湖北省武汉市洪山区未来实验外国语学校2023-2024学年九年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每题3分，共30分）
1. 实数的相反数是（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相反数的判断，根据相反数的定义解答即可．
【详解】的相反数是5．
故选：A．
2. 古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形定义进行解答即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形定义，关键是掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
3. 下列事件中是必然事件的是（ ）
A. 打开电视机，正在播放《新闻联播》B. 任意画一个三角形，其内角和是
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D. 买一张彩票，一定不会中奖
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、打开电视机，正在播放《新闻联播》，是随机事件，故本选项不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故本选项不符合题意；；
D、买一张彩票，一定不会中奖，是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查幂的运算，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握知识点和公式是解题的关键．
依次利用合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，以及完全平方公式进行化简计算即可．
【详解】解：A、与不是同类型，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：C．
5. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得．
【详解】解：卯的俯视图是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键．
6. 绿色出行，健康出行，你我同行，某地为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB，CD都与地面平行，，若与平行，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
【详解】解：，都与地面平行，，
，
，
，
，
．
故选：D．
7. 随着“双减”政策的实施和课后延时托管的开展，某学校开设了四门兴趣课程，分别为“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”．学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习．小明与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明与小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：设“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”这四种课程分别为A、B、C、D．
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明与小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，即、、、，
∴小红和小明两人恰好同时选择体育运动（包含轮滑和足球）的概率为．
故选：A．
8. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了由函数图象获取信息，有一次函数的图象，反比例函数的图象，二次函数的图象与性质，注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
由点，，在同一个函数图象上，可得B与C关于y轴对称；当时，y随x的增大而增大，继而求得答案．
【详解】解：∵，，
∴点B与点C关于y轴对称，
即这个函数图象关于y轴对称，故选项A，C不符合题意；
∵，，
∴当时，y随x的增大而增大，故选项B符合题意，选项D不符合题意．
故选：B．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为、的半径为2（O为坐标原点），点C是上一动点，过点B作直线的垂线，P为垂足，点C在上运动一周，则点P运动的路径长等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由连接，由 可知在已为直径的一段圆弧上运动，再由当与圆相切时，此时是点运动路径的两端点，再由解三角形求出度数，即可得出点运动路径的度数，点的运动路径应为往返型，若同点出发，则当点在圆上运动一周后，点的路径也应回到点，即路径为，故路径长应为弧长的两倍，从而求解．
【详解】解：点坐标为，点坐标为．
，，
在中，，
，即，
在以为直径的一段圆弧上，当、与相切时，即，

，
，
，
的弧度，
即圆心角，
点运动的路径长．
故选：D．
【点睛】本题考查轨迹，锐角三角函数，圆周角定理，弧长公式，坐标与图形的性质，解题的关键是正确运用相关知识．
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点．若点，在直线上，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，证明四边形是矩形，进而证明，只要求出的最小值，也就是最大值时，就能确定点的坐标，而直线与轴交于点，此时值最大，据此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，，
∴，
即：，
∴当时，，
∵直线与轴交于，
当最大，此时最小，点越往上，的值最大，
∴，
此时，
∴最大值为．
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质、二次函数的性质、二次函数的最值以及一次函数的性质等知识．构造相似三角形、利用二次函数的最值是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 写出一个图象只经过第一、二、四象限函数表达式______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数解析式中k与b与函数图象的关系是解题的关键．
根据图象经过第一、二、四象限的一次函数，得，代入符合条件的数即可．
【详解】解：设经过第一、二、四象限的一次函数为，
则由题意得：，
∴取，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
12. “燕雪花大轩台”是诗仙李白眼里的雪花，单个雪花的重量其实很轻，只在左右，用科学记数法可表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 化简的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先通分化简括号内的分式，再将除法运算转化为乘法运算即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
14. 在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，）

