2024年北京市朝阳区九年级中考复习一模数学试卷(含答案）

这是一份2024年北京市朝阳区九年级中考复习一模数学试卷(含答案），共16页。试卷主要包含了 4等内容，欢迎下载使用。

2024. 4
1.本试卷共 6 页，共三道大题，28 道小题，满分 100 分。考试时间 120 分钟。
2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
考生须知
学校班级姓名考号
一、选择题（共 16 分，每题 2 分）
第 1-8 题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．
1．2024 年 1 月 21 日北京市第十六届人民代表大会第二次会议开幕，在政府工作报告中提到，2023 年北京向天津、河北输出技术合同成交额 74 870 000 000 元，
将 74 870 000 000 用科学记数法表示应为
（A）74.87×109（B）7.487×1010（C）7.487×109（D）0.7487×1011
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

（A） （B） （C） （D）
3. 如图，直线AB，CD 相交于点O，若∠AOC ＝ 50°，∠DOE ＝ 15°，则∠BOE 的度数为
（A）15°
（B）30°
（C）35°
（D）65°
4. 如果一个几何体的三视图都是矩形，那么这个几何体可能是
（A）三棱柱（B）长方体（C）圆柱（D）圆锥
5. 若 a < b，则下列结论正确的是
（A）– a < – b （B）2a < a + b
（C）1 – a < 1 – b （D）2a + 1>2b + 1
6．正十边形的内角和为
（A）144°（B）360°（C）1440° （D）1800°
7. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数为
5的概率是
（A） （B） （C） （D）
8. 如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E，F 分别在 AB，BC 的延长线上，且 BE = CF，
设 AD = a，AE = b，AF = c．给出下面三个结论：
① a+b > c；② 2ab < c2；③ > 2a ．
上述结论中，所有正确结论的序号是
（A）①②（B）②③
（C）①③ （D）①②③
二、填空题（共 16 分，每题 2 分）
9. 若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是．
10．分解因式：3x2 +6xy+ 3y2 = ．
11. 方程的解法为______.
12. 若关于x的一元二次方程x2 + 5x + m = 0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范
围是．
13. 某种植户种植了 1 000棵新品种果树，为了解这1 000棵果树的水果产量，随机抽取了50棵进行统计，获取了它们的水果产量（单位：千克），数据整理如下：
根据以上数据，估计这1 000棵果树中水果产量不低于 75 千克的果树棵数为．
14. 在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点C 处的镜子中看到教学楼的顶部 D 时， 测得小南的眼睛与地面的距离AB = 1.6 m，同时测得
BC = 2.4 m，CE = 9.6 m，则教学楼高度 DE = m．

第14题图 第15题图
15. 如图，⊙O 是 Rt△ABC 的外接圆， OE⊥AB 于点 D，交⊙O 于点 E，若 AB = 8，DE = 2，则 BC 的长为 .
16. 甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作 A、B、C、D 四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示：
（1）如果按照 A → B → C → D 的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为 分钟；
（2）两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是 ．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第 22-23 题，每
题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17. 计算：2sin45°
18. 解不等式组：
19. 已知x + 2 y + 2 = 0 ，求代数式的值.
20. 如图，在□ABCD 中，AB = AC，过点D作AC的平行线与BA 的延长线相交于点 E．
（1）求证：四边形 ACDE 是菱形；
（2）连接 CE，若 AB = 5，tanB = 2，求 CE 的长．
21. 燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括 2 张长桌、2 张中桌和 3 张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为 61.25 平方尺，则长桌的长为多少尺？
22.在平面直角坐标系 xOy 中，正比例函数 y = mx （m≠0）的图象和反比例函数（k≠0）的图象都经过点 A（2，4）．
（1）求该正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）当 x > 3 时，对于 x 的每一个值，函数 y = mx + n（m≠0）的值都大于反比例函数
（k≠0）的值，直接写出 n 的取值范围．
23. 某广场用月季花树做景观造型，先后种植了两批各 12 棵，测量并获取了所有花树的
高度（单位：cm），数据整理如下：
两批月季花树高度的频数：
两批月季花树高度的平均数、中位数、众数（结果保留整数）：
（1）写出表中 m，n 的值；
（2）在这两批花树中，高度的整齐度更好的是 （填“第一批”或“第二批”）；
（3）根据造型的需要，这两批花树各选用 10 棵，且使它们高度的平均数尽可能接近．
若第二批去掉了高度为 135 cm 和 149 cm 的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树
的高度分别是 cm 和cm．
24. 如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，D 是 的中点，AD 的延长线与过点 B 的
切线交于点 E，AD 与 BC 的交点为 F．
（1）求证：BE = BF；
（2）若⊙O 的半径是 2，BE = 3，求 AF 的长．
25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至 100 ℃后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于 50 ℃，水壶不加热；若水温降至
50 ℃，水壶开始加热，水温达到 100 ℃ 时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．
某数学小组对壶中水量 a（单位：L），水温 T（单位：℃）与时间 t（单位：分）进行了观测
和记录，以下为该小组记录的部分数据．
表 1 从 20 ℃ 开始加热至 100 ℃，水量与时间对照表
表 2 1 L 水从 20 ℃ 开始加热，水温与时间对照表
对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为 1 L 时，无论在煮沸模式还是
在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温 T 就是加热时间 t 的一次函数．
（1）写出表中 m 的值 ；
（2）根据表 2 中的数据，补充完成以下内容：
① 在下图中补全水温与时间的函数图象；
② 当 t = 60 时，T = ；
（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有 30 分钟，他往水壶中注入 2.5 L 温度为 20 ℃的水，当水加热至 100 ℃后立即关闭电．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于 50 ℃的水．

