专题09 统计与概率（3题型）（讲练）-2024年中考数学二轮复习讲义（全国通用）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题09 统计与概率
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc163485727" 考点 统计与概率
\l "_Tc163485728" \l "_Tc162276572" \l "_Tc161669186" \l "_Tc160094596" 【真题研析·规律探寻】
\l "_Tc163485729" 题型01 数据统计
\l "_Tc163485730" 题型02 数据分析
\l "_Tc163485731" 题型03 概率
\l "_Tc163485732" \l "_Tc162276583" \l "_Tc161669192" 【核心提炼·查漏补缺】
\l "_Tc163485733" \l "_Tc162276584" \l "_Tc161669193" 【好题必刷·强化落实】
考点一 统计与概率
题型01 数据统计
1．（2023·四川成都·中考真题）文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的师生共有___________人，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数：
(3)该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．
【答案】(1)300，图见解析；
(2)144°；
(3)360人；
【分析】
（1）根据“清洁卫生”的人数除以占比即可得出样本的容量，进而求“文明宣传”的人数，补全统计图；
（2）根据“敬老服务”的占比乘以360°即可求解；
（3）用样本估计总体，用1500乘以80%再乘以“文明宣传”的 比即可求解．
【详解】（1）解：依题意，本次调查的师生共有60÷20%=300人，
∴“文明宣传”的人数为300−60−120−30=90（人）
补全统计图，如图所示，

故答案为：300．
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数为120300×360°=144°，
（3）估计参加“文明宣传”项目的师生人数为1500×80%×90300=360（人）．
【点睛】
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
2．（2023·广西·中考真题）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动.为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格），数据整理如下：
学生成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)写出统计表中a，b，c的值；
(2)若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；
(3)从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．
【答案】(1)a=8，b=80%，c=7.5
(2)510人
(3)用中位数的特征可知七，八年级学生成绩的集中趋势，表示了七，八年级学生成绩数据的中等水平．
【分析】
（1）根据中位数，众数的定义求解即可，根据合格率=合格人数÷总人数即可求得；
（2）根据八年级抽取人数的合格率进行求解即可；
（3）根据中位数和众数的特征进行说明即可．
【详解】（1）根据八年级的成绩分布可得：5分的有3人，6分的有2人，7分的有5人，8分的有4人，9分的有3人，10分的有3人，
故中位数是7+82=7.5，
根据扇形统计图可得：5分的有20×20%=4人，6分的有20×10%=2人，7分的有20×10%=2人，8分的有20×30%=6人，9分的有20×15%=3人，10分的有20×15%=3人，
故众数是8，
合格人数为：2+2+6+3+3=16人，
故合格率为：1620=80%，
故a=8，b=80%，c=7.5．
（2）八年级学生成绩合格的人数为：600×85%=510人，
即若该校八年级有600名学生，该校八年级学生成绩合格的人数有510人．
（3）根据中位数的特征可知七，八年级学生成绩的集中趋势和七，八年级学生成绩数据的中等水平．
【点睛】本题考查了中位数，众数，合格率，用样本估计总体等，熟练掌握中位数和众数的定义是解题关键．
3．（2023·山东济南·中考真题）2023年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲．某社团对30个地区“五一”假期的出游人数进行了调查，获得了它们“五一”假期出游人数（出游人数用m表示，单位：百万）的数据，并对数据进行统计整理．数据分成5组：
A组：1≤m<12；B组：12≤m<23；C组：23≤m<34；D组：34≤m<45；E组：45≤m<56．
下面给出了部分信息：
a．B组的数据：12，13，15，16，17，17，18，20．
b．不完整的“五一”假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如下：

请根据以上信息完成下列问题：
(1)统计图中E组对应扇形的圆心角为____________度；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是___________百万；
(4)各组“五一”假期的平均出游人数如下表：
求这30个地区“五一”假期的平均出游人数．
【答案】(1)36
(2)详见解析
(3)15.5
(4)20百万
【分析】（1）由E组的个数除以总个数，再乘以360°即可；
（2）先用D组所占百分比乘以总个数得出其个数，再用总个数减去A、B、D、E组的个数得出C组个数，最后画图即可；
（3）根据中位数的定义可得出中位数为第15和16个数的平均数，第15和16个数均在B组，求解即可；
（4）根据加权平均数的求解方法计算即可．
【详解】（1）330×360°=36°，
故答案为：36；
（2）D组个数：30×10%=3个，
C组个数：30−12−8−3−3=4个，
补全频数分布直方图如下：

（3）共30个数，中位数为第15和16个数的平均数，第15和16个数均在B组，
∴中位数为15+162=15.5百万，
故答案为：15.5；
（4）5.5×12+16×8+32.5×4+42×3+50×330=20（百万），
答：这30个地区“五一”假期的平均出游人数是20百万．
【点睛】本题考查了扇形统计图和频数分布直方图的相关知识，涉及求扇形所对的圆心角的度数，画频数分布直方图，求中位数，求加权平均数，熟练掌握知识点，并能够从题目中获取信息是解题的关键．
4．（2023·江苏苏州·中考真题）某初中学校为加强劳动教育，开设了劳动技能培训课程．为了解培训效果，学校对七年级320名学生在培训前和培训后各进行一次劳动技能检测，两次检测项目相同，评委依据同一标准进行现场评估，分成“合格”、“良好”、“优秀”3个等级，依次记为2分、6分、8分（比如，某同学检测等级为“优秀”，即得8分）．学校随机抽取32名学生的2次检测等级作为样本，绘制成下面的条形统计图：

(1)这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为________________；（填“合格”、“良好”或“优秀”）
(2)求这32名学生培训后比培训前的平均分提高了多少？
(3)利用样本估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是多少？
【答案】(1)合格
(2)2.5分
(3)240人
【分析】
（1）由32个数据排在最中间是第16个，第17个，这两个数据的平均数即为中位数，从而可得答案；
（2）分别计算培训前与培训后的平均成绩，再作差即可；
（3）利用总人数乘以良好与优秀所占的百分比即可得到答案．
【详解】（1）解：32个数据排在最中间是第16个，第17个，这两个数据的平均数即为中位数，
∴这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为合格；
（2）32名学生在培训前的平均分为：13225×2+5×6+2×8=3（分），
32名学生在培训后的平均分为：1328×2+16×6+8×8=5.5（分），
这32名学生培训后比培训前的平均分提高了5.5−3=2.5（分）；
（3）培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是：
320×16+832=240（人）．
【点睛】本题考查的是频数分布直方图，利用样本估计总体，求解平均数，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键．
5．（2023·湖北襄阳·中考真题）三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A．75≤x＜80，B．80≤x＜85，C．85≤x＜90，D．90≤x＜95，E.95≤x≤100）．
①八年级学生成绩在D组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）：