【答案】铜像的高度是；
【解析】
【分析】根据题意可得，从而求出，即可求解．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴铜像的高度是；
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，关键是求出．
15. 如图，在中，，，.，分别是边，上的动点，且，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】作，连接，过B点作的延长线与G点．根据相似三角形的性质可得，因此，根据两点之间线段最短可知当B、E、F三点共线时，，此时的值最小，为BF．再证四边形是矩形，由矩形的性质可知，，在
中根据勾股定理可求出的长，即可知的最小值．
【详解】
如图，作，连接，过B点作的延长线与G点，
，且，
，
，
．
，
∴当B、E、F三点共线时，，此时值最小，为．
，
．
又，，
∴四边形是矩形，
，，
，
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识，构造相似三角形是解题的关键．
16. 如图，抛物线与x轴交于点，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①；②（m为任意实数）；③若点P为对称轴上的动点，则有最大值，最大值为；④若m是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的序号有______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】利用待定系数法，二次函数的相纸，两点之间线段最短逐一判断即可．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与x轴交于点，，
对称轴为直线，
，
抛物线交y轴的正半轴，
，
，故①正确；
对称轴为直线，开口向下，
时，y有最大值，最大值为，
（m为任意实数）
即，故②正确；
对称轴交y轴的正半轴于点C，
，
由对称性可知，
，故③不正确；
抛物线与x轴交于点，
，
，
，
，
，
m是方程的一个根，
，
当时，，
当时，，
若m是方程的一个根，则一定有成立，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查二次函数图象和性质，解决本题关键是运用二次函数图像上点的坐标特征、抛物线与x轴交点进行计算．
三、解答题（共72分）
17. 解不等式组，并求不等式组的正整数解．
【答案】不等式组的解集为，不等式组的正整数解为
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式组，解题的关键是熟练求出两个不等式组的解集，然后求出不等式组的解集，最后求出结果即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
原不等式组的解集为．
原不等式组的正整数解为．
18. 如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，．

（1）证明：；
（2）连接、，证明：四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得出，则，根据是的中点，可得，即可证明；
（2）根据可得，进而可得四边形是平行四边形，根据对角线互相垂直的四边形是菱形，即可得证．
【小问1详解】
证明：如图所示，

∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
在与中
，
∴；
【小问2详解】
∵
∴，
又∵
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．
19. 为增强学生国家安全意识，激发爱国情怀，某市举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分．小明将自己所在班级学生的成绩（用x表示）分为四组：A组，B组，C组，D组，绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全学生成绩的频数直方图；
（2）在扇形统计图中，A组所对应的圆心角度数为______°，本班成绩的中位数落在______组；
（3）把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如A组：的中间值为65）来代替，试估算小明班级的平均成绩；
（4）根据本班成绩，请估计全市参加竞赛的8000名学生中成绩不低于80分的有多少人？
【答案】（1）补全图形见解析
（2），中位数落在C组
（3）小明班级的平均成绩为分
（4）全市参加竞赛的8000名学生中成绩不低于80分的有人
【解析】
【分析】（1）根据直方图与扇形统计图求解总量，再计算B组数据再补全图形即可；
（2）利用乘以A组的占比，结合中位数的定义即可得到答案；
（3）利用加权平均数公式求解即可得到答案；
（4）由乘以不低于80分的百分比即可得到答案；
【小问1详解】
解：由图形可得，
（人），
∴B的人数为：（人），
∴频数分布直方图如图所示：
；
【小问2详解】
由（1）得，扇形统计图中A组所对应圆心角的度数为：，
第20个与第21个数据落在C组，
∴中位数落在C组；
【小问3详解】
由题意可得，
小明班级的平均成绩为：（分），
答：小明班级的平均成绩为分；
【小问4详解】
（人），
∴全市参加竞赛的8000名学生中成绩不低于80分的有人．
【点睛】本题考查数据统计分析，从频数直方图与扇形图中获取信息，中位数的含义，利用样本估计总体，解题的关键是从直方图与扇形统计图中获取相关联的信息．
20. 如图，是的直径，是的切线，交于D，，交于F．