26.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax2 + bx (a > 0) 上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，它的对称轴为直线 x = t．
（1）若该抛物线经过点（4，0），求 t 的值；
（2）当 0 < x1 < 1 时，
①若 t ＞ 1， 则 y1 0；（填“＞” “=”或“＜”）
②若对于 x1 + x2 = 2，都有 y1 y2 ＞ 0，求 t 的取值范围．
27. 如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD = 120°，E 是 CD 边上一点（不与点 C，D 重合）．
将线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 60° 得到线段 AF，连接 DF，连接 BF 交 AC 于点 G．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求证：GB=GF；
（3）用等式表示线段 BC，CE，BG 之间的数量
关系．
28. 在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径为 1，对于直线 l 和线段 PQ，给出如下定义：
若线段 PQ 关于直线 l 的对称图形是⊙O 的弦 P'Q'（P'，Q' 分别为 P，Q 的对应点），
则称线段 PQ 是⊙O 关于直线 l 的“对称弦”．
（1）如图，点 A1，A2，A3，B1，B2，B3 的横、纵坐标都是整数．线段 A1 B1，A2 B2，A3 B3 中，
是⊙O 关于直线 y = x＋1 的“对称弦”的是 ；
（2）CD 是⊙O 关于直线 y = kx（k ≠ 0）的“对称弦”，若点 C 的坐标为 (–1，0) ，
且 CD=1，求点 D 的坐标；
（3）已知直线和点M（3， ），若线段MN是⊙O关于直线
的“对称弦”，且MN=1，直接写出b的值.
北京市朝阳区九年级综合练习（一）
数学试卷答案及评分参考 2024. 4
一、选择题（共 16 分，每题 2 分）
二、填空题（共 16 分，每题 2 分）
三、解答题（共 68 分，第 17-19 题，每题 5 分，第 20-21 题，每题 6 分，第 22-23 题，每题 5 分，第 24 题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每题 7 分）
17．解：原式 = 4 分
= ．5 分
解：原不等式组为
解不等式①，得 x > –1．2 分
解不等式②，得 x ＜ 2 ．4 分
∴原不等式组的解集为 –1 ＜ x ＜ 2 ．5 分
解：
1分
=2分
-
= 2(x + 2 y)．3 分
∵ x + 2 y + 2 = 0，
∴ x + 2 y = -2 ．4 分
∴ 原式 = -4．5 分
20．（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB//CD，AB = CD．1 分
∵ DE//AC，
∴四边形 ACDE 是平行四边形．2 分
∵ AB=AC，
∴ AC=CD．
∴四边形 ACDE 是菱形．3 分
（2）解： 设 CE 与 AD 相交于点 O．
E
A
O
D
B
C
由（1）可知，AD⊥CE，AD//BC，AB = CD = AE．
∴∠BCE = ∠AOE = 90°．4 分
∴在 Rt△BCE 中，tanB =．
设 BC = x，则 CE = 2x ．
∵ AB = 5，
∴ BE = 2AB = 10．
∵ BC 2+ CE 2 = BE 2，
∴ x2+（2x）2 = 102．5 分
解得 x1 = ，x2 =（舍）．
∴ CE = ．6 分
解：设每张桌面的宽为 x 尺．1 分
由图形可知，小桌的长为 2x 尺，中桌的长为 3x 尺，长桌的长为 4x 尺．2 分
依题意，可得 2×4x2 ＋ 2×3x2 ＋ 3×2x2 ＝ 61.25．3 分
解得 x1 = ，x2 = （舍）． 4 分
∴ 4x = 7．5 分
答：长桌的长为 7 尺．6 分
解：（1）∵ y = mx 的图象经过点 A（2，4），
∴ m = 2．
∴ y = 2x ．2 分
∵ 的图象经过点 A（2，4），
∴ k = 8．
∴ ．3 分
（2） n ≥ ．5 分
23．解：（1）m = 142，n = 140；2 分
（2）第二批；3 分
（3）如：131，135．5 分
24．（1）证明：∵D是 的中点，
∴．
∴∠BAD = ∠CAD．1 分
∵ AB 是⊙O 的直径，
∴∠C = 90°．2 分
