重庆市沙坪坝区第一中学校2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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2024．4
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卷上，不得在试卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卷上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题和答题卷一并收回．
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 在8，，0，这四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A. 8B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了绝对值，熟知正数和0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．分别求出四个数的绝对值即可得到答案．
【详解】解：，，，，
∴四个数中，绝对值最大的数是，
故选：D．
2. 如图所示的几何体，其主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查判断几何体的三视图．掌握主视图是从正面看得到的图形，左视图是从左面看得到的图形，俯视图是从上面看得到的图形是解题关键．根据主视图是从正面看得到的图形解答即可．
【详解】解：该几何体的主视图如图所示，
故选：D．
3. 如图，已知，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行，内错角相等得出答案．
【详解】解：
（两直线平行，内错角相等．）
故选B．
【点睛】本题考查平行线的性质，其中准确找到平行线形成的内错角是解题的关键．
4. 如图，与位似，点为位似中心，已知，的面积为3，则的面积为（ ）

A. 12B. 9C. 8D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似三角形的面积之比等于位似比的平方是解题的关键．根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵与位似，点为位似中心，已知，
∴，
又的面积为3，
∴的面积为，
故选：A．
5. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：反比例函数中，
A、，此点不在函数图象上，故本选项不符合题意；
B、，此点在函数图象上，故本选项符合题意；
C、，此点不在函数图象上，故本选项不符合题意；
D、，此点不在函数图象上，故本选项不符合题意；
故选：B．
6. 估计的值在（ ）
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 5和6之间D. 6和7之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，无理数的估算， 先求出，再估算出的范围即可得到答案．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
7. 如图，下列图形均是由完全相同的小圆点按照一定规律所组成的，第①个图形中一共有5个小圆点，第②个图形中一共有8个小圆点，第③个图形中一共有11个小圆点，，按此规律排列下去，第⑧个图形中小圆点的个数是（ ）
A. 20B. 23C. 24D. 26
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了规律型—图形的变化类，正确分析得出变化规律是解题的关键．根据图形得出第n个图形有个圆点，然后进行计算即可．
【详解】解：第①个图形中一共有个小圆点，
第②个图形中一共有个小圆点，
第③个图形中一共有个小圆点，
第④个图形中一共有个小圆点，
……，
∴第n个图形一共有个小圆点，
当时，第⑧个图形中小圆点的个数是，
故选：D．
8. 如图，是的直径，是的切线，连接交于点，连接，．若，，则的长为（ ）

A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，先由直径所对的圆周角是直角和切线的性质得到，，进而得到，解直角三角形求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵，是的直径
∴，，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9. 如图，在正方形中，线段为对角线，点分别为边和上的点且，连接，过点作交于点，点为边上一点，连接且．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图：延长与交于点，连接，过作交于，证明四边形为矩形，四边形为正方形，四边形为平行四边形，再证明，从而进一步可得答案．
【详解】解：如图：延长与交于点，连接，过作交于，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴，，而，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，，
∴，而，
∴，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故选C
【点睛】本题考查的是正方形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
10. 在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间添加绝对值符号，对相邻的两个或者三个字母间添加括号，每一次操作必须同时添加一个绝对值符号和一个括号，且添加绝对值符号和添加括号时不能有相同字母，然后进行去绝对值和去括号运算，称此为“双添操作”．例如：，，．
下列说法：①不存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“双添操作”共有6种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查新定义题型，根据新定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较，主要考查去括号法则、绝对值计算，整式的加减和分类讨论思想的应用；列举出所有可能，然后化简计算并判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，，，，
∴所有“双添操作”如下：
，
，
，
，
，
，
，
∴不存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式相等，故①正确；
∵每一种结果中a的符号与原式中a的符号相同，
∴不存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式之和0，故②错误；
观察上面所有运算结果可知，第二个和第五个结果相等，其余都不相等，
∴所有的“双添操作”共有6种不同运算结果，故③正确，
故选：C．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：___．
【答案】10．
【解析】
【分析】直接根据零指数幂以及负整数指数幂的运算法则化简各数即可．
【详解】解：1+9=10．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了零指数幂以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
12. 据《光明日报》报道：截至2020年5月31日，全国参与新冠肺炎疫情防控的志愿者约为8810000，将数据8810000科学记数法表示为________．
【答案】8.81×106
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：8810000=8.81×106，
故答案：8.81×106．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13. 一个不透明的盒子中放有2个白球，2个黑球，这些球除了颜色外形状、大小均相同，从盒子中随机摸出两个球，则同时摸到一个白球和一个黑球的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，画树状图法分析所有等可能的结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】解：画树状图，如下：
一共有12种等可能结果，其中同时摸到一个白球和一个黑球的结果有8种，
∴同时摸到一个白球和一个黑球的概率是，
故答案为：．
14. 若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是_____．
【答案】m＞4
【解析】
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：△＜0，
∴，
∴m＞4
故答案为m＞4
【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．
15. 如图，在矩形中，，，连接，以点为圆心，为半径作弧交于点，连接．则图中阴影部分的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，矩形的性质，先由矩形的性质得到，再解直角三角形得到，据此根据进行求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．