（1）求证：；
（2）若的半径，，求EF的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出，于是有，根据圆的切线的性质得出，于是有，再根据等弧所对的圆周角相等得出，于是推出，根据对顶角相等得出，于是有，从而得证；
（2）在中求出的长，结合（1）中的结论即可求出的长，在中求出的长，即可求出的长，再证，得出，最后在中根据勾股定理即可求出的长．
【小问1详解】
证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵是的直径，是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵是的直径，是的切线，
∴，
∵的半径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
由（1）知，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在中，由勾股定理得，
在和中，，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，切线的性质，勾股定理等知识，综合性较强，需认真思考．
21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点 的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图1中，D是上一点．先画出点B关于的对称点，再过点D作直线，使得交于点E；
（2）在图2中，先在上画点M，使，再在上画点N，连接，使得．
【答案】（1）作图见详解
（2）作图见详解
【解析】
【分析】本题考查网格作图，解答中涉及相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据轴对称的性质找到点，连接交于点，作直线交于点，作直线交于点，则点，直线即为所求；
（2）取格点，，，连接，交于点，连接交于点，点即为所求；另为一条对角线作平行四边形，取上的一个三等分点，延长线上一点，，连接交于点，则即为所求．
【小问1详解】
解：如图1，点，直线即为所求
【小问2详解】
解：如图2，点，即为所求．
22. 小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系．
通过测量得到球距离台面高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离（单位：）的相关数据，如下表所示：
表1 直发式
表2 间发式
根据以上信息，回答问题：
（1）表格中______，______；
（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；
（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为．“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，试比较，的大小并说明理由．
【答案】（1）；
（2）
（3），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查二次函数及一次函数的应用，
（1）根据表1数据直接得出的值；由“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，设出直线解析式，将、代入求出，的值，从而确定函数解析式，然后把代入解析式得出y的值即可；
（2）设出函数解析式，将代入，求出的值即可；
（3）令（2）中解析式，解方程求出的值；设出“间发式“模式下的抛物线解析式，将代入，求出的值即可确定函数解析式，再令，解方程求出得值；
解题的关键是用待定系数法求出函数解析式．
【小问1详解】
解：∵在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，数据如表1，
又∵抛物线是轴对称图形，关于对称轴对称，
∴抛物线上点到对称轴距离相等的点的函数值是相等的，
由表1中的数据可知：直线是抛物线的对称轴，
∴当所对应的函数值与所对应的函数是相等的，
∴；
在“间发式“模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，
设这条直线的解析式为，把、代入，
得，
解得：，
∴这条直线的解析式为，
当时，，
∴表格2中，；
故答案为：；；
【小问2详解】
由已知表1中的数据及抛物线的对称性可知：
“直发式“模式下，抛物线的顶点为，
∴设此抛物线的解析式为，
把代入，得：，
解得：，
∴“直发式“模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为；
小问3详解】
当时，得：，
解得：（舍去），，
∴“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为；
“间发式“模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，
由已知表2中的数据及抛物线的对称性可知：“间发式“模式下，这条抛物线的顶点坐标为，
∴设这条抛物线的解析式为，
把代入，得：，
解得：，
∴这条抛物线的解析式为，
当时，得：，
解得：，，
∴，
∴．
23. 问题背景
（1）如图1，在正方形中，点为边上一动点（不与点，重合），连接，过点作，且，连接，，，求证：；
尝试应用
（2）如图2，在问题背景的条件下，与交于点，若，求的值；
拓展创新
（3）如图3，在矩形中，点为边上一动点（不与点，重合），连接，过点作，且，连接交于，与交于，若，直接写出的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据和是等腰直角三角形，可得，，即可得证；
（2）过点作，则，首先说明，设正方形ABCD的边长为，，利用，得，再求出的值可得答案；
（3）过点作交的延长线于，设，，，，则，，证明，设，说明，从而解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
∵，且，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
设正方形的边长为，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点作交的延长线于，过点作交于点，交于点，
∵四边形是矩形，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，，，
∴，
，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
过点作交于点，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
整理得：，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴．
【点睛】本题是相似形综合题，考查正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定和性质、三角函数是解题的关键．
24. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是抛物线上的一点，且D点横坐标为5，连接，，点G是抛物线上一动点（不与C重合），连接，若满足，求点G的坐标；
（3）如图2，点P为y轴C点下方一动点，经过P点的直线和直线与抛物线有唯一交点E、F（、不与坐标轴平行），连接，与y轴交于点Q．过点E作x轴的平行线l，l与y轴交于点N，过点F作于M，求的值．
【答案】（1）
（2）点坐标为或
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①过点与直线平行的直线与抛物线的交点为；②设与交于点H，则，设，则有，
求出点H坐标，则可求直线表达式，再与抛物线解析式联立即可．
（3）设，直线的解析式为，直线的解析式为，当时，，当时，，可得，过点作轴交于点，由，可得是的中位线，设直线的解析式为，当时，，求出，再由，可求．
【小问1详解】
解：将点，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：①当时，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
过点与直线平行的直线为，
当时，或，
；
②设与交于点H，当，，
∴，
∵，
∴，
设，
∴有
解得：，
∴，
设，代入，
得，
解得：，
∴
∴，
解得（舍）或
；
综上所述：点坐标为或；
【小问3详解】
设，直线的解析式为，直线的解析式为，
当时，，
当时，，
，
过点作轴交于点，
，
，
，
是的中位线，
，
设直线的解析式为，
当时，，
，
解得，
，
．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，三角形全等的性质，三角形中位线的性质是解题的关键．
0
2
4
6
8
10
16
20
…
3.84
4
3.96
3.84
3.64
2.56
1.44
…
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
…
3.36
2.52
0.84
0
1.40
2.40
3
3.20
3
…