山西省忻州市忻府区2023-2024学年八年级下学期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上．.
3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑．
1. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式有意义和分式有意义的条件可得，再解不等式即可．
【详解】由题意得：，
解得：，
故选：D．
2. 的三条边长分别为a、b、c，三个内角分别为、、，则满足下列条件的是直角三角形的是（ ）．
A. B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵，，
∴
∴不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴三边长为，，，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴三边长为，，，可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
D、∵，
∴三边长为，，，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
3. 下列各式运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的乘法运算等知识点，正确化简二次根式是解题的关键．
利用二次根式的性质、立方根的性质、二次根式的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A. ，故A选项错误，不符合题意；
B. ，故B选项错误，不符合题意；
C. ，故C选项错误，不符合题意；
D. ，故D选项错误，符合题意．
故选D．
4. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，点E、点G分别是OC、AB的中点，连接BE、GE，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等知识点，熟悉这些知识点是解题的关键，由平行四边形的性质和已知条件可以得到是等腰三角形，再根据三线合一得到，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而得到．
【详解】解：∵四边形是平行四边形；
∴，；
∵；
∴；
∴；
∴是等腰三角形；
∵点E是OC的中点；
∴；
∴是直角三角形；
∵点G是AB的中点；
∴，；
∴；
∴；
∵；
∴；
故选：D．
5. 如图，在数轴上点A，B所表示的数分别为-1，1，CB⊥AB，BC=1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用勾股定理可以求得AC的长，从而可以求得AD的长，进而可以得到点D表示的数．
【详解】解：由题意可得，
AB=2，BC=1，AB⊥BC，
∴AC=，
∴AD=，
∴点D表示数为：-1，
故选B.
【点睛】本题考查实数与数轴和勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理，由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，得出，由勾股定理求出即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. 12D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据非负性求出的值即可得到答案．
详解】解：由题意得：，
解得，
，
，
，
故选B．
8. 如图所示，在正方形中，O是对角线的交点，过O作，分别交于E、F，若，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】先利用证明，故得，进而得出，在中利用勾股定理即可解得的长．本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
详解】解：四边形是正方形，
，，，
又，
，
，
∴，
，
又，
，
∴中，．
故选：C．
9. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解决问题的关键．
【详解】由题意可知，，
∴．
设的长为，则，
所以．
在直角中，，即，
解得：．
故选：B．
10. 如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短，连接，由菱形的性质得，，，利用勾股定理可以求得的长为，又因为，，可证四边形为矩形，根据矩形的对角线相等的性质可得，当时，最短，再利用面积法求出的长即可求解的最小值，熟练掌握矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，
又∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
当时，值最小，
此时，，
∴，
∴的最小值为，
故选：．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 若，且，则的值是_________．
【答案】1或5
【解析】
【分析】根据绝对值和算术平方根的定义得到，再由得到，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
当时，；
当时，，
∴的值是1或5，
故答案为：1或5．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，算术平方根，绝对值，正确求出是解题的关键．
12. 如图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为____．
【答案】14
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．根据勾股定理求出，分别求出三个半圆的面积和的面积，即可得出答案．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
∴阴影部分的面积，
故答案为：14．
13. 如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则______．
【答案】45°
【解析】
【分析】利用勾股定理可求出AB2，AC2，BC2的长，进而可得出AB2=AC2+BC2，AC=BC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出∠ABC=45°．
【详解】解：连接AC，
根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10．
∴AB2=AC2+BC2，AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°．
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理及AC=BC，找出△ABC为等腰直角三角形是解题的关键．
14. 如图，直线经过正方形的顶点，分别过该正方形的顶点、作于，于．若，，则的长为________．
【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识，证明是解题关键．利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，然后由即可获得答案．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：9．
15. 如图，矩形中，，，是对角线上的两个动点，分别从同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒，若分别是的中点，且，当为顶点的四边形为矩形时，的值为 _____．
【答案】或
【解析】
【分析】如图所示，连接，当为顶点的四边形为矩形时，则四边形的对角线相等，结合分类讨论即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵矩形中，，，分别是的中点，
∴，
∵是上的动点，速度均为，运动时间为秒，
∴，
当为顶点的四边形为矩形时，则，
∴①，解得，；
②，解得，；
综上所述，当为或时，为顶点的四边形为矩形，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握矩形的判定和性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键；
（1）先化简二次根式，再合并即可；
（2）先计算二次根式的乘法运算，再计算加减运算即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
原式．
17. 如图，在中，顶点A，B，C均在格点上，为格点三角形，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度．
（1）建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为．此时，点C的坐标为______；
（2）判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）
（2）是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是建立平面直角坐标系，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理的含义是解本题的关键；
（1）先建立坐标系，从而可得C的坐标；
（2）求出三角形各边长，再根据勾股定理逆定理进行判断即可．
【小问1详解】
解：如图，建立坐标系如下：
∴；
【小问2详解】
由勾股定理得，，
∴
∴是直角三角形，且．
18. 已知，．
（1）求和ab的值；
（2）求的值；
（3）若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值．
【答案】（1），
（2）16 （3）
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键；
（1）直接把，代入计算即可；
（2）把变形为，再整体代入计算即可；
（3）先判断，，再代入计算即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，；
【小问2详解】
由（1）得：，，
∴；
【小问3详解】
∵a小数部分是x，
∴，
∵b的整数部分是y，
∴，
∴．
19. 在中，，D是的中点，过点A作，且，连接．
（1）证明：四边形是菱形；
（2）若，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）24
【解析】
【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定与性质等知识点，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
（1）先证是四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论；
（2）由菱形的性质得，再证，可证明,然后代入数据即可解答．
【小问1详解】
证明：∵，D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形．
【小问2详解】
解：∵平行四边形是菱形，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴．
20. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风等线的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）风筝高度为米
（2）他应该往回收线8米
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用：
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）由题意得，米，则米，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【小问1详解】
解：在中，由勾股定理得，，
∴米或米 （负值舍去），
∴（米），
答：风筝的高度为米；
【小问2详解】
解：由题意得，米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线8米．
21. 材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；．根据上述知识，请你完成下列问题：
（1）运用分母有理化，化简：；
（2）运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由；
（3）计算：的值．
【答案】（1）2 （2）
（3）9
【解析】
【分析】（1）根据分母有理化是要求把原式化为再计算即可得到答案；
（2）根据分子有理化的要求把原式变形为 ，再计算出结果，再比较大小即可；
（3）依次把每一项分母有理化，再合并即可．
【小问1详解】
解：