【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次抽取八年级学生的样本容量是______；
(2)频数分布直方图中，C组的频数是_______；
(3)本次抽取八年级学生成绩的中位数m=_______；
(4)分析两个年级样本数据的对比表，你认为______年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）；
(5)若八年级有400名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生有______人．
【答案】(1)50
(2)13
(3)93
(4)八
(5)该年级成绩不低于95分的学生约有160人；
【分析】（1）根据样本容量是抽取的个数求解即可得到答案；
（2）利用总数减去其它频数即可得到答案；
（3）找到最中间两个数求平均即可得到答案；
（4）根据方差越大波动越大，方差越小波动越小即可得到答案；
（5）利用总人数乘以符合的频率即可得到答案；
【详解】（1）解：∵随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析，
∴本次抽取八年级学生的样本容量是50，
故答案为：50；
（2）解：∵50−4−6−7−20=13，
∴C组的频数是13；
（3）解：∵4+6+13=23<25，4+6+13+7=30>25，
∴中位数落在D组上，
∴25 ，26两个数是：92，94，
∴中位数是：m=92+942=93；
（4）解：∵57.4>49.2，
∴八年级的学生测试成绩较整齐；
（5）解：由题意可得，
400×2050=160（人），
答：该年级成绩不低于95分的学生约有160人；
【点睛】本题考查中位数，方差，样本容量，利用频率估算，解题的关键是熟练掌握几个定义．
题型02 数据分析
1．（2023·北京·中考真题）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，
166，167，168，168，170，172，172，175
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
(1)写出表中m，n的值；
(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；
(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为329．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______．
【答案】(1)m=166，n=165；
(2)甲组
(3)170， 172
【分析】
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；
（3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于329，结合其余学生的身高即可做出选择．
【详解】（1）
解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，
出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数n=165，
16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，
∴中位数m=166+1662=166，
∴m=166，n=165；
（2）解：甲组身高的平均数为15162+165+165+166+166=164.8，
甲组身高的方差为15162−164.82+165−164.82+165−164.82+166−164.82+166−164.82=2.16
乙组身高的平均数为15161+162+164+165+175=165.4，
乙组身高的方差为15161−165.42+162−165.42+164−165.42+165−165.42+175−165.42=25.04，
∵25.04>2.16
∴舞台呈现效果更好的是甲组，
故答案为：甲组；
（3）解：168，168，172的平均数为13168+168+172=16913
∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329，
∴数据的差别较小，数据才稳定，
可供选择的有：170， 172，
且选择170， 172时，平均数会增大，
故答案为：170， 172．
【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义：方差越小数据越稳定是解题的关键．
2．（2023·安徽·中考真题）端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如下：

八年级10名学生活动成绩统计表
已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是______________，七年级活动成绩的众数为______________分；
(2)a=______________，b=______________；
(3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
【答案】(1)1,8
(2)2，3
(3)优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由见解析
【分析】
（1）根据扇形统计图得出七年级活动成绩为7分的学生数的占比为10%，即可得出七年级活动成绩为7分的学生数，根据扇形统计图结合众数的定义，即可求解；
（2）根据中位数的定义，得出第5名学生为8分，第6名学生为9分，进而求得a，b的值，即可求解；
（3）分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩，即可求解．
【详解】（1）解：根据扇形统计图，七年级活动成绩为7分的学生数的占比为1−50%−20%−20%=10%
∴样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是10×10%=1，
根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为8分，
故答案为：1,8．
（2）∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
∴第5名学生为8分，第6名学生为9分，
∴a=5−1−2=2，
b=10−1−2−2−2=3，
故答案为：2，3．
（3）优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下，
七年级优秀率为20%+20%=40%，平均成绩为：7×10%+8×50%+9×20%+10×20%=8.5，
八年级优秀率为3+210×100%=50% >40%，平均成绩为：110×6+7×2+2×8+3×9+2×10=8.3 <8.5，
∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高，
∴优秀率高的年级不是平均成绩也高
【点睛】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，求一组数据的平均数，从统计图表获取信息是解题的关键．
3．（2023·河南·中考真题）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a．配送速度得分（满分10分）：
甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10
乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
b．服务质量得分统计图（满分10分）：

c．配送速度和服务质量得分统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的m=______；s甲2______s乙2（填“>”“=”或“<”）．
(2)综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由．
(3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？
【答案】(1)7.5；<
(2)甲公司，理由见解析
(3)还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可）
【分析】（1）根据中位数和方差的概念求解即可；
（2）通过比较平均数，中位数和方差求解即可；
（3）根据题意求解即可．
【详解】（1）由题意可得，m=7+82=7.5，
s甲2=110×3×7−72+4×8−72+2×6−72+5−72=1
s乙2=110×4−72+8−72+2×10−72+2×6−72+9−72+2×5−72+7−72=4.2，
∴s甲2故答案为：7.5；<；
（2）∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，
服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴小丽应选择甲公司；
（3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可）
【点睛】本题考查中位数、平均数、方差的定义，掌握中位数、平均数、方差的定义是解题的关键．
4．（2023·山西·中考真题）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4∶4∶2的比例计算出每人的总评成绩．

小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图
(1)在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分；
(2)请你计算小涵的总评成绩；
(3)学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
【答案】(1)69，69，70
(2)82分
(3)小涵能入选，小悦不一定能入选，见解析
【分析】（1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，算出平均数．
（2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4∶4∶2的比例计算出的总评成绩即可．
（3）小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选．
【详解】（1）从小到大排序，
67，68，69，69，71，72， 74，
∴中位数是69，
众数是69，
平均数：67+68+69+69+71+72+747=70
69，69，70
（2）
解：x=86×4+84×4+70×24+4+2 =82（分）．
答：小涵的总评成绩为82分．
（3）
结论：小涵能入选，小悦不一定能入选
理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选．
【点睛】此题考查了中位数、众数、平均数，解题的关键是熟悉相关概念．
5．（2023·广东深圳·中考真题）为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人，其调查结果如下：

