2024年新高考冲刺考前押题密卷-数学-(考试版A4+参考答案+全解全析)

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
12． 13． 14．2
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【答案】(1)；(2)0.9；(3)小张答对题数的的期望为8.1，方差为0.09，ChatGPT答对题数的期望为8.1，方差为0.81.
【详解】（1）设小张答对的题数为，则.
（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，
由题意知，，，
则，
；
（3）设小张答对的题数为，则的可能取值是，
且，，
设ChatGPT答对的题数为，则服从二项分布，
则，，
，
.
16.（15分）(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)
【详解】（1）取中点，连接，，；
因为，分别为和的中点，所以且，
又且，
所以且，即四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
（2）因为三棱柱所有棱长都为，，
所以，，为的中点，四点共面，
所以，且，，平面，，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（3）由题意知，，且，，平面，，
所以平面，又，所以平面，
所以为直线与平面所成角，
又，所以，
因为，所以平面，平面，所以，
所以为直角三角形，所以，所以，
在中，，所以，
以为原点，作平面，以，，方向为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，由，所以，
所以，，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，解得，所以平面的一个法向量为，
记二面角的平面角为，由图可得为锐角，
则，
即二面角的平面角的余弦值为．
17．(1)；(2).
【详解】（1）当时，，则，
所以切线斜率为，又，
所以，切线方程是.
（2）①当时，因为，所以，
所以.
记，则，
令，则.
因为当时，，所以在区间上单调递增，
所以，，
所以，在区间上单调递增，
所以，，所以.
②当时，，
因为当时，，
令，则，
若，则，即在区间上单调递增.
若，则，
所以在区间上单调递增.
所以当时，在区间上单调递增.
因为，，
所以，存在，使得，
所以，当时，，即在区间上单调递减，
所以，不满足题意.
综上可知，实数的取值范围为.
18．(1)；(2)；(3)证明见解析
【详解】（1）由题意得，，
由，
所以
（2）设，
联立，，
设方程的两根为，则，
由，所以，
联立直线可得，
代入方程中，得，即，
故的面积.
因为在圆上，所以且，
于是，
显然此式在上单调递增，故，
也即，因此，
由题干知“囧边形”面积，所以“囧边形”面积的取值范围为.
（3）由（2）知，,
设，过的切线，即，
过点切线交得，同理，
因为，
.
所以，即.
19．(1)7；(2)或10；(3)
【详解】（1）中的最小元素为.
（2）由题得，设，.
①当时，或或或或或.
经检验，当时，，符合题意，
所以.
②当时，或或或.
经检验，当时，，符合题意，
所以.
③当时，不符合题意.
因此，或10.
（3）设，则，其中，
，所以，
设，则.
因为，
所以
.
因为，
所以，所以，
又因为，所以.
1
2
3
4
5
6
7
8
D
D
A
B
C
A
B
D
9
10
11
BCD
BCD
ACD