【小问2详解】




由

【小问3详解】

【点睛】本题考查的是分母有理化，分子有理数，理解题意，熟悉阅读部分的运算要求与运算法则，再解决问题即可．
22. 综合与实践：
【问题背景】：
（1）三角形中位线定理：如图①，在中，点D，E分别是边，的中点．请直接写出中位线和第三条边的位置关系和数量关系；
【知识应用】
（2）如图②，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，， ，，求的度数；
【解决问题】
（3）如图③，在四边形中，点M，N分别为边，的中点，对角线与相交于点E，连接，分别交，于点F，G，．求证：．
【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
（1）、根据三角形中位线定理即可得到结论；
（2）、连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可；
（3）、取的中点，连接、，则、分别是、的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，根据等腰三角形的性质即可得结论．
【详解】（1）解：，；
（2）解：连接，如图所示，
∵点E，F分别是边，中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴；
（3）证明：取的中点H，连接，．
∵M，H分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴且，
同理可得且．
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
23. 综合与探究：
【问题情境】：
如图①，在正方形中，点E为其内部一点，为直角三角形，且，连接，将绕点B按顺时针方向旋转，得到，点E的对应点为点，点A的对应点为点C，延长交于点F．
【提出问题】：
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
【拓展探究】：
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．
【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析；（2），证明见解析；
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形；
（2）过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，可得结论．
【详解】解：（1）四边形是正方形．
理由如下：
∵是由绕点B按顺时针方向旋转90°得到的，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
由旋转可知：，
∴四边形是正方形；
（2）．
证明：如图②，过点D作于点H，
则，，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
由旋转可知：，
由（1）可知：四边形是正方形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．