重难点02 含参类方程与不等式问题（11题型）-2024年中考数学二轮复习讲义（全国通用）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
重难点突破02 含参类方程与不等式问题
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc162980647" 题型01 根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围
\l "_Tc162980648" 题型02 整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题
\l "_Tc162980649" 题型03 同解方程组
\l "_Tc162980650" 题型04 根据二元一次方程组解满足的情况求参数
\l "_Tc162980651" 题型05 二元一次方程组整数解问题
\l "_Tc162980652" 题型06 利用相反数求二元一次方程组参数
\l "_Tc162980653" 题型07 已知方程的解求参数
\l "_Tc162980654" 题型08 根据一元二次方程根的情况求参数
\l "_Tc162980655" 题型09 根据一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围
\l "_Tc162980656" 题型10 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围
\l "_Tc162980657" 题型11 整式方程（组）与一元一次不等式结合求参数的问题
题型01 根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围
1．（2023·山东淄博·中考真题）已知x=1是方程m2−x−1x−2=3的解，那么实数m的值为（ ）
A．−2B．2C．−4D．4
【答案】B
【分析】
将x=1代入方程，即可求解．
【详解】解：将x=1代入方程，得m2−1−11−2=3
解得：m=2
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将x=1代入原方程中得到关于m的方程．
2．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程ax+2=1−3x+2的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A．a<−1且a≠−2B．a<0且a≠−2
C．a<−2且a≠−3D．a<−1且a≠−3
【答案】D
【分析】
直接解分式方程，进而得出a的取值范围，注意分母不能为零．
【详解】
解：去分母得：a=x+2−3，
解得：x=a+1，
∵分式方程ax+2=1−3x+2的解是负数，
∴a+1<0，x+2≠0，即a+1+2≠0，
解得：a<−1且a≠−3，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键．
3．（2023·山东日照·中考真题）若关于x的方程xx−1−2=3m2x−2解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m>−23B．m<43C．m>−23且m≠0D．m<43且m≠23
【答案】D
【分析】
将分式方程化为整式方程解得x=4−3m2，根据方程的解是正数，可得4−3m2>0，即可求出m的取值范围．
【详解】解：xx−1−2=3m2x−2
2x−2×2x−1=3m
2x−4x+4=3m
−2x=3m−4
x=4−3m2
∵方程xx−1−2=3m2x−2的解为正数，且分母不等于0
∴4−3m2>0，x=4−3m2≠1
∴m<43，且m≠23
故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化为整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键．
4．（2023·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程x+mx−2+12−x=3有增根，则m= ．
【答案】−1
【分析】
等式两边同时乘以公因式x−2，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出x的值，即可求出m．
【详解】x+mx−2+12−x=3，
解：方程两边同时乘以x−2，得x+m+−1=3x−2，
∴m=2x−5，
∵原方程有增根，
∴x−2=0，
∴x=2，
∴m=2x−5=−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根．
5．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x的分式方程2x−1=mx有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．3B．5C．3或5D．3或4
【答案】D
【分析】解带参数m的分式方程，得到x=mm−2=1+2m−2，即可求得整数m的值．
【详解】解：2x−1=mx，
两边同时乘以xx−1得：2x=mx−1，
去括号得：2x=mx−m，
移项得：2x−mx=−m，
合并同类项得：2−mx=−m，
系数化为1得：x=mm−2=1+2m−2，
若m为整数，且分式方程有正整数解，则m=3或m=4，
当m=3时，x=3是原分式方程的解；
当m=4时，x=2是原分式方程的解；
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．
题型02 整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题