16. 如图，在中，，于点．以为斜边在的同侧作，连接，与交于点．若，，，则线段的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】连接，根据等腰三角形三线合一和直角三角形斜边中线的性质得到，则，证明，则，，证明，由勾股定理求出，继而求出．
【详解】解：连接，
∵于点D，
∴，即点D为的中点，
∵以为斜边作，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，

又∵，
∴
∴，，
∴，
∴
∴，
在中，
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
17. 若关于的一元一次不等式组有解且至多有五个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和是______．
【答案】17
【解析】
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组，然后根据不等式组有解且至多有五个整数解求出；再解分式方程得到是整数，据此求出符合题意的a的值即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组有解且至多有五个整数解，
∴，
∴；
去分母得：，
∴，
∵分式方程有整数解，
∴，即，
∴是整数，
∴或或，
解得或或或或，
∴符合题意的a的值有10、7，
∴所有满足条件的整数的值之和是，
故答案为：17．
18. 一个四位自然数，各个数位上的数字均不为零，它的十位数字等于个位数字与千位数字之差，则称这个四位数为“简约数”．将“简约数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“简约数”的千位数字的2倍求和，记作．若，（，，，，，且，，，，均为整数）都是“简约数”，其中能被11整除，则______．在此条件下，能被7整除，则满足条件的值的和为______．
【答案】 ①. 3 ②. 10741
【解析】
【分析】本题主要考查了列代数式、整除等知识点，掌握分类讨论思想是关键．确定s各个数位的值，再根据定义计算出，然后根据能被11整除即可求解；根据定义计算出，然后根据能被7整除即可求解．
【详解】解：∵，
∴s的个位数是p，十位数是x，百位数是2，千位数是x，
∵s是“简约数”，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵能被11整除，，且x是整数，
∴是整数，
∴；
∴，
∵是“简约数”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，，且，，，均为整数，
∴，
∴，
∵能被7整除，
∴是整数，
∴，，此时；
，，此时（舍去）；
，，此时；
，，此时
∴满足条件的值的和为，
故答案为：3，10741．
三、解答题（本大题共8个小题，20题8分，其余各题每题10分，共78分），解题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1），
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，整式的混合计算：
（1）先根据单项式乘以多项式的计算法则和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案；
（2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．
小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 学习了菱形后，小美进行了拓展性研究，她发现：菱形对角线将菱形分成四个三角形，在其中一组相对三角形中，作一组对应锐角的角平分线与所对的对角线相交，那么以这两个交点为端点的线段被菱形另一条对角线垂直平分．她的解决思路是：通过证明对应三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的角平分线交于点（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形是菱形，是对角线，交于点，平分，
平分．
求证：，．
四边形是菱形 ，， ．
平分 _①_．
平分 ． _②_．
在与中 _③_．
又 ．
小美再进一步研究发现：分别连接这两个交点与菱形另一对角线的两个端点所形成的四边形是_④_．
【答案】作图见解析，，，，菱形
【解析】
【分析】本题考查了复杂作图，菱形的性质与判断，全等三角形的判定与性质等知识，先根据作角平分线的作法作出，利用角平分线的定义，菱形的性质，全等三角形的判定与性质逐步分析，完成①②③，然后利用菱形的判定完成④即可．
【详解】解：如图，即为所求，
四边形是菱形，
，， ，，
．
平分
．
平分
．
．
在与中
，
．
又
．
连接，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，
故答案为：，，，菱形．
21. 为了全面了解中学生环境适应能力的情况，某学校对七、八年级进行了一次环境适应能力测评问卷调查，并随机从这两个年级中各抽取20名学生的测评成绩（满分100分，成绩得分用表示，成绩均为整数，单位：分）进行整理、描述和分析．将学生的适应能力分为等级：卓越适应能力，等级：高级适应能力，等级：中级适应能力，等级：初级适应能力四个等级，测评成绩分别是：：，：，：，：．下面给出部分信息：
七年级学生测评成绩为：68，70，74，76，81，82，82，82，82，84，
84，86，88，92，94，96，97，98，100，100
八年级等级的学生测评成绩为：84，86，84，82，88，84，86，88，84
七、八年级学生测评成绩统计表
八年级学生测评成绩扇形统计
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级的学生环境适应能力更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）对于等级的学生需要教师通过沟通和鼓励积极地适应环境的变化，而等级的学生也要关注成长过程中适应能力的变化．若该校七年级有740人，八年级有680人，请你结合数据，估计两个年级中需要教师沟通和鼓励的学生共有多少人？
【答案】（1）84，82，15
（2）七年级的学生环境适应能力更好，理由见解析（答案不唯一）
（3）318人
【解析】
【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及扇形统计图，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
（1）先求七年级成绩众数，再分别求出八年级各个等级的人数，即可求出结论；
（2）根据方差可判断七年级的学生普法知识测试成绩更好；
（3）利用样本估计总体即可求出结论．
【小问1详解】
解：七年级学生测评成绩为：68，70，74，76，81，82，82，82，82，84，
84，86，88，92，94，96，97，98，100，100，其中82出现次数最多，
∴，
∵八年级A组有人，B组有9人，
∴八年级中位数落在B组，
又八年级等级的学生测评成绩为：82，84，84，84，84，86，86，88，88，