如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图回答下面的问题：
①调查总人数a=______人；
②请补充条形统计图；
③若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？
④改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下：
若以1:1:1:1进行考核，______小区满意度（分数）更高；
若以1:1:2:1进行考核，______小区满意度（分数）更高．
【答案】①100；②见解析；③愿意改造“娱乐设施”的约有3万人；④乙；甲．
【分析】①根据健身的人数和所占的百分比即可求出总人数；
②用总数减去其他3项的人数即可求出娱乐的人数；
③根据样本估计总体的方法求解即可；
④根据加权平均数的计算方法求解即可．
【详解】①a=40÷40%=100（人），
调查总人数a=100人；
故答案为：100；
②100−17−13−40=30（人）
∴娱乐的人数为30（人）
∴补充条形统计图如下：

③100000×30100×100%=30000（人）
∴愿意改造“娱乐设施”的约有3万人；
④若以1:1:1:1进行考核，
甲小区得分为14×7+7+9+8=7.75，
乙小区得分为14×8+8+7+9=8，
∴若以1:1:1:1进行考核，乙小区满意度（分数）更高；
若以1:1:2:1进行考核，
甲小区得分为7×15+7×15+9×25+8×15=8，
乙小区得分为8×15+8×15+7×25+9×15=7.8，
∴若以1:1:2:1进行考核，甲小区满意度（分数）更高；
故答案为：乙；甲．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，加权平均数，样本估计总体等知识，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键．
6．（2023·江苏扬州·中考真题）某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息：

根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：m=________，n=________；
(2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为S12、S22，请判断S12___________S22（填“>”“<”或“=”）；
(3)从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好．
【答案】(1)80,86
(2)>
(3)见解析
【分析】
（1）找到七年级学生的10个数据中出现次数最多的即为m的值，将八年级的10个数据进行排序，第5和第6个数据的平均数即为n的值；
（2）根据折线统计图得到七年级的数据波动较大，根据方差的意义，进行判断即可；
（3）利用平均数和中位数作决策即可．
【详解】（1）解：七年级的10个数据中，出现次数最多的是：80，
∴m=80；
将八年级的10个数据进行排序：76,77,85,85,85,87,87,88,88,97；
∴n=1285+87=86；
故答案为：80,86；
（2）由折线统计图可知：七年级的成绩波动程度较大，
∵方差越小，数据越稳定，
∴S12>S22；
故答案为：>．
（3）七年级和八年级的平均成绩相同，但是七年级的中位数比八年级的大，所以七年级参赛学生的成绩较好．
【点睛】本题考查数据的分析．熟练掌握众数，中位数的确定方法，利用中位数作决策，是解题的关键．
7．（2023·山东潍坊·中考真题）某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．
【数据的收集与整理】
分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表．
【数据的描述与分析】
（1）求扇形统计图中圆心角α的度数，并补全频数直方图．

（2）根据频数分布表分别计算有关统计量：
直接写出表格中m、n的值，并求出x．
【数据的应用与评价】
（3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价．
【答案】（1）α=72°，见解析；（2）m=3.5，n=4，x=3；（3）见解析
【分析】
（1）利用360°乘以七年级学生投稿2篇的学生所占百分比即可得α的值；根据八年级学生的投稿篇数的频数分布表补全频数直方图即可；
（2）根据中位数和众数的定义、加权平均数公式即可得；
（3）从中位数、众数、平均数、方差的意义进行分析即可得．
【详解】解：（1）两个年级随机抽取的学生数量为7+10+15+12+6=50（人），
则α=360°×1050×100%=72°．
补全频数直方图如下：

（2）x=1×7+2×10+3×15+4×12+5×650=3，
将八年级学生的投稿篇数按从小到大进行排序后，第25个数和第26个数的平均数即为其中位数，
∵2+10+13=25，2+10+13+21=46，
∴中位数m=3+42=3.5，
∵在八年级学生的投稿篇数中，投稿篇数4出现的次数最多，
∴众数n=4．
（3）从中位数、众数、平均数来看，八年级学生的均高于七年级学生的，而且从方差来看，八年级学生的小于七年级学生的，所以八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好．
【点睛】本题考查了扇形统计图、频数分布表、频数分布直方图、中位数、众数、平均数、方差，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
8．（2023·浙江嘉兴·中考真题）小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车．在爸爸的预算范围内，小明收集了A，B，C三款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下：

(1)数据分析：
①求B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数；
②若将车辆的外观造型，舒适程度、操控性能，售后服务等四项评分数据按2:3:3:2的比例统计，求A款新能原汽车四项评分数据的平均数．
(2)合理建议：
请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量，以此为依据建议小明的爸爸购买哪款汽车？说说你的理由．
【答案】(1)①3015辆，②68.3分
(2)选B款，理由见解析
【分析】（1）①根据中位数的概念求解即可；
②根据加权平均数的计算方法求解即可；
（2）根据加权平均数的意义求解即可．
【详解】（1）①由中位数的概念可得，
B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数为3015辆；
②x1=72×2+70×3+67×3+64×22+3+3+2=68.3分．
∴A款新能原汽车四项评分数据的平均数为68.3分；
（2）给出1:2:1:2的权重时，
xA=72×1+70×2+67×1+64×21+2+1+2≈67.8（分），
xB=70×1+71×2+70×1+68×21+2+1+2≈69.7（分），
xC=75×1+65×2+67×1+61×21+2+1+2≈65.7（分），
结合2023年3月的销售量，
∴可以选B款．
【点睛】此题考查了中位数和加权平均数，以及利用加权平均数做决策，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
9．（2023·江西·中考真题）为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．
整理描述
初中学生视力情况统计表
高中学生视力情况统计图

