2024北京陈经纶中学高二（下）期中数学试题及答案

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高二 年级 数学 学科
（时间： 120分钟 满分： 150分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1．（ ）
A．9B．18C．28D．36
2．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为（ ）
A．24B．16C．13D．48
3．函数的单调增区间是（ ）
A．B． C． D．
4．在10件产品中，有8件合格品，2件次品．从这10件产品中任意抽出3件，抽出的3件中恰有1件次品的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数有极大值和极小值，则a的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
6.已知随机变量X，Y分别满足，X～B（8，p），Y～N（μ，），且期望E（X）=E（Y），又P（Y≥3）=，则p=（ ）
A． B． C． D．
7.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是
A.曲线在点处的切线斜率小于零
B.函数在区间上单调递增
C.函数在处取得极大值
D.函数在区间内至多有两个零点
8．用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ）
A．72种 B．36种 C．12种 D．60种
9．已知函数存在极值点，且恰好有唯一整数解，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
“L”形骨牌
国际象棋棋盘
10.一个国际象棋棋盘（由个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）. “L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示. 现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则
A.至多能剪成19块“L”形骨牌
B.至多能剪成20块“L”形骨牌
C.一定能剪成21块“L”形骨牌
D.前三个答案都不对
填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.
11．已知函数，则 .
12．在的展开式中，项的系数为________．（用数字作答）
13．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种. (用数字作答)
14.若直线与曲线相切，则实数的值为______.
15．三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有、和不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件.则取到的是不合格品的概率是____，经检验发现取到的产品为不合格品，它是由机器____生产出来的可能性最大.
16．已知函数，对于函数有下述四个结论：
①函数在其定义域上为增函数；
②有且仅有两个零点；
③对于任意的，都有成立；
④若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则必是的零点.
其中所有正确的结论序号是 .
解答题：本大题共5个小题，共70分.
17．（本题满分14分）已知函数，且为极值点.
(1)求实数的值；
(2)判断是极大值点还是极小值点，并分别求出极大值与极小值.
18．（本题满分14分）据世界田联官方网站消息，原定于2023年5月日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至2025年4月至5月举行.据了解，甲､乙､丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的米接力的角逐.接力赛分为预赛､半决赛和决赛，只有预赛､半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和.
(1)甲､乙､丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)设甲､乙､丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列.
（本题满分14分）某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次：1期、2期、3期和4期. 记随机变量X1、X2分别表示顾客购买H型手机和V型手机的分期付款期数，根据以往销售数据统计，X1和X2的分布列如下表所示:

(1)若某位顾客购买H型和V型手机各一部，求这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率；
(2)电商平台销售一部V型手机，若顾客选择分1期付款，则电商平台获得的利润为300元；若顾客选择分2期付款，则电商平台获得的利润为350元；若顾客选择分3期付款，则电商平台获得的利润为400元；若顾客选择分4期付款，则电商平台获得的利润为450元. 记电商平台销售两部V型手机所获得的利润为X(单位:元),求X的分布列；
(3)比较D(X1)与D(X2)的大小. (只需写出结论)
20.（本题满分14分）已知.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)已知函数在区间上有零点，求的值；
(3)记，设、是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围.
21、（本题满分14分）已知整数，数列是递增的整数数列，即且定义数列A的“相邻数列”为，其中或
(1)已知，数列，写出A的所有“相邻数列”；
(2)己知，数列是递增的整数数列，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列A的个数；
(3)已知，数列是递增的整数数列，，且存在A的一个“相邻数列”，对任意的，求的最小值．
参考答案
一、选择题:
1．B 2．C 3．D 4．C 5．B 6. C 7. D 8．A 9．C 10. C
二、填空题:
11． 12．6 13．36 14． 15．，机器乙 16．②③④
三、解答题:
17．解:（1），
因为为函数的极值点，
所以，解得，
经检验符合题意，所以；
（2）由（1）得，，
当或时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以为极大值点，极大值为，
为极小值点，极小值为.
18．解:（1）甲队进入决赛的概率为，
乙队进入决赛的概率为，
丙队进入决赛的概率为，
显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大．
（2）由（1）可知：甲､乙､丙三队进入决赛的概率分别为，
的可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列为：
19.解:(1)设事件A为“这位顾客两种手机都选择分4期付款”,
故P(A)=0.1×0.4=0.04.…3分
X的所有可能取值为600,650,700,750,800,850,900.
P(X=600)=0.4×0.4=0.16；
P(X=650)=C21×0.4×0.1=0.08；
P(X=700)=0.1×0.1+C21×0.4×0.1=0.09；
P(X=750)=C21×0.4×0.4+C21×0.1×0.1=0.34；
P(X=800)=0.1×0.1+C21×0.1×0.4=0.09；
P(X=850)=C21×0.1×0.4=0.08；
P(X=900)=0.4×0.4=0.16.
所以X的分布列为

(3)D(X1)20.解:（1）因为，所以，所以切线斜率为，
又，切点为，所以切线方程为；
（2），，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以的极小值为，，
在区间上存在一个零点，此时；
又，，
在区间上存在一个零点，此时．
综上，的值为0或3；
（3）函数，，
所以，
由得，依题意方程有两不相等的正实根、，
，，，
又，，，解得，
，
构造函数，，
所以，
在上单调递减；
所以当时，，
所以．
21、解:（1）根据“相邻数列”的概念可知，，
或，或，
所以的所有“相邻数列”有；；；.
（2）任取的一个“相邻数列”，
因为或，
或，
所以有且，
对于的取值分以下4种情形：
（a），
（b），
（c），
（d）
由数列是递增的整数数列，前3种情形显然都能得到，所以只需考虑第4种情形，
递增，，即，
由是递增的整数数列得，从而是公差为1的等差数列，
于是，则，即满足数列的有11个.
（3）令，所以对任意，
设，则且，
先证明与要么是空集，要么是连续自然数构成的集合，
若，令，则，由得，
所以，即，即是空集，或是连续自然数构成的集合．
若，令，则，由得，
所以，即，即是空集，或是连续自然数构成的集合，
因此，的分布只可能是如下三种情况：
（i），此时，对任意的，由得，
所以对任意的，注意到，所以，
等号当且仅当时取到；
（ii）存在整数，使得
对任意的，对任意的，所以
（iii）．此时，对任意的，与情形1类似，
对任意的，注意到，
所以，
综上，的最小值为．
X1
1
2
3
4
P
0.1
0.4
0.4
0.1
0
1
2
3
X
600
650
700
750
800
850
900
P
0.16
0.08
0.09
0.34
0.09
0.08
0.16