2024年广东省汕头市潮南区潮南区司马初中学校中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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说明：
1、本卷满分120分；
2、考试时间120分钟；
3、答案请写在答题卷上．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】观察图形可知，该几何体的俯视图如下：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
2. 将数据用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：将数据用科学记数法表示为；
故选B．
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
3. 下列各数是不等式的解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】移项即可得出答案．
【详解】解：∵x-1≥0，
∴x≥1，
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的解集，解题的关键是正确理解不等式的解的概念，本题属于基础题型．
4. 如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cbb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论．
【详解】由示意图可知：和都是直角三角形，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
5. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键在于熟知关于一元二次方程若有解，则其解为．
【详解】解：由题意得：，，，
∴该方程为，
故选：．
6. 如图，已知，点A在直线a上，点B，C在直线b上，，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质与三角形的内角和为进行解题即可．
【详解】解：∵，，
∴，
由题可知：，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
7. 从长度为，，，的4条线段中任意选3条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单概率的计算，三角形三边关系，熟练掌握三角形两小边之和大于第三边是解题的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：，不能够构成三角形；
，能构成三角形；
设四条线段分别为a，b，c，d，任意选3条线段共有，，，b、四种等可能结果，能够组成等腰三角形的有和b、两种，
故概率为，
故选A．
8. 下列计算中正确的是（ ）
A. （ab3）2＝ab6B. a4÷a＝a4C. a2•a4＝a8D. （﹣a2）3＝﹣a6
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据积的乘方运算法则、同底数幂的除法和同底数幂的乘法运算法则依次计算即可得出答案．
【详解】解：A、（ab3）2＝a2b6≠ab6，所以本选项错误；
B、a4÷a＝a3≠a4，所以本选项错误；
C、a2•a4＝a6≠a8，所以本选项错误；
D、（﹣a2）3＝﹣a6，所以本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的运算性质，属于基础题型，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
9. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，垂足为点E，F是的中点，连接，若，则矩形的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的性质得出，即可求证为等边三角形，进而得出点E为中点，根据中位线定理得出，易得，求出，即可得出矩形的周长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴点E为中点，
∵F是的中点，若，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形的周长，
故选：D．
【点睛】矩形主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线定理，解直角三角形，解题的关键是掌握矩形的对角线相等，等边三角形三线合一，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，以及解直角三角形的方法和步骤．
10. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点、，与轴交于点，．若的面积为8，则的值为（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】作轴，轴，结合，可得，，结合，可得，即：，根据几何意义，即可求解，
本题考查了反比例函数几何意义，解题的关键是：熟练掌握数形结合的方法．
【详解】解：过点、，分别作轴于，轴于，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵点、在反比例函数上，
∴，即：，即，
∴，即：，
∴，
∴，
∵反比例函数经过第一象限，
∴，
∴，
故选：．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
12. 若a，b互为相反数，c，d互为倒数，的绝对值为2，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数，倒数和绝对值定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得，乘积为1的两个数互为倒数，据此可得，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得，再利用整体代入法代值计算即可．
【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，的绝对值为2，
∴，，，
∴
，
故答案为：．
13. 某青年排球队有12名队员，年龄的情况如下表：
则这12名队员年龄的中位数是______岁．
【答案】19
【解析】
【分析】根据中位数的定义，求出第6名队员和第7名队员年龄的平均数即可．
【详解】解：∵，
∴第6名队员和第7名队员年龄均为19岁，
∴这12名队员年龄的中位数是19岁，
故答案为：19．
【点睛】本题主要考查了求中位数，解题的关键是掌握中位数的定义，奇数个数据的中位数是最中间的一个数据，偶数个数据的中位数是最中间两个数据的平均数．
14. 如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得的长为，则的长为______cm．