∴中位数，
∴，
故答案为：84，82，15；
【小问2详解】
解：七年级的学生环境适应能力更好，
理由：∵七八年级学生测试成绩的平均数相同，从方差来看，七年级的方差94小于八年级的方差102，
∴七年级的学生环境适应能力更好；
【小问3详解】
解：，
∴估计两个年级中需要教师沟通和鼓励的学生共有318人．
22. 重庆市重点改造提升工程江南立交一期工程在建中，甲、乙工程队承建了该项目中的一段2350米的道路施工任务．计划甲工程队单独施工5天后，剩下的施工任务由甲、乙工程队合作2天完成．已知甲工程队每天的施工量比乙工程队每天的施工量多94米．
（1）甲、乙两工程队每天计划各施工多少米？
（2）在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干天后，被调往其它工程项目，剩下的施工任务由乙工程队单独完成，甲、乙工程队共用11天完成了该项目，若这段道路施工任务的总施工费用是万元，已知乙工程队的总施工费用为12万元，甲工程队每天的施工费用是乙工程队每天施工费用的倍．则甲工程队每天的施工费用是多少万元？
【答案】（1）甲工程队每天的施工量为282米，则乙工程队每天的施工量为188米
（2）甲工程队每天的施工费用是万元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，解方程即可．
（1）设甲工程队每天的施工量为x米，则乙工程队每天的施工量为米，根据等量关系列出方程，解方程即可；
（2）设乙工程队每天施工费用为y万元，则乙工程队每天施工费用为万元，根据等量关系列出方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：设甲工程队每天的施工量为x米，则乙工程队每天的施工量为米，根据题意得：
，
解得：，
（米），
答：甲工程队每天的施工量为282米，则乙工程队每天的施工量为188米；
【小问2详解】
解：设乙工程队每天施工费用为y万元，则乙工程队每天施工费用为万元，根据题意得：
，
解得：，
（万元），
答：甲工程队每天的施工费用是万元．
23. 如图，在中，，，．点是的中点，动点从点出发，沿折线运动，到达点停止运动，设点运动的路程为，的面积为．
（1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，动点问题的函数图象：
（1）先利用勾股定理求出，则，，再分点P在和上两种情况，过点P作于E，解直角三角形求出，进而根据三角形面积计算公式求解即可；
（2）根据（1）所求画出对应的函数图象，进而写出对应的函数图象性质即可；
（3）根据（2）所求进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵在中，，，，
∴，
∴，，
∵点是的中点，
∴；
当，即点P在上时，过点P作于E，
由题意得：，
∴，
∴；
当，即点P在上时，过点P作于E，
∴
∴，
∴；
综上所述，；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
由函数图象可知，当时，y有最大值12；
【小问3详解】
解：当时，，
由函数图象可知，当时，．
24. 现有港口和四座小岛，一批物资需要从港口运往小岛．甲、乙两艘货船均可完成此次运输工作，甲货船运输路线为，乙货船的运输路线为．已知小岛在港口的东北方向50海里处，小岛在小岛的北偏东方向上，小岛在港口的北偏东方向上，小岛在港口的正东方向，小岛、均在小岛的正北方向上，且两岛相距30海里．（，，）
（1）求小岛与小岛之间的距离．（结果保留整数）
（2）若甲、乙两艘货船的运费分别为13元/海里和11元/海里，请计算说明选择哪艘货船更划算？
【答案】（1）33海里
（2）选择乙船更划算
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：
（1）过E作于F，并反向延长，作于H，先判断四边形是矩形，，，，得出，，然后在、中，利用锐角三角函数求出、、、，进而求出，在中，利用锐角三角函数求出、即可；
（2）利用（1）中所求数据，分别求出甲、乙船的路费，进而求出对应的费用，然后比较即可．
【小问1详解】
解：如图，过E作于F，并反向延长，作于H，
根据题意，得，，，，海里，海里，
∴四边形是矩形，，，，
∴，，
在中，海里，海里，
在中，海里，海里，
∴海里，
在中，海里，海里，
答：小岛与小岛之间的距离为33海里；
【小问2详解】
解：由（1）知海里，
∴甲船的路程为海里，
乙船的路程为海里，
∴甲船的费用为元，
乙船的费用为元，
∵，
∴选择乙船更划算．
25. 如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知，抛物线的对称轴为：．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点为对称轴左侧，第三象限抛物线上一动点，点为抛物线的顶点，过点作直线交对称轴于点，连接．求的最大值以及此时点的坐标；
（3）如图2，在（2）成立的情况下，连接，将抛物线沿着射线方向平移个单位得抛物线．点是抛物线的顶点，点是抛物线与轴的交点，直线与轴交于点，过抛物线上一点（不与点重合）作轴于点，直线交于点，连接．若点关于直线的对称点恰好落在轴上，请直接写出点的横坐标．
【答案】（1）
（2）的最大值为，此时点P的坐标为
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）先根据对称轴计算公式求出，再把代入抛物线解析式中进行求解即可；
（2）先求出，得到，则；如图所示，过点P作于E，设与x轴交于F，由平行线的性质可得，则是等腰直角三角形，可得；求出顶点D的坐标为；设，则，，，进而得到，则，据此利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求出，进而求出，则可求出，进而求出，利用待定系数法求出直线解析式为，则；再分，当点G在点E右侧时，当点G在点H和点E之间时，当点G在x轴下方且在点H右侧时，当点G在点H左侧且在x轴上方时，四则情况，设，则 ，表示出，通过证明，进而建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
把代入中得，解得，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点P作于E，设与x轴交于F，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵抛物线解析式为，
∴顶点D的坐标为；
设，
∴，，
∴，，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，此时点P的坐标为；
【小问3详解】
解：在中，当时，解得或，
∴，
∴，
∴，
∴将抛物线沿着射线方向平移个单位得抛物线相当于将抛物线向右移动2个单位长度，向下移动1个单位长度得到抛物线，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴；
如图所示，当点G在点E右侧时，设，则 ，交于T，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
∴点G的横坐标为；