(1)m=_______，n=_______；
(2)被调查的高中学生视力情况的样本容量为_______；
(3)分析处理：①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由：
②约定：视力未达到1.0为视力不良．若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议．
【答案】(1)68；23%；
(2)320；
(3)①小胡的说法合理，选择中位数，理由见解析；②14300人，合理化建议见解析，合理即可．
【分析】（1）由总人数乘以视力为1.0的百分比可得m的值，再由视力1．1及以上的人数除以总人数可得n的值；
（2）由条形统计图中各数据之和可得答案；
（3）①选择视力的中位数进行比较即可得到小胡说法合理；②由中学生总人数乘以样本中视力不良的百分比即可，根据自身体会提出合理化建议即可．
【详解】（1）解：由题意可得：初中样本总人数为：200人，
∴m=34%×200=68（人），n=46÷200=23%；
（2）由题意可得：14+44+60+82+65+55=320，
∴被调查的高中学生视力情况的样本容量为320；
（3）①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”
小胡的说法合理；
初中学生视力的中位数为第100个与第101个数据的平均数，落在视力为1.0这一组，
而高中学生视力的中位数为第160个与第161个数据的平均数，落在视力为0.9的这一组，
而1.0>0.9，
∴小胡的说法合理．
②由题意可得：26000×8+16+28+34+14+44+60+82200+320=14300（人），
∴该区有26000名中学生，估计该区有14300名中学生视力不良；
合理化建议为：学校可以多开展用眼知识的普及，规定时刻做眼保健操．
【点睛】本题考查的是从频数分布表与频数分布直方图中获取信息，中位数的含义，利用样本估计总体，理解题意，确定合适的统计量解决问题是解本题的关键．
题型03 概率
1．（2023·四川成都·中考真题）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（ ）
A．12B．13C．14D．16
【答案】B
【分析】根据概率公式求解即可．
【详解】解：由题意，随机抽取一张，共有6种等可能的结果，其中恰好抽中水果类卡片的有2种，
∴小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是26=13，
故选：B．
【点睛】本题考查求简单事件的概率，关键是熟知求概率公式：所求情况数与总情况数之比．
2．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ）

A．14B．13C．12D．34
【答案】C
【分析】
根据灰色区域与整个面积的比即可求解．
【详解】解：∵转盘中四个扇形的面积都相等，设整个圆的面积为1，
∴灰色区域的面积为12,
∴当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是12，
故选：C．
【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
3．（2023·山西·中考真题）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 ．

【答案】16
【分析】
用树状图把所有情况列出来，即可求出．
【详解】
总共有12种组合，
《论语》和《大学》的概率212=16，
故答案为：16．
【点睛】此题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式．
4．（2023·山东济南·中考真题）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是14，则盒子中棋子的总个数是 ．
【答案】12
【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的数量除以对应概率，即可算出棋子的总数．
【详解】解：3÷14=12，
∴盒子中棋子的总个数是12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了简单随机事件概率的相关计算，事件出现的概率等于出现的情况数与总情况数之比．
5．（2023·福建·中考真题）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；
(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由
【答案】(1)14
(2)应往袋中加入黄球，见解析
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）根据列表法求分别求得加入黄球和红球的概率即可求解．
【详解】（1）解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．
记“首次摸得红球”为事件A，则事件A发生的结果只有1种，
所以PA=14，所以顾客首次摸球中奖的概率为14．
（2）他应往袋中加入黄球．
理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
共有20种等可能结果．
（ⅰ）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率P1=820=25；
（ⅱ）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率P2=1220=35；
因为25<35，所以P1【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识、创新意识等，考查统计与概率思想、模型观念，熟练掌握概率公式是解题的关键．
6．（2023·云南·中考真题）甲、乙两名同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，各自随机选择种植辣椒、种植茄子、种植西红柿三种中的一种．记种植辣椒为A，种植茄子为B，种植西红柿为C，假设这两名同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求x,y所有可能出现的结果总数；
(2)求甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率P．
【答案】(1)9
(2)13
【分析】
（1）根据题意列出树状图，即可得到答案；
（2）根据（1）列出的情况，找到甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的情况，得出概率．
【详解】（1）解：由题意得：

共有9种情况，分别是：A,A、A,B、A,C、B,A、B,B、B,C、C,A、C,B、C,C．
（2）解：由（1）得
其中甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的情况有A,A、B,B、C,C，共3种，
P=39=13，
∴甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率为13
【点睛】本题考查了树状图法求概率的问题，解题的关键是画出树状图．
7．（2023·广东广州·中考真题）甲、乙两位同学相约打乒乓球．
(1)有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
(2)双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
【答案】(1)14
(2)公平．理由见解析
【分析】（1）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，再用乙选中球拍C的结果数除以总的结果数即可；
（2）分别求出甲先发球和乙先发球的概率，再比较大小，如果概率相同则公平，否则不公平．
【详解】（1）解：画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，
∴乙选中球拍C的概率=312=14；
（2）解：公平．理由如下：
画树状图如下：
一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，
∴甲先发球的概率=24=12，
乙先发球的概率=4−24=12，
∵12=12，
∴这个约定公平．
【点睛】本题考查列表法或画树状图法求等可能事件的概率，游戏的公平性，掌握列表法或画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
8．（2023·辽宁丹东·中考真题）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
(1)这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的m=______；
(2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；
(3)该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人；
(4)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
【答案】(1)50，7
(2)条形统计图见解析，108°
(3)该校学生答题成绩为A等和B等共有672人
(4)16
【分析】（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值；
（2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数；
（3）用全校人数乘以成绩为A等级和B等级人数所占百分比，即可求解；
（4）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：16÷32%=50（人），
m=50×14%=7，
故答案为：50，7；
（2）解：成绩为C等级人数所占百分比：1−24%−32%−14%=30%，
∴C等级所在扇形圆心角的度数：360°×30%=108°，
成绩为A等级的人数：50×24%=12（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：1200×24%+32%=672（人），
答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人；
（4）解：根据题意，列出表格如下：
由表可知，一共有12种情况，抽出的两名学生恰好是甲和丁的有2种情况，
∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率=212=16．
【点睛】题目主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键．
9．（2023·山东烟台·中考真题）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．

(1)请将条形统计图补充完整；
(2)在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有_________人；
(3)甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
【答案】(1)见解析
(2)14.4°；200．
(3)13
【分析】（1）根据C的人数除以占比得到总人数，进而求得B的人数，补全统计图即可求解；
（2）根据D的占比乘以360°得到圆心角的度数，根据1000乘以选择A的人数的占比即可求解；
（3）根据列表法求概率即可求解．
【详解】（1）解：总人数为14÷28%=50（人）
∴选择B大学的人数为50−10−14−2−8=16，补全统计图如图所示，