6．（2020·重庆·中考真题）若关于x的一元一次不等式结3x−12≤x+3x≤a的解集为x≤a；且关于y的分式方程y−ay−2+3y−4y−2=1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7B．－14C．28D．－56
【答案】A
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可．
【详解】解：解不等式3x−12≤x+3，解得x≤7，
∴不等式组整理的x≤7x≤a，
由解集为x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得：y−a＋3y−4＝y−2，即3y−2＝a，
解得：y＝a+23，
由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7，
1×7＝7，
故选：A．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2023·重庆·中考真题）若关于x的一元一次不等式组x+32≤42x−a≥2，至少有2个整数解，且关于y的分式方程a−1y−2+42−y=2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】4
【分析】先解不等式组，确定a的取值范围a≤6，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得y=a−12，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案．
【详解】解：x+32≤4①2x−a≥2②
解不等式①得：x≤5，
解不等式②得：x≥1+a2，
∴不等式的解集为1+a2≤x≤5，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴1+a2≤4，
解得：a≤6；
∵关于y的分式方程a−1y−2+42−y=2有非负整数解，
∴a−1−4=2y−2
解得：y=a−12，
即a−12≥0且a−12≠2，
解得：a≥1且a≠5
∴a的取值范围是1≤a≤6，且a≠5
∴a可以取：1，3，
∴1+3=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．
8．（2024·重庆·模拟预测）已知关于x的一元一次不等式组23−x+1<−xx+a−2<0有解且最多5个整数解，且关于y的分式方程y+ay−3−3=43−y的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为 ．
【答案】−20
【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组以及解分式方程是解本题的关键．
首先求出不等式组的解集为7【详解】23−x+1<−x①x+a−2<0②
解①得，x>7
解②得，x<2−a
∵关于x的一元一次不等式组23−x+1<−xx+a−2<0有解且最多5个整数解，
∴7<2−a≤13
解得−11≤a<−5
y+ay−3−3=43−y
去分母得，y+a−3y+9=−4
解得y=a+132
∵关于y的分式方程y+ay−3−3=43−y的解为正整数，
∴y=a+132是正整数，且y=a+132≠3，即a≠−7
∴a=−11或−9，
∴−11+−9=−20．
∴满足条件的所有整数a的和为−20．
故答案为：−20．
9．（2024·重庆开州·二模）若关于x的方程x+22−x+axx−2=−2有正整数解，且关于y的不等式组2y−43<22a−y−1≤0至少有两个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了解分式方程和分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
由分式方程有正整数解，确定出满足条件a的值，将不等式组整理后，由不等式组至少有两个整数解确定出a的范围，综合求解即可．
【详解】解：x+22−x+axx−2=−2
去分母得：−x−2+ax=−2(x−2)，
去括号得：−x−2+ax=−2x+4，
移项，合并同类项得：(a+1)x=6，
∴x=6a+1．
∵分式方程有可能产生增根2，
∴6a+1≠2，
∴a≠2．
∵关于x的分式方程x+22−x+axx−2=−2有正整数解，
∴a=0，1，5，
2y−43<2①2a−y−1≤0②，
解①得：y<5，
解②得：y≥2a−1，
∴不等式组的解集为：2a−1≤y<5，
∵关于y的不等式组2y−43<22a−y−1≤0至少有两个整数解，
∴2a−1≤3，
∴a≤2．
综上，整数a=1，0．
∴满足条件的整数a的和为1+0=1．
故答案为：1．
10．（2024·四川成都·模拟预测）若整数a使得关于x的分式方程ax−122−x+3=xx−2有整数解，且使得二次函数y=a−2x2+2a−1x+a+1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】15
【分析】
本题考查了二次函数与x轴的交点问题，解不等式组及分式方程，正确理解二次函数的值恒为非负数的性质是解题关键．根据二次函数的性质，得到一元一次不等式组，求得a≥3，再解分式方程，得到x=6a−2，再根据a、x均为整数，找出满足条件的a的值，求和即可．
【详解】解：∵二次函数y=a−2x2+2a−1x+a+1的值恒为非负数，
∴a−2>0Δ=4a−12−4a−2a+1≤0，
解得：a≥3，
解分式方程ax−122−x+3=xx−2得：x=6a−2,
∵x≠2,
∴a≠5,
∵a、x均为整数，
∴a=3时，x=6；a=4时，x=3；a=8时，a=1；
∴所有满足条件的整数a的值之和是3+4+8=15，
故答案为：15．
题型03 同解方程组
