山西省晋中市太谷区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（本试卷满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；寻找对称中心是解题的关键；根据中心对称的定义逐项判断即可．
【详解】A．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该项符合题意；
B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该选项符合题意；
C．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意；
D．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选不项符合题意；
故选：C．
2. 在下列数学表达式中，①，②，③，④，⑤，是不等式的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，
根据不等式的定义逐个判断即可．
【详解】不等式有， ， ，共3个，
故选：B．
3. 已知中，、、所对的边的长分别是、、，根据下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟记定理并应用是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理依次判断即可．
【详解】，
，
，
，
，
为直角三角形，故A选项不符合题意；
，，，
为不是直角三角形，故B选项符合题意；
，
设，，
，，
，
为直角三角形，故C选项不符合题意；
，
为直角三角形，故D选项不符合题意；
故选：B．
4. 是不等式的一个解，则的值不可能是（ ）
A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式．根据是不等式的一个解解答即可．
【详解】解：∵是不等式的一个解，
∴，，
所以的值不可能是2．
故选：A．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 等腰三角形的中线，高线、角平分线重合B. 若多边形的边数增加，则它的外角和和内角和都会增加
C. 等腰三角形两底角的平分线相等D. 有一个外角是的等腰三角形是等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，多边形的内角和和外角和，等边三角形的判定，掌握这些知识点是解题的关键．
根据等腰三角形的性质，多边形的内角和和外角和，等边三角形的判定判断即可．
【详解】解：等腰三角形底边上的中线、高线和所对角的角平分线互相重合，A选项错误，不符合题意；
若多边形的边数增加，则它的外角和是不变，内角和会增加，B选项错误，不符合题意；
等腰三角形两底角的平分线相等，C选项正确，符合题意；
有一个外角是的等腰三角形不一定是等边三角形，D选项错误，不符合题意；
故选：C．
6. 关于的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了数轴表示不等式的解集，熟练掌握解集确定的法则是解题的关键．
根据实心圆表示有等号，结合解集确定的口诀，小大大小中间找，确定．
【详解】根据实心圆表示有等号，结合解集确定的口诀，小大大小中间找，
故表示的解集是，
故选：B．
7. 如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理的应用，根据垂直定义得出，根据图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
故选：．
8. 枣庄购物中心有一款商品，每件进价为100元，标价为150元，现准备打折销售．若要保证利润率不低于5%，设打x折销售，则下列说法正确的是（ ）
A. 依题意得B. 依题意得
C. 该商品最少打7折D. 该商品最多打7折
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得不等关系：标价打折进价利润，根据不等关系列出不等式，解之即可判断．
【详解】解：设打x折销售，
依题意得：，
解得：，
∴该商品最多打7折，
故D选项正确，A，B，C错误，
故选D．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．
9. 如图，，若和分别垂直平分和，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查垂直平分线，三角形内角和的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，则，，再根据三角形内角和，，则，再根据，即可．
【详解】∵、是线段、的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
10. 如图，在中，，，是线段上的动点（不含端点、）．若线段长为正整数，则点的个数共有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．
【详解】解：如图：过A作AE⊥BC于E，
∵在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，
∴当AE⊥BC，EB=EC=4，
∴AE=，
∵D是线段BC上的动点(不含端点B，C).若线段AD的长为正整数，
∴3⩽AD<5，
∴AD=3或AD=4，
当AD=4时，在靠近点B和点C端各一个，
故符合条件的点D有3点.
故选B.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理的计算.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. “两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为_______________．
【答案】同旁内角互补，两直线平行
【解析】
【分析】根据题意写出逆命题即可，每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题．
【详解】解：两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为：同旁内角互补，两直线平行
故答案为：同旁内角互补，两直线平行
【点睛】本题考查了写出原命题的逆命题，掌握逆命题中的题设与结论与原命题互换是解题的关键．
12 如果，那么______（填“>”或“<”或“=”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式两边同时乘上或除以一个正数，不等式符号不变，不等式两边同时加上或减去一个数，不等式的符号不变；若不等式两边同时乘上或除以一个负数，不等式符号改变，据此即可作答．
【详解】解：∵，，
∴，
则，
即，
故答案为：．
13. 若点在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据点在第二象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可．
【详解】∵点在第二象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和点的坐标，能得出关于x的不等式组是解此题的关键．也考查了直角坐标系各个象限坐标特点．
14. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则其顶角度数为_____°．
【答案】42或138
【解析】
【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．
【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+48°＝138°；
②如图1，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣48°＝42°．
故答案为：42或138．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
15. 如图，等腰中，于点，点在边上，点在的延长线上，若，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于，于，根据角平分线的性质可得，．根据“四边形内角和等于”可求得，再证明，则可得，则，从而证得是等边三角形，得．再求得，在中，求出、的长．最后在中根据勾股定理即可求出的长，也就可知的长．
【详解】解：如图，过点作于，于，