（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为250×360°=14.4°，
选择A大学的大约有1000×1050=200（人）
故答案为：14.4°；200．
（3）列表如下，
共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，
∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为13．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
10．（2023·山东日照·中考真题）2023年3月22日至28日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量xm3分为5组，第一组：5≤x<7，第二组：7≤x<9，第三组：9≤x<11，第四组：11≤x<13，第五组：13≤x<15，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：
信息一：
信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：
信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)a=__________；
(2)在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为b1，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为b2，比较b1，b2大小，并说明理由；
(3)若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于13m3的总户数；
(4)因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．
【答案】(1)9.1
(2)b2>b1，理由见解析
(3)90户
(4)38
【分析】
（1）根据中位数的定义进行计算即可；
（2）根据题意分别求出3月份用水量低于平均数的户数，再计算进行比较即可；
（3）用总户数乘以不低于13m3所占的比例即可求解；
（4）画树状图，共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵随机抽取了30户居民，
故中位数是数据从小到大排列的第15个和第16个的平均数；
根据条形统计图可知：用水量在5≤x<7的有3户，用水量在7≤x<9的有11户，用水量在9≤x<11的有10户，用水量在11≤x<13的有4户，用水量在13≤x<15的有2户，故中位数是在第三组中，且是第三组中第1个和第2个的平均数，
∵乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6．
∴乙小区3月份用水量的中位数是9+9.22=9.1；
故答案为：9.1．
（2）解：在甲小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.0；
低于本小区平均用水量的户数为4+9=13（户），
故在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为1330≈43.3%，即b1=43.3%；
在乙小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.1；
低于本小区平均用水量的户数为3+11+1=15（户），
故在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为1530=50%，即b2=50%；
∵50%>43.3%，
故b2>b1．
（3）解：甲小区3月份用水量不低于13m3的总户数为600×230=40（户），
乙小区3月份用水量不低于13m3的总户数为750×230=50（户），
40+50=90（户）
即两个小区3月份用水量不低于13m3的总户数有90户．
（4）解：画树状图如图：

共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有6种，
∴抽取的两名同学都是男生的概率为616=38．
【点睛】本题考查了用树状图法求概率，中位数，条形统计图，用样本估计总体等，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
1．（2023·云南昆明·模拟预测）2022年10月12日下午，神舟十四号乘组航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进行了“天宫课堂”第三次太空授课，这也是中国航天员首次在问天实验舱内进行授课．微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验、太空趣味饮水、会调头的扳手、植物生长研究项目介绍……某校有2000名学生，一同收看了这场来自400公里之上的奇妙科学课，并参加了关于“你最喜爱的一项太空实验”的问卷调查，从中抽取300名学生的调查情况进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．2000名学生是总体B．300名学生是样本
C．样本容量是300D．每一名学生是个体
【答案】C
【分析】此题考查了样本及样本容量、总体、个体等知识， 根据相关的定义进行判断即可．
【详解】解：A．2000名学生的调查情况是总体，故选项错误，不符合题意；
B．300名学生的调查情况是样本，故选项错误，不符合题意；
C样本容量是300，故选项正确，符合题意；
D．每一名学生的调查情况是个体，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
2．（2023·四川巴中·二模）某班50名学生一周阅读课外书籍的时间如表所示：
该班50名学生一周阅读课外书籍的时间中，下列描述正确的是（ ）
A．平均数是7.3B．中位数是7.5C．众数是18D．极差是1
【答案】B
【分析】本题考查平均数，中位数，众数，极差等统计概念，结合表格数据，根据平均数，中位数，众数，极差等统计概念进行判断即可解答。
【详解】解：A选项：平均数x=6×7+7×8+8×15+9×1050=7.56，故本选项的描述错误；
B选项：将50个数据从小到大排序后，处于中间位置的第25、26个数据是7，8，故中位数为7+82=7.5，故本选项的描述正确；
C选项：这50位学生阅读课外书籍的时间在7h的人数最多，故众数是7，故本选项的描述错误；
D选项：这50个数据中最小值是6，最大值是9，极差为9−6=3，故本选项的描述错误。
故选：B
3．（19-20八年级下·陕西延安·期末）下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩（单位：cm）的平均数和方差．要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】本题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【详解】解：∵乙和丁的平均数最大，
∴从乙和丁中选择一人参加比赛，
∵乙的方差最小，
∴选择乙参赛．
故选：B．
4．（2023·山东烟台·模拟预测）一株杂合的红花豌豆自花传粉共结出10粒种子，有9粒种子长成的植株开红花，则第10粒种子长成的植株开红花的可能性是（ ）
A．910B．34C．12D．14
【答案】B
【分析】本题考查基因分离定律与概率问题，由于一株杂合的红花，所以红花属于显性性状，白花（非红花）属于隐性性状，假设决定红花的基因为A，决定白花（非红花）的基因为a，进行解答试题，本题考查画树状图解决概率问题，运用所学知识综合分析问题的能力．
【详解】解：假设基因A为显性，基因a为隐性，一株杂合的红花豌豆的基因组成是Aa，遗传图解如图所示：
由于仅仅10粒种子，后代数目太少，所以不一定符合3:1的分离比，所以从遗传图解看出第10粒种子长成的植株开红花的可能性是34，
故选：B．
5．（2023·甘肃武威·模拟预测）某地积极践行生态绿色发展理念，空气质量状况大大改善．如图是该地在2023年4月空气质量等级统计图，则下列说法错误的是（ ）
A．空气质量等级的众数为良
B．污染程度为轻度及以上的天数占比20%
C．空气质量优、良等级的比例达到三分之二
D．若要制扇形统计图，轻微污染所占的扇形圆心角的度数为60°
【答案】D
【分析】本题考查了频数分布直方图、众数、求圆心角度数，根据频数分布直方图可得一共统计了30天的数据，其中空气质量等级为良出现的次数最多，即可判断A；求出污染程度为轻度及以上的天数占比即可判断B；求出空气质量优、良等级的比例即可判断C；求出轻微污染所占的扇形圆心角的度数即可判断D．
【详解】解：A、空气质量等级为良出现的次数最多，为13次，故空气质量等级的众数为良，故A正确，不符合题意；
B、污染程度为轻度及以上的天数占比=4+27+13+4+4+2×100%=20%，故B正确，不符合题意；
C、空气质量优、良等级的比例=7+137+13+4+4+2=2030=23，故C正确，不符合题意；
D、若要制扇形统计图，轻微污染所占的扇形圆心角的度数=47+13+4+4+2×100%×360°=48°，故D错误，符合题意；
故选：D．
6．（2023·河南郑州·三模）“双减”政策实施后，某校展开了丰富的课外活动，A，B，C，D，分别代表“书法”“绘画”“器乐”“体育”等课外活动，要求每名学生必选且只选一种活动参加，该校八年级学生选择情况如下表及如图所示的扇形能计图：
下列选项错误的是（ ）
A．八年级共500人B．a=150
C．“扇形D”的圆心角是50°D．“C”所占的百分比是20%
【答案】C
【分析】本题考查了扇形统计图，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
用B类的人数除以35%可得总人数，用总人数乘30%可得a的值，用360°乘D类所占比例可得“扇形D”的圆心角的度数，用C类的人数除以总人数可得“C”所占的百分比．
【详解】解：八年级共：173÷35%=500(人)，故选项A不符合题意；
a=500×30%=150，故选项B不符合题意；
“扇形D”的圆心角是：360°×500−175−100−150500=54°，故选项C符合题意；
“C”所占的百分比是100500×100%=20%，故选项D不符合题意．
故选：C．
7．（2023·浙江杭州·二模）分析一组数据时，圆圆列出了方差的计算公式S2=1−x2+2−x2+3−x2+4−x2n，由公式提供的信息，可得出n的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式．
根据方差的定义求解即可得出答案．
【详解】解：由公式知，这组数据为1、2、3、4，
所以n=4，
故选：D．
8．（2023·河南新乡·一模）如图，A，B，C，D是电路图中的四个接线柱，闭合开关后，灯泡不发光．小明同学用一根完好导线的两端随机触连A，B，C，D中的两个接线柱，若电流表有示数或灯泡发光，说明两个接线柱之间的电路元件存在故障．已知灯泡存在断路故障，其他元件完好，则小明触连一次找到故障（用导线触连接线柱BC）的概率为（ ）
A．12B．13C．14D．16
【答案】D
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：根据题意列出表格如下：
由表可知，一共有12种情况，小明触连一次找到故障的有2种情况，
∴小明触连一次找到故障的概率=212=16，
故选：D．
9．（2023·河南·模拟预测）如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A；B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为1时，甲获胜；数字之和为2时，乙获胜（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）．则某一次游戏甲获胜的概率为 ．