【答案】18
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长．
【详解】解：，，
，
，
，
，
故答案为：18．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是求出的值．
15. 如图，在中，．D是边上的一个动点，连接，过点C作于E，连接，在点D变化的过程中，线段的最小值是________．
【答案】##1厘米
【解析】
【分析】由得E在以为直径的圆上，取的中点M，以为直径作圆M，交于点N，连接，交圆M于点，则点E在的上（不含点C、可含点N），从而得到最短时，即为点E位于连接与的交点处，再由勾股定理求出，即可得到结论．
【详解】解：∵，即，
∴E在以为直径的圆上，
如图，取的中点M，以为直径作圆M，交于点N，连接，交圆M于点，
∴点E在的上（不含点C、可含点N），
∴最短时，即为点E位于连接与的交点处，
∵
∴，
在中，，
∴长度的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、勾股定理等知识点，根据题意得出最短时，即为点E位于连接与的交点处是解题的关键．
三、解答题（一）：本大题共四小题，每小题6分，共24分．
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则，结合特殊角的三角函数值以及开立方的知识，计算即可作答．
【详解】
．
【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值，是解答本题的关键．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得出答案，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
当时，原式．
18. 为了了解某学校初三年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初三年级名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统计图（图二）：
根据以上信息回答下列问题：
（1）_______名，阅读3小时的人数为_______名，并补全条形统计图．
（2）若该校共有1800名初三学生，请你估计该校学生课外阅读时间不低于3小时的人数．
【答案】（1）60，20，见解析
（2）1050名
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联、由样本估计总体，正确处理与应用数据是解此题的关键．
（1）先由阅读2小时的人数和扇形圆心角的度数求出的值，从而即可得出阅读3小时的人数，再补全条形统计图即可；
（2）用乘以课外阅读时间不低于3小时的人数所占的比例即可得出答案．
小问1详解】
解：由题意得：（名），
阅读3小时的人数为（名），
补全条形统计图如图所示：
，
故答案为：60，20；
【小问2详解】
解：（人），
若该校共有1800名初三学生，估计该校学生课外阅读时间不低于3小时的人数为名．
19. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在的延长线上，且，连接与交于点，连接．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，先由平行四边形的性质得到，，进而证明，再证明即可利用证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
在和中
，
∴。
四、解答题（二）：本大题共三小题，每小题各7分，共21分．
20. 如图，在中，，作的垂直平分线，直线交于点，连接．以点A为圆心，为半径画弧，交延长线于点E，连接．
（1）使用直尺和圆规完成作图过程（保留作图痕迹）；
（2）若，求的周长；
【答案】（1）见解析 （2）12
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线性质和尺规作图，线段的尺规作图，三线合一定理：
（1）根据线段垂直平分线的尺规作图，线段的尺规作图方法作图即可；
（2）先由线段垂直平分线的性质得到，再由三线合一定理得到，据此根据三角形周长公式求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：由题意得垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴的周长．
21. 如图，已知点处有一个高空探测气球，从点处测得水平地面上两点的俯角分别为和．现测得，求两点之间的距离．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，延长，过点作垂直于延长线，垂足为，设，由可得，求出的值，即可得出答案，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键．
【详解】解：如图所示，延长，过点作垂直于延长线，垂足为，
由题意知，，，
设，
在中，由可得，
解得，
即，
则
答：两点之间的距离是．
22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点C为x轴正半轴上一点，且满足，求点C的坐标．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）先求出A点坐标，再代入反比例函数解析式即可．
（2）根据反比例函数的对称性可求出的长，再由并利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求得的长，进而解决问题．
【小问1详解】
解：∵点在一次函数的图象上，
∴
∴点A的坐标为．
∵反比例函数 的图象经过点，
∴．
∴反比例函数的解析式为．
【小问2详解】
解：过A点作y轴的垂线，垂足为点H，
∵，
则，．
由勾股定理，得,
由图象的对称性，可知．
又∵，
∴．
∴C点的坐标为．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟知反比例函数和一次函数的对称性是解题的关键．
五、解答题（三）：本大题共三小题，每小题各10分，共30分．
23. 实践课上，老师出示了两个长方形，如图1，长方形的两边长分别为，；如图2，长方形的两边长分别为，．（其中m为正整数）
请解答下列问题：
（1）图1中长方形的面积_______；图2中长方形的面积_______；
（2）比较与的大小；
（3）现有一面积为25的正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）1
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用、整式的加减的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握运算法则以及方法是解此题的关键．
（1）根据长方形面积公式结合多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出答案；
（2）计算出，结合为正整数得出，即可得解；
（3）由题意得出正方形的边长为，结合正方形的面积为即可得出关于的方程，求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得：
，，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：，
由于为正整数，
所以，
所以，
即；
【小问3详解】
解：因为图1中长方形的周长为，
所以正方形的边长为；
依题意得，
解得，（不合题意，舍去），
答：的值为1．
24. 如图，矩形中，，点E是上的动点，以为直径的与交于点F，过点F作于点G．
（1）当E是的中点时：的值为______；
（2）在（1）的条件下，证明：是的切线；
（3）试探究：能否与相切？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由，
【答案】（1）
（2）详见解析 （3）能与相切，此时或
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质可得，求出的值即可；
（2）连接，证明，得出，则．证出．可得出，则结论得证；
（3）先假设能与相切，则，即．设的长为，然后用表示出的长，根据勾股定理可得出一个关于的一元二次方程，若能与相切，那么方程的解即为的长；若方程无解，则说明不可能与相切．
【小问1详解】
解：四边形是矩形，
，，，
，
是的中点，
，
．
故答案为：．
【小问2详解】
证明：连接，

在矩形中，，，
又，
，
，
．
，
，
．
．
，
，
是的切线．
【小问3详解】
解：若能与相切，由是的直径，则，．
设，则．
，
，
由勾股定理得：，
即，
整理得，
解得：，，
或9，
当时，，，
当时，，，
能与相切，此时或．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、切线的判定、解直角三角形的应用等知识，熟练掌握切线判定与性质是解题的关键．
25. 已知：关于的函数．

（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）0或2或
（2）①6，②存在，
【解析】
【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出值．
（2）①根据和的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标，从而求出长度，再利用和的坐标点即可求出的直线解析式，结合即可求出点坐标，从而求出长度，最后利用面积法即可求出的面积．
②观察图形，用值表示出点坐标，再根据平行线分线段成比例求出长度，利用割补法表示出和，将二者相减转化成关于的二次函数的顶点式，利用取值范围即可求出的最小值．
【小问1详解】
解：函数的图象与坐标轴有两个公共点，
，
，
，
当函数为一次函数时，，
．
当函数为二次函数时，
，
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与轴，轴分别只有一个交点时，
，
．
当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点，
，
，
．
综上所述，或0．
故答案为：0或2或．
【小问2详解】
解：①如图所示，设直线与交于点，直线与交于点．

依题意得：，解得：
抛物线解析式为：．
点为抛物线顶点时，，，
，，
由，得直线的解析式为，
在直线上，且在直线上，则的横坐标等于的横坐标，
，
，，
，
．
故答案为：6．
②存在最大值，理由如下：
如图，设直线交轴于．
由①得：，，，，，
，
，，
，
，
即，
，，
，
，
，，
当时，有最大值，最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面积问题，平行线分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及二次函数最值问题．
年龄/岁
18
19
20
21
22
人数
3
5
2
1
1