11．（2020·广东·中考真题）已知关于x，y的方程组ax+23y=−103x+y=4与x−y=2x+by=15的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）−43；12 （2）等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）关于x，y的方程组ax+23y=−103x+y=4与x−y=2x+by=15的解相同．实际就是方程组
x+y=4x−y=2的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；
（2）将a、b的值代入关于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与26为边长，判断三角形的形状．
【详解】解：由题意列方程组：
x+y=4x−y=2解得x=3y=1
将x=3，y=1分别代入ax+23y=−103和x+by=15
解得a=−43，b=12
∴a=−43，b=12
（2）x2−43x+12=0
解得x=43±48−482=23
这个三角形是等腰直角三角形
理由如下：∵(23)2+(23)2=(26)2
∴该三角形是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键．
12．（2021·广东·二模）解关于x、y的方程组时，小明发现方程组ax+by=2x−y=8的解和方程组5x+2y=b2x+3y=−9的解相同．
(1)求方程组的解；
(2)求关于t的方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0的解．
【答案】(1)x=3y=−5
(2)t＝23或29
【分析】（1 ）根据二元一次方程组的解相同，可得新方程组，根据解方程组，可得x、y的值；
（2 ）根据方程组的解满足方程，把方程组的解代入，可得关于a、b的二元一次方程组，根据解方程组，可得a、b的值；然后利用换元法解该方程．
【详解】（1）由方程组ax+by=2x−y=8的解和方程组5x+2y=b2x+3y=−9的解相同知，
x−y=8①2x+3y=−9②．
由①×3+②，得5x＝15．则x＝3．
将x＝3代入①，得3﹣y＝8，则y＝﹣5．
∴方程组的解为：x=3y=−5；
（2）把x=3y=−5分别代入ax+by＝2和5x+2y＝b可得方程组3a−5b=2b=5，
解得：a=9b=5，
设at﹣b＝n，则方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0可变为n2+2n﹣3＝0，
∴（n+3）（n﹣1）＝0，
∴n＝﹣3或1，
∴at﹣b＝﹣3或1，
把a=9b=5代入得：9t﹣5＝﹣3或1，
解得：t＝23或29；
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的解法，理解方程组解相同的含义是解决问题的关键．
题型04 根据二元一次方程组解满足的情况求参数
13．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于x,y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x−y=4，则m的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】将方程组的两个方程相减，可得到x−y=m+3，代入x−y=4，即可解答．
【详解】解：3x−y=4m+1①x+y=2m−5②，
①−②得2x−2y=2m+6，
∴x−y=m+3，
代入x−y=4，可得m+3=4，
解得m=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．
14．（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组2x−y=2k−3x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（ ）
A．k≥8B．k>8C．k≤8D．k<8
【答案】A
【分析】由两式相减，得到x+y=k−3，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解．
【详解】解：把两个方程相减，可得x+y=k−3，
根据题意得：k−3≥5，
解得：k≥8．
所以k的取值范围是k≥8．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．
15．（2023·四川泸州·中考真题）关于x，y的二元一次方程组2x+3y=3+ax+2y=6的解满足x+y>22，写出a的一个整数值 ．
【答案】7（答案不唯一）
【分析】先解关于x、y的二元一次方程组的解集，再将x+y>22代入，然后解关于a的不等式的解集即可得出答案．
【详解】将两个方程相减得x+y=a−3，
∵x+y>22，
∴a−3>22，
∴a>3+22，
∵4<8<9，
∴2<22<3，
∴5<22+3<6，
∴a的一个整数值可以是7．
故答案为：7（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，整体代入的思想方法是解答本题的亮点．
16．（2024·浙江宁波·模拟预测）若关于x，y的方程组2x−y=5kx+y=4k+3的解满足x−y≤5，则k的取值范围是 ．
【答案】k≤3
【分析】
本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的解法，把方程组的解求出，即用k表示出x、y，代入不等式x−y≤5，转化为关于k的一元一次不等式，可求得k的取值范围．
【详解】解：2x−y=5k①x+y=4k+3②
由①+②可得：3x=9k+3，
所以：x=3k+1③
