足时，四边形为矩形．理由见详解
（2）当点运动到的中点时，矩形变为正方形．理由见详解
【解析】
【分析】（1）若，加上点为的中点， 则，于是可判断和为全等的等腰直角三角形， 易得，然后利用可判断四边形为矩形；
（2） 若点为的中点， 则为等腰三角形的顶角的平分线， 根据角平分线的性质得，然后根据正方形的判定方法可判断矩形变为正方形 ．
本题考查了正方形的判定： 先判定四边形是矩形， 再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形， 再判定这个矩形有一个角为直角 ． 也考查了矩形的判定于性质 ．
【小问1详解】
解：矩形的长与宽满足时，四边形为矩形．理由如下：
，点为的中点，
，
和为全等的等腰直角三角形，
，，
，
，，
，
四边形为矩形；
【小问2详解】
解：当点运动到的中点时，矩形变为正方形．理由如下：
点为的中点，
为等腰三角形的顶角的平分线，
，
矩形变为正方形 ．
26. 如图所示，点、分别是正方形的边和的中点，连接和，两条线段相交于点．
（1）线段和有何位置关系，请说明理由；
（2）如果正方形的边长为6，求出线段的长度；
（3）如果正方形的边长为6，连接线段，求出线段的长度．
【答案】（1），证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等：
（1）证明，得到，即可证明，进而得到，则；
（2）先求出，则由勾股定理可得，进而利用等面积法得到；
（3）过点O作分别交于E、F，则四边形是矩形，可得，，由勾股定理得，同理可得，则，，进而求出，则．
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∵点、分别是正方形的边和的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵正方形的边长为6，点是正方形的边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，过点O作分别交于E、F，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得，
同理可得，
∴，，
∴，
∴，
∴．