【答案】14
【分析】本题主要考查了用列表法或者树状图求概率，先根据题意列出表格，根据表格信息之间用概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
如列表，共有12种等可能得结果，和为1的结果有3种，
∴则某一次游戏甲获胜的概率为312=14，
故答案为∶14．
10．（2023·宁夏银川·模拟预测）对于平面内任意一个四边形ABCD，已知AB∥CD，现从以下四个关系式：①AB=CD，②AD=BC，③AD∥BC，④∠A=∠C中任取一个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是 ．
【答案】34
【分析】本题考查了概率公式的应用，平行四边形的判定；
从四个条件中选一个共有4种可能，根据平行四边形的判定判断出符合题意的情况数，然后根据概率公式可得答案．
【详解】解：从四个条件中选一个共有4种可能，
选择①，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；
选择②，不能判定四边形ABCD是平行四边形；
选择③，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；
选择④，如图，AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠B+∠A=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
综上，选择①、③和④可以得出四边形ABCD是平行四边形，所以其概率为34，
故答案为：34．
11．（2023·山东德州·模拟预测）在数据处理过程中，会用到一种百分位数法，百分位数是一类统计量．如果把一组数据从小到大排序，用m50表示中位数，称为第50百分位数，那么中位数把这组数据分为两部分，分别记为S和T；进一步，用m25和m75分别表示S和T的中位数，那么，所有数据中小于或等于m25的占25%、小于或等于m75的占75%．这样，m25，m50，m75这三个数值把所有数据分为个数相等的四个部分，因此，称为四分位数．请求出以下这组数据4.77，3.98，6.44，4.98，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10的m25= ，m50= ，m75= ．
【答案】 3.195 3.915 4.44
【分析】
本题主要考查中位数的计算，掌握中位数的计算方法是解题的关键．
根据一组数有偶数个，则中位数为中间两个数的平均数；一组数据有奇数个，则中位数为这组数据中间的那个数；由此即可求解．
【详解】解：将数据排序为：2.02，2.15，3.18，3.21，3.64，3.85，3.98，4.10，4.11，4.77，4.98，6.44，
∴m50=3.85+3.982=3.915，
∴S组数据为：2.02，2.15，3.18，3.21，3.64，3.85，
∴m25=3.18+3.212=3.195，
T组数据为：3.98，4.10，4.11，4.77，4.98，6.44，
∴m75=4.11+4.772=4.44，
故答案为：3.195，3.915，4.44．
12．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知三个实数x、y、z中，x与y的平均数是127，y与z的和的13是78，x与z的和的14是52，则这三个数x、y、z的平均数是 ．
【答案】116
【分析】
本题考查了三元一次方程组的应用，求平均数，正确解三元一次方程组是解题关键．根据题意列三元一次方程求出x、y、z的值，再求平均数即可．
【详解】解：由题意得：x+y2=127y+z3=78x+z4=52，即x+y=254y+z=234x+z=208，
解得：x=114y=140z=94，
∴x、y、z的平均数是114+140+943=116，
故答案为：116．
13．（2023·吉林长春·模拟预测）“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A.指南针、B，造纸术、C，火药和D.印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上进匀放好．
(1)小强从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“印刷术”的概率为______ ；
(2)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“印刷术”的概率．
【答案】(1)14
(2)16
【分析】本题考查树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）画出树状图，利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：∵有A.指南针、B.造纸术、C.火药和D.印刷术四张卡片，
∴小强从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“印刷术”的概率为14．
故答案为：14．
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“A.指南针”和“D.印刷术”的结果有2种，
∴两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“印刷术”的概率为212=16．
14．（2023·吉林长春·模拟预测）我国新能源汽车近几年来高速发展，连续多年位居全球第一．2022年新能源汽车销量持续爆发式增长，达到668.0万辆，同比增长93%．如图是我国2017年到2022年新能源汽车销量及增长率的统计图．