把③代入②得：3k+1+y=4k+3，
解得：y=k+2，
代入x−y≤5可得：3k+1−k+2≤5，
解得：k≤3，
故答案为：k≤3．
题型05 二元一次方程组整数解问题
17．（2022·广东揭阳·模拟预测）如果关于x，y的方程组4x−3y=66x+my=26的解是整数，那么整数m的值为（ ）
A．4，−4，−5，13B．4，−4，−5，−13
C．4，−4，5，13D．−4，5，−5，13
【答案】B
【分析】先将m看作已知量，解二元一次方程组，用m表示出y，再结合x，y为整数，得出y的整数解，然后把y的整数解代入①，得出x的解，再把方程组的整数解代入②，即可得出m的值．
【详解】解：4x−3y=6①6x+my=26②，
由②×2−①×3，可得：y=342m+9，
∵x，y为整数，
∴当2m+9为−34，−17，−2，−1，34，17，2，1时，y为整数，
∴把2m+9的值代入y=342m+9，可得：y=−1，y=−2，y=−17，y=−34，y=1，y=2，y=17，y=34，
∴把y的整数解代入①，可得：x=34，x=0，x=−454，x=−24，x=94，x=3，x=574，x=27，
∴方程组4x−3y=66x+my=26的整数解为x=0y=−2，x=−24y=−34，x=3y=2，x=27y=34，
把方程组的整数解代入②，可得：m=−13，m=−5，m=4，m=−4．
故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解本题的关键是用含m的代数式表示y．
18．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）关于x，y的二元一次方程组kx+y=43x+y=0的解为整数，关于z的不等式组3z＞z−44z−2k−13≤1有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数k的和为（ ）
A．6B．7C．11D．12
【答案】A
【分析】
本题考查了解含参数的二元一次方程组整数解，含参数的不等式组整数解问题；解出方程组，根据整数解确定k的取值，解出不等式组，由整数解的个数确定k的取值范围，即可求解；能正确解出含参数的方程组和不等式组，并确定k的取值范围是解题的关键．
【详解】解：解方程组kx+y=43x+y=0得：
x=4k−3y=123−k，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为整数，
∴k可取−1，1，2，4，5，7，
解关于z的不等式组得z>−2z≤1+k6，
∵关于z的不等式组有且仅有2个整数解，
∴0≤1+k6<1，
解得：−1≤k<5，
∴整数k为−1，1，2，4，
其和为−1+1+2+4=6，
故选：A．
19．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）已知关于x,y的二元一次方程组ax+2y=612x−y=1的解为整数，且关于z的方程z−a2−z3=1的解为非负数，求满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．2B．4C．9D．11
【答案】A
【分析】本题考查了已知二元一次方程组和一元一次方程的解，求解参数.正确求解方程或方程组是解题关键．
【详解】解：ax+2y=6①12x−y=1②
①+②×2得：a+1x=8，
解得：x=8a+1
将x=8a+1代入②得：12×8a+1−y=1，
解得：y=4a+1−1
∴原二元一次方程组的解为：x=8a+1y=4a+1−1
解方程z−a2−z3=1得：z=6+3a
∵关于z的方程z−a2−z3=1的解为非负数，
∴6+3a≥0，
∴a≥−2
∵关于x,y的二元一次方程组ax+2y=612x−y=1的解为整数，
∴a+1=±1,±2,±4
综上所述：a=0,−2,1,3
∴满足条件的所有整数a的和为：2
故选：A
题型06 利用相反数求二元一次方程组参数
20．（2022·四川南充·二模）已知x、y满足方程组x+2y=2m−12x+y=5，且x与y互为相反数，则m的值为（ ）
A．m=−2B．m=2C．m=−3D．m=3
【答案】A
【分析】根据题意可得x+y=0，由方程组的解法可得3x+3y=2m+4，代入计算即可．
【详解】解：x+2y=2m−1①2x+y=5②，
①+②得，3x+3y=2m+4，
即3（x+y）=2m+4，
又∵x与y互为相反数，
∴x+y=0，
即2m+4=0，
解得m=-2，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法以及相反数的定义是正确解答的前提．
21．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知关于x，y的方程组3x−5y=2ax−2y=a−5则下列结论中正确的是（ ）
①当a=5时，方程组的解是x=10y=20；②当x，y的值互为相反数时，a=20；
③当2x⋅2y=212时，a=14；④不存在一个实数a，使得x=y．
A．①②④B．①②③C．②③④D．②③
【答案】C
【分析】①把a=5代入方程组求出解，即可做出判断；
②根据题意得到x+y=0，代入方程组求出a的值，即可做出判断；
③根据题中方程组得到x=25−ay=15−a，再得到x+y=12，代入求出a的值，即可做出判断；
④假如x=y，得到a无解，本选项正确．
【详解】解：①把a=5代入方程组得：3x−5y=10x−2y=0，
解得：x=20y=10，本选项错误；
②由x与y互为相反数，得到x+y=0，即y=-x，
代入方程组得：3x+5x=2ax+2x=a−5，
解得：a=20，本选项正确；
③方程组解得：x=25−ay=15−a，
由题意得：x+y=12，
把x=25−ay=15−a 代入得：25-a+15-a =12，
解得：a=14，本选项正确；