∴∠CAD + ∠AFC = 90°．
∵∠EFB = ∠AFC，
∴∠CAD + ∠EFB = 90°．
∵ BE 是⊙O 的切线，
∴∠ABE = 90°．
∴∠BAD + ∠E = 90°．
∴∠EFB = ∠E．
∴ BE = BF．3 分
（2）解： 连接 BD．
D
C
F
A
O
B
∵ AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB = 90°．
∴∠EAB + ∠ABD = 90°．
∵∠EBD + ∠ABD = 90°，
∴∠EAB = ∠EBD．
∵⊙O 的半径是 2，
∴ AB = 4．
∵ BE = 3，
∴在 Rt△ABE 中，AE =．4 分
∴ sin∠EBD = sin∠EAB = ．
∴ ED = BE·sin∠EBD =．5 分
∵ BE = BF，BD⊥ EF，
∴ EF = 2ED = ．
∴ AF = AE – EF =．6 分
解：（1）8；1 分
（2）①补全的函数图象如下：
3分
60；4 分
（3）不能．5 分
解：（1）∵抛物线 y = ax2 + bx 经过点（4，0），
∴ 16a + 4b = 0．
∴ b = –4a．
∴ t = 2．2 分
（2）① ＜ ；3 分
② ∵ a > 0，
∴当 x ≥ t 时，y 随 x 的增大而增大；当 x ≤ t 时，y 随 x 的增大而减小．
∵ 0 < x1 < 1，x1 + x2 = 2，
∴ 1 < x2 < 2．
当 t ≤ 0 时，
∵ 0 < x1 < x2，
∴ y1 > 0，y2 > 0．
∴总有 y1 y2 > 0，符合题意．
当0 ＜ t ≤时，
∵ 1 < x2 < 2，
∴ x2 > 2t．
∴ y2 > 0．
当 0 ＜ x1＜ t 时，y1 < 0．
∴ y1 y2 < 0．
∴不符合题意．
当 t ＞时，
∵ 0 < x1 < 1，
∴ y1 < 0．
要使 y1 y2 > 0，只需 y2 < 0．
∵（0，0）关于 x = t 的对称点为（2t，0），
∴ x2 < 2t．
∴ 2t ≥ 2．
∴ t ≥ 1．
综上所述，t 的取值范围是 t ≤0 或 t ≥ 1．6分
27．（1）依题意补全图形，如图所示：
1分
（2）证明：连接 BD，与 AC 相交于点 O．
∵线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 60° 得到线段 AF，
∴∠EAF= 60°，AE=AF．
∵在菱形 ABCD 中，∠BAD = 120°，AD = CD，
∴∠CAD =∠BAD = 60°．
∴△ACD 是等边三角形．
∴ AC = AD．
∴∠CAE = ∠DAF． 2分
∴△ACE ≌△ADF．3分
∴∠ADF =∠ACD = 60°．
∴∠ADF = ∠CAD．
∴ DF//AC．5分
∴
∵ BO = OD，
∴ GB = GF．6 分
（3）3BC2 + CE2 = 4BG2．7 分
28. 解：（1） A1 B1；1 分
（2） 设点 C，D 关于直线 y = kx（k ≠ 0）的对称点为 C'，D' ，
∴直线 y = kx（k ≠ 0）垂直平分 CC'，DD'．
∵ CD 是⊙O 关于直线 y = kx（k ≠ 0）的“对称弦”，
∴ C'，D' 在⊙O 上．
∵直线 y = kx（k ≠ 0）经过圆心 O，
∴点 D 在⊙O 上．3 分
∵ CD = 1，
∴△ OCD 是等边三角形．
可求点 D 的坐标为 或 ．5 分
（3） 或．7 分
水果产量
x < 50
50 ≤ x < 75
75 ≤ x < 100
100 ≤ x < 125
x ≥ 125
果树棵数
1
15
20
12
2
A
B
C
D
甲
9
5
6
8
乙
7
7
9
3
131
135
136
140
144
148
149
第一批
1
3
0
4
2
2
0
第二批
0
1
2
3
5
0
1
平均数
中位数
众数
第一批
140
140
n
第二批
141
m
144
a
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
4.5
8
11.5
15
18.5
22
煮沸模式
保温模式
t
0
3
6
m
10
12
14
16
18
20
22
24
26
…
T
20
50
80
100
89
80
72
66
60
55
50
55
60
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
B
B
C
D
A
题号
9
10
11
12
答案
x ≥ 14
3(x+y)2
x = 2

题号
13
14
15
16
答案
680
6.4
6
35；B → C → A → D