根据以上信息回答下列问题：
(1)我国2017年到2022年，新能源汽车销量增长率的中位数为______ ；
(2)我国2017年到2022年，新能源汽车销量增加最多的是______ 年，增长了______ 万辆；
(3)对于2017−2022年新能源汽车销量及增长率，下列说法中正确结论的序号是______ ．
①2017−2022年新能源汽车销量逐年增加；
②2021年新能源汽车的量增长率最高，所以2021年新能深汽车销量的增长量最多；
③2021年新能源汽车的量增长率比2022年的新能源汽车销量增长率高，表明2021年新能源汽车销量增长量比2022年的新能源汽车销量增长量多；
④通过统计数据可以看出我国近两年新能源汽车的量徒增，新能源汽车逐渐受到广大汽车消费者的青睐．
【答案】(1)57.5%
(2)2022，321.9
(3)④
【分析】本题主要考查了折线统计图，中位数，正确读懂统计图是解题的关键．
（1）根据中位数的定义解答即可；
（2）根据折线统计图的信息进行求解即可；
（3）根据折线统计图所给的信息进行求解即可．
【详解】（1）解：把我国2017年到2022年新能源汽车销量增长率从小到大排列，排在中间的两个数是53%，62%，
故我国2017年到2022年，新能源汽车销量增长率的中位数为53%+62%2=57.5%；
故答案为：57.5%；
（2）解：由题意可知，我国2017年到2022年，新能源汽车销量增加最多的是2022年，增长了：668.0−346.1=321.9(万辆)，
故答案为：2022，321.9；
（3）解：①2017-2022年新能源汽车销量逐年增加，说法错误，2019年出现负增长；
②2021年新能源汽车的量增长率最高，所以2021年新能深汽车销量的增长量最多，说法错误，2021到2022持续增长，故2022比2021的增长量更大；
③2021年新能源汽车的量增长率比2022年的新能源汽车销量增长率高，表明2021年新能源汽车销量增长量比2022年的新能源汽车销量增长量多，说法错误，2021到2022持续增长，故2022比2021的增长量更大；
④通过统计数据可以看出我国近两年新能源汽车的量徒增，新能源汽车逐渐受到广大汽车消费者的青睐，说法正确．
故答案为：④．
15．（2023·山东东营·模拟预测）某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程(依次用A，B，C，D表示)，为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动(必选且只选一种)”的问卷调查.并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

(1)参加问卷调查的学生共有 人；扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为 °；估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为 人.并补全条形统计图．
(2)现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率．
【答案】(1)240，36，300；
(2)16．
【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率，正确读懂统计图是解题的关键．
（1）用最喜欢B活动的人数除以占比即可得到总人数，用360度乘以喜欢D活动的占比即可得到最喜欢D活动的圆心角度数；然后求出最喜欢C活动的占比即可估计总体喜欢C活动的人数；
（2）列出树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到恰好选中甲和丁的结果数，依据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得参加调查的人数为：84÷35%=240（人），
∴扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为360°×24240=36°，
∴参与调查最喜欢C活动的占比=1−25%−35%−24240×100%=30%，
∴估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为1000×305=300人，
故答案为：240；36；300；
（2）解：列树状图如下所示，
由树状图可知一共有12等可能性的结果数，其中正好选中甲和丁的结果数有2种，
∴P（恰好选中甲和丁）=212=16