④若x=y，则有−2x=2a−x=a−5，可得a=a-5，矛盾，
故不存在一个实数a使得x=y，本选项正确．
则正确的选项有②③④，
故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
22．（2021·内蒙古包头·二模）若满足方程组4x+y=3m+32x−y=m−1的x与y互为相反数，则m的值为（ ）
A．2B．−2C．11D．−11
【答案】B
【分析】由x与y互为相反数，得到y=-x，代入方程组计算即可求出m的值．
【详解】解：由题意得：y=-x，
代入方程组得：4x−x＝3m+3①2x+x＝m−1②，
消去x得：3m+3=m−1，
解得：m=-2，
故选：B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
题型07 已知方程的解求参数
23．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为（ ）
A．3B．−3C．7D．−7
【答案】A
【分析】把x=1代入2x+m=5再进行求解即可．
【详解】解：把x=1代入2x+m=5得：2+m=5，
解得：m=3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤．
24．（2021·浙江金华·中考真题）已知x=2y=m是方程3x+2y=10的一个解，则m的值是 ．
【答案】2
【分析】把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可．
【详解】∵x=2y=m是方程3x+2y=10的一个解，
∴6+2m=10，
解得m=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键．
25．（2023·江苏镇江·中考真题）若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根，则m的值为 ．
【答案】5
【分析】
：把x=1代入方程x2+mx−6=0 ，求出关于m的方程的解即可．
【详解】
把x=1代入方程x2+mx−6=0 ，
得1+m−6=0，
解得m=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
26．（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程x2+3x−4=0的两根，则a2+4a+b−3= ．
【答案】−2
【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得a+b=−3,a2+3a−4=0，从而得到a2+3a=4，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程x2+3x−4=0的两根，
∴a+b=−3,a2+3a−4=0，
∴a2+3a=4，
∴a2+4a+b−3
=a2+3a+a+b−3
=4+−3−3
=−2．
故答案为：−2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．
题型08 根据一元二次方程根的情况求参数
27．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程x2−2k−2x+k2−1=0有两个实数根，则(k−1)2−(2−k)2的化简结果是（ ）
A．−1B．1C．−1−2kD．2k−3
【答案】A
【分析】
首先根据关于x的方程x2−2k−2x+k2−1=0有两个实数根，得判别式△=−2k−22−4×1×k2−1≥0，由此可得k≤1，据此可对(k−1)2−(2−k)2进行化简．
【详解】解：∵关于x的方程x2−2k−2x+k2−1=0有两个实数根，
∴判别式△=−2k−22−4×1×k2−1≥0，
整理得：−8k+8≥0，
∴k≤1，
∴k−1≤0，2−k>0，
∴(k−1)2−(2−k)2
=−k−1−2−k
=−1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
28．（2023·江苏连云港·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】m<1
【分析】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=4−4m>0，
解得：m<1．
故答案为：m<1．
29．（2021·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程ax2+4x−2=0有实数根，则a的取值范围为 ．
【答案】a≥−2且a≠0
【分析】
利用一元二次方程根的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ=42−4a×−2≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得a≠0且Δ=42−4a×−2≥0，
解得a≥−2且a≠0．
故答案为∶ a≥−2且a≠0．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
30．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程x2+2x+3−k=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两个根为α，β，且k2=αβ+3k，求k的值．
【答案】(1)k>2
(2)k=3
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出b2−4ac>0，把字母和数代入求出k的取值范围；
（2）根据两根之积为：ca，把字母和数代入求出k的值．