中，，，
平分，
即平分，
∴，且．
，
又四边形中，
．
在与中，
∴
∴
∴，即
，
∵
是等边三角形，
．
作于，
则，
，，
．
，，
，
．
中，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．正确的作出辅助线并且证明出是等边三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）解不等式：．
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】（1）；（2），整数解为：
【解析】
【分析】本题考查了解不等式以及解不等式组、正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化1，即可作答．
（2）分别算出每个不等式的解集，再取它们的公共部分解集，并结合整数解的概念，进行作答即可．
【详解】解：（1）去分母，得：
去括号，得：
移项、合并同类项，得：
两边都除以5，得：．
（2）
解不等式，得．
解不等式，得．
原不等式组的解集为，．
整数解为：．
17. 已知： 中，．
（1）请你用尺规作的平分线交于点．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图以及角平分线的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据角平分线的作图法进行作图，即可作答．
（2）先根据勾股定理算出，结合角平分线的性质，得出，根据代入数值，进行运算，即可作答．
【小问1详解】
解：如图，射线为所求．
【小问2详解】
解：过点作于点，
在中，，
由勾股定理得．
平分且
，
．
，
即，
解得．
18. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，且点的纵坐标为．
（1）求点的横坐标及的面积；
（2）结合图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）横坐标为，面积为
（2）
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、由两直线交点求不等式的解集，利用数形结合思想求解是解答的关键．
（1）首先利用待定系数法求出一次函数解析式为，然后将代入即可求出点的横坐标为，然后利用三角形面积公式求解即可；
（2）根据图象求解即可．
【小问1详解】
将，代入得，
解得
∴一次函数解析式为
∴当时，
解得
∴点的横坐标为
∴的面积；
【小问2详解】
∵点的横坐标为
∴由图象可得，当时，．
19. 如图，在平面坐标系内，三个顶点的坐标分别为．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）先将向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到，请画出；
（2）与关于原点对称，请画出．
（3）在（2）的条件下，四边形的面积为______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）10
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，坐标与图形：
（1）先根据“上加下减，左减右加”的平移规律求出A、B、C对应点的坐标，然后描出，最后顺次连接即可；
（2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出A、B、C对应点的坐标，然后描出，最后顺次连接即可；
（3）利用割补法求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：，
故答案为：10．
20. 请把下面的证明过程补充完整
如图，在中，是角平分线，是高，、相交于点，求证：．
证明：平分（已知），
（ ① ），
（已知），
（ ② ），
是的高（已知），
（三角形高的定义），
（ ③ ），（直角三角形的两个锐角互余），
（ ④ ），
（ ⑤ ），
（ ⑥ ），
（ ⑦ ）．
【答案】①角平分线的定义；②直角三角形的两锐角互余；③；④等角的余角相等；⑤对顶角相等；⑥等量代换；⑦等角对等边
【解析】
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
根据角平分线的定义、直角三角形的性质、对顶角相等、等角对等边解答即可．
【详解】证明：平分（已知），
（角平分线的定义），
（已知），
（直角三角形的两锐角互余），
是的高（已知），
（三角形高的定义），
（直角三角形的两锐角互余），
（等角的余角相等），
（对顶角相等），
（等量代换），
∴（等角对等边）．
故答案为：角平分线的定义；直角三角形的两锐角互余；；等角的余角相等；对顶角相等；等量代换；等角对等边．
21. 如图，在中，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．
（1）当为何值时，为等边三角形？
（2）当为何值时，为直角三角形？
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据直角三角形的性质，得出，根据题意，得，结合等边三角形的性质，列式作答即可．
（2）因为为直角三角形，所以分类讨论，即当时，或当时，，进行列式求解，即可作答．
【小问1详解】
解： ，
．
,
∵动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为
；
当时，为等边三角形．
即
．
即当时，为等边三角形;
【小问2详解】
解：若为直角三角形，
①当时，，
即
．
②当时，，
即
即当或时，为直角三角形．
22. 研学是一种走出校门开展研究性学习和旅行体验相结合的校外实践活动．某学校拟向公交公司租借、两种客车共12辆，用于接送八年级师生去社会实践基地参加研学活动．其中，若每位老师带队20名学生，则还剩35名学生没老师带：若每位老师带队22名学生，就有一位老师少带5名学生．
（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
（2）若要求型车的数量不少于型车的2倍，型车的租金为600元/辆，型车的租金为450元/辆，那么租借型车多少辆时，可使支付的租车费用最低？并求出最低费用．
【答案】（1）参加此次研学活动的老师有20人，学生435人
（2）租借型车4辆时，支付的租车费用最低，最低费用为6600元
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，
（1）设参加此次研学活动的老师有人，找准等量关系，正确列出一元一次方程；
（2）设租型车辆，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；根据租金与车辆得到总租车费用，正确利用一次函数的性质求解．
【小问1详解】
解：设参加此次研学活动的老师有人，根据题意得
解得：
答：参加此次研学活动的老师有20人，学生435人．
【小问2详解】
设租型车辆，依题意得
解得：．
设租车费用为元，则
，
，
的值随值的增大而减小，
当时，的值最小，最小值为6600．
答：租借型车4辆时，支付的租车费用最低，最低费用为6600元．
23 综合与实践
【问题情境】在一次数学活动课上，数学兴趣小组以两个形状相同的等腰三角形为主题进行探究，
【特例探究】
如图1，和是等边三角形，，连接延长线与装相交于点F．小丽猜想，请你帮她写出证明过程．
【类比探究】
如图2，在和中，，，，，连接，．受小丽的启发，小华认为直线与直线的夹角为______；
拓展探究】
如图3，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，为中边上的高，连接，试探究，，之间有怎样的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）或；（3）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键；
特例探究：根据等边三角形的性质得，，，然后根据角的和差关系，可证明，即可得到结论；
类比探究：根据及三角形内角和关系得，即可求得答案；
拓展探究：根据等腰直角三角形的性质得，再由得，即可得出结论．
【详解】特例探究：证明：和均等边三角形，
，，，
，即：，
，
．
类比探究：
由（1）得，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：或．
拓展探究：，理由如下：
证明如下：
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
由（1）可知，则，
．