如图所示，当点G在点H和点E之间时，同理有，
此时，，
∴，即，
解得或（舍去），
∴点G的横坐标为；

如图所示，当点G在x轴下方且在点H左侧时，同理有，
此时，，
∴，即，
解得或（舍去），
∴点G的横坐标为；

如图所示，当点G点H左侧且在x轴上方时，同理有，
此时，，
∴，即，
解得或（舍去），
∴点G的横坐标为；

综上所述，点G的横坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于推出是等腰直角三角形，解（3）的关键在于证明．
26. 如图，在中，点是边上一动点，连接．
（1）如图1，点是边上一点，连接，若，平分，．当，时，求线段的长度；
（2）如图2，，当且时，将线段绕着点逆时针旋转到，使，连接，过点作于点，点为边中点．连接并延长交的延长线于点，且交于点．若，求证：；
（3）如图3，当，时，将线段绕着点顺时针旋转到，是边上一点且，连接、．为直线上一动点，当点、、在同一直线上时，将沿直线翻折到同一平面的，连接、．当最小时，直接写出的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质定理，得出，根据等腰三角形三线合一的性质，结合勾股定理求出，根据得出答案即可；
（2）连接，根据等腰三角形三线合一，利用证明，得出，推出，，利用证明，得出，，推出，根据，，证明即可；
（3）根据题目条件补充图形，并连接，过点作于，利用证明，得出，，利用证明，结合，，得出，，根据、计算，再计算求出，，根据翻折得出计算，分析点的运动轨迹在以点为圆心，为半径的圆上，得出当点在如图位置，点、、在同一直线上时，最小，计算，根据、、、，分别计算，最后根据计算出答案即可．
【小问1详解】
解：如图，过点作于，
∵，平分，，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，连接，
∵，点为边中点，
∴，，，
又∵，
∴，
∵将线段绕着点逆时针旋转到，使，
∴，
，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即；
【小问3详解】
解：如图，连接，过点作于，
∵将线段绕着点顺时针旋转到，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
，
∴，
∴，
∵将沿直线翻折到同一平面的，
∴，，，
，
∴点的运动轨迹在以点为圆心，为半径的圆上，
∴当点在如图位置，点、、在同一直线上时，最小，
∴此时点在线段上，，
∴，
，，
，
∴
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、等边对等角、等角对等边、折叠问题、一点到圆上点距离的最小值的理解、三角形面积公式的计算与理解等知识，综合性强，难度较大，灵活运用知识点、作辅助线推理证明、数形结合是解题的关键．年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
85.8
84
94
八年级
85.8
84
102