16．（2023·重庆九龙坡·模拟预测）第24届冬季奥林匹克运动会已于2022年2月4日至2月20日在中国北京和张家口市联合举行．为了解学生对冬奥会冰雪项目的认识程度，某校体育组老师从该校九年级学生中随机抽取了甲，乙两组各20名学生对冰雪项目的知识进行测试，获得了他们的测试成绩（百分制，最低分50分，最高分100分），分成A：50≤x<60，B：60≤x<70，C：70≤x<80，D：80≤x<90，E：90≤x≤100五个等级，并对数据（测试成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲组成绩扇形统计图和乙组成绩条形统计图如下：
b．乙组测试成绩在70≤x<80这一组的是：78 75 73 71 70 70 70．
c．甲组和乙组测试成绩的平均数、中位数、众数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)图中m=______，表中n=______，并补全条形图；
(2)根据以上数据，你认为抽查的两个组中哪个组的成绩较好，试说明理由（写出一条理由即可）；
(3)已知该校九年级共有1200名学生，都参加了此次测试，估计测试成绩不低于80分的人数．
【答案】(1)10，74，见解析
(2)见解析
(3)480人
【分析】本题考查扇形统计图及条形统计图，中位数，样本百分比估计总体百分比，解题关键是根据所给表格得出解题所需的数据，并且熟练掌握中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
（1）甲组中，用1减去各部分的百分比即可求解吗，乙组有20个数据，中位数是排序后第10个和第11个数据的平均值，由此可求出中位数；
（2）根据甲乙两组的平均数相同，中位数大的成绩较好，即可得出答案；
（3）根据用1200乘以甲乙两组中不低于80分的人数所占样本总数的百分比，即可求得答案．
【详解】（1）解：由题可知，m%=1−5%−5%−50%−30%=10%，
∴m=10，
乙组的中位数为：75+732=74，
故答案为：10，74；
（2）解：根据以上数据，甲乙两组的平均数都是75，甲组中位数76分，乙组中位数为74，甲组中位数大于乙组中位数，
所以甲组成绩更好；
（3）解： 1200×20×10%+20×30%+20−2−3−720+20=480（人）．考点要求
命题预测
统计与概率
概率与统计是中考数学中的必考考点，虽然难度不大，但是分值占比较大。题型方面则是选择、填空题、解答题都有。并且，由于其特有的计算类型，易错点也比较的统一，所以需要考生在审题和计算上要特别留心。整体来说，这个考点的考题属于中考中的中低档考题，而越是容易拿分越要细心练习，否则,此类问题上一失分，压轴题都作对都不一定能抵消别人的超越。
分类
概念
注意事项
总体
所要调查对象的全体对象叫做总体.
考察一个班学生的身高，那么总体就是指这个班学生身高的全体，不能错误地理解为学生的全体为总体.
个体
总体中的每一个考察对象叫做个体.
总体包括所有的个体.
样本
从总体中抽取的部分个体叫做样本.
样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，样本能够在一定程度上反映总体.
样本容量
样本中个体的数目称为样本容量.（无单位）
一般地,样本容量越大，通过样本对总体的估计越精确.
平均数
定义：一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么x = n个数的和 数的个数 =x1+x2+⋅⋅⋅+xnn，读作“x拔”.
优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数.
缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响.
加权平均数
定义：若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则x1w1+x2w2+⋅⋅⋅+xnwnw1+w2+⋅⋅⋅+wn，叫做这n个数的加
权平均数.
【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数.
中位数
定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫
做这组数据的中位数.
优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,一般用中位数来
描述数据的集中趋势.
缺点：不能充分地利用各数据的信息.
众数
定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数.
优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复
出现时，众数往往更能反映问题.
缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义.
方差
定义：在一组数据x1，x2，…，xn中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是：s2=1n[x1−x2+x2−x2+...+xn−x2].
意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小.
极差
定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差.
【注意】极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时，极差往往不能反映全体数据的实际波动情况.
标准差
定义：方差的算术平方根,即s=[x1−x2+x2−x2+...+xn−x2n
【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小.
七年级
八年级
平均数
7.55
7.55
中位数
8
c
众数
a
7
合格率
b
85%
组别
A1≤m<12
B12≤m<23
C23≤m<34
D34≤m<45
E45≤m<56
平均出游人数（百万）
5.5
16
32.5
42
50
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
92
100
57.4
八年级
92.6
m
100
49.2
平均数
中位数
众数
166.75
m
n
甲组学生的身高
162
165
165
166
166
乙组学生的身高
161
162
164
165
175
成绩/分
6
7
8
9
10
人数
1
2
a
b
2
项目
统计量
快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
方差
甲
7.8
m
7
s甲2
乙
8
8
7
s乙2
选手
测试成绩/分
总评成绩/分
采访
写作
摄影
小悦
83
72
80
78
小涵
86
84
▲
▲
项目
小区
休闲
儿童
娱乐
健身
甲
7
7
9
8
乙
8
8
7
9
平均数
众数
中位数
七年级参赛学生成绩
85.5
m
87
八年级参赛学生成绩
85.5
85
n
投稿篇数（篇）
1
2
3
4
5
七年级频数（人）
7
10
15
12
6
八年级频数（人）
2
10
13
21
4
统计量
中位数
众数
平均数
方差
七年级
3
3
x
1.48
八年级
m
n
3.3
1.01
视力
人数
百分比
0.6及以下
8
4%
0.7
16
8%
0.8
28
14%
0.9
34
17%
1.0
m
34%
1.1及以上
46
n
合计
200
100%
公式法
P（A）= mn，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．
列举法
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法.
【注意事项】
1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏.
2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个 ②每个结果出现的可能性相等.
3）所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
画树状图法
当事件中涉及两个以上的因素时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法.
画树状图法求概率的步骤：
1) 明确试验由几个步骤组成；
2) 画树状图分步列举出试验的所有等可能结果；
3) 根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结果数，再利用概率公式求解.
列表法
当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法.
列表法求概率的步骤：
1）列表，并将所有可能结果有规律地填人表格；
2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值；
3）利用概率公式PA=mn，计算出事件的概率．
用频率估计概率的方法
通过大量重复试验，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 因此可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率.
适用范围：当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
第二球
第一球
红
黄①
黄②
黄③
新
红
红，黄①
红，黄②
红，黄③
红，新
黄①
黄①，红
黄①，黄②
黄①，黄③
黄①，新
黄②
黄②，红
黄②，黄①
黄②，黄③
黄②，新
黄③
黄③，红
黄③，黄①
黄③，黄②
黄③，新
新
新，红
新，黄①
新，黄②
新，黄③
第一名第二名
甲
乙
丙
丁
甲
甲乙
甲丙
甲丁
乙
乙甲
乙丙
乙丁
丙
丙甲
丙乙
丙丁
丁
丁甲
丁乙
丁丙
甲乙
A
B
C
A
AA
AB
AC
B
BA
BB
BC
C
CA
CB
CC
甲小区3月份用水量频数分布表
用水量（x/m）
频数（户）
5≤x<7
4
7≤x<9
9
9≤x<11
10
11≤x<13
5
13≤x<15
2
甲小区
乙小区
平均数
9.0
9.1
中位数
9.2
a
统计图
图形
优点
缺点
常见结论
条形统计图
1）能清楚地表示出每个项目中的具体数目.
2）易于比较数目之间的差别.
对于条形统计图，人们习惯于由条形柱的高度看相应的数据，即条形柱的高度与相应的数据成正比，若条形柱的高度与数据不成正比，就容易给人造成错觉.
各组数量之和=总数
扇形统计图
能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比.
在两个扇形统计图中，若一个统计图中的某一个量所占的百分比比另一个统计图中的某个量所占的百分比多，这样容易造成第一个统计量比第二个统计量大的错误理解.
各部分百分比之和=100%；
各部分圆心角的度数=相应百分比×360°
折线统计图
能清楚的反映各数据的变化趋势.
在折线图中，若横坐标被“压缩”，纵坐标被“放大”，此时的折线统计图中的统计量变化量变化明显，反之，统计量变化缓慢.
各种数量之和=样本容量
频数分布直方图
直观显示各组频数的分布情况，易于显示各组之间频数的差别
各组数量之和=样本容量;
各组频率之和=1;
数据总数×相应的频率=相应的频数
步骤：
①计算数据的最大值与最小值的差.
②选取组距，确定组数.
③确定各组的分点.
④列频数分布表.
⑤画出频数直方图.
时间/h
6
7
8
9
人数
7
18
15
10
甲
乙
丙
丁
平均数x
350
376
350
376
方差S2
13.5
2.4
5.4
12.5
课外活动种类
A
B
c
D
人数（人）
a
175
100
d
A
B
C
D
A
A,B
A,C
A,D
B
B,A
B,C
B,D
C
C,A
C,B
C,D
D
D,A
D,B
D,C
BA
1
2
3
0
1
2
3
−1
0
1
2
1
2
3
4
−2
−1
0
1
项目
平均数
中位数
众数
甲组
75
76
75
乙组
75
n
70