【详解】（1）解：b2−4ac=22−4×1×3−k=−8+4k，
∵有两个不相等的实数，
∴−8+4k>0，
解得：k>2；
（2）∵方程的两个根为α，β，
∴αβ=ca=3−k，
∴k2=3−k+3k，
解得：k1=3，k2=−1（舍去）．
即：k=3．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
题型09 根据一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围
31．（2023·广东潮州·二模）如果关于x的不等式组6x−m≥05x−n<0的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对m,n共有（ ）
A．42对B．36对C．30对D．11对
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，先求出不等式组的解集，根据已知得出关于m、n的不等式组，求出整数解即可，解此题的关键是求出m、n的值．
【详解】解：6x−m≥0①5x−n<0②，
解不等式①得：x≥m6，
解不等式②得：x∴不等式组的解集是m6≤x∵关关于x的不等式组6x−m≥05x−n<0的整数解仅为1，2，3，
∴0∵m、n为整数，
∴m=1、2、3、4、5、6，n=16、17、18、19、20，
6×5=30，
所以适合这个不等式组的整数对m,n共有30对，
故选：C．
32．（2024·河南安阳·一模）已知不等式组2x−1>3x+12x【答案】9【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况，求出参数的范围，先求出不等式组的解集，根据解集得到关于a的不等式组，求解即可．
【详解】解：解2x−1>3x+12x5x∵不等式组有四个整数解，
∴5∴不等式组的整数解为6,7,8,9，
∴9故答案为：933．（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x的不等式组2x+1>x+a①x2+1≥52x−9②所有整数解的和为14，则整数a的值为 ．
【答案】2或−1
【分析】根据题意可求不等式组的解集为a−1【详解】解：由①得：x>a−1，
由②得：x≤5，
∴不等式组的解集为：a−1∵所有整数解的和为14，
①整数解为：2、3、4、5，
∴1≤a−1<2，
解得：2≤a<3，
∵ a为整数，
∴a=2．
②整数解为：−1，0，1，2、3、4、5，
∴−2≤a−1<−1，
解得：−1≤a<0，
∵ a为整数，
∴a=−1．
综上，整数a的值为2或−1
故答案为：2或−1．
【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键．
题型10 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围
34．（2023·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组x−a>2x+1A．0B．−1C．1D．2023
【答案】B
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得2+a【详解】解：x−a>2①x+1解不等式①得：x>2+a，
解不等式②得：x∴原不等式组的解集为：2+a∵不等式组的解集是−1∴2+a=−1，b−1=1，
∴a=−3，b=2，
∴a+b2023=−3+22023=−12023=−1，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关键．
35．（2023·湖北黄石·中考真题）若实数a使关于x的不等式组−20的解集为−1【答案】a≤−1/−1≥a
【分析】根据不等式的性质解一元一次不等组，再根据不等式组的取值方法即可且求解．
【详解】解：−20②，
由①得，−1a；
∵解集为−1∴a≤−1，
故答案为：a≤−1．
【点睛】本题主要考查解不等式组，求不等式组解集，掌握解不等式组的方法，不等组的取值方法等知识是解题的关键．
36．（2023·山东聊城·中考真题）若不等式组x−12≥x−232x−m≥x的解集为x≥m，则m的取值范围是 ．
【答案】m≥−1/−1≤m
【分析】分别求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集即可求解．
【详解】解：x−12≥x−23①2x−m≥x②，
解不等式①得：x≥−1，
解不等式②得：x≥m，
∵不等式组的解集为：x≥m，
∴m≥−1．
故答案为：m≥−1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解求参数的取值范围，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
题型11 整式方程（组）与一元一次不等式结合求参数的问题
37．（2022·四川泸州·中考真题）若方程x−3x−2+1=32−x的解使关于x的不等式2−ax−3>0成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】a<−1
【分析】先解分式方程得x=1，再把x=1代入不等式计算即可．
【详解】x−3x−2+1=32−x
去分母得：x−3+x−2=−3
解得：x=1
经检验，x=1是分式方程的解
把x=1代入不等式2−ax−3>0得：
2−a−3>0
解得a<−1
故答案为：a<−1
【点睛】本题综合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解题的关键是熟记相关运算法则．
38．（2023·四川泸州·一模）已知方程3−aa−4−a=14−a，且关于x的不等式a≤x【答案】1【分析】此题考查了解分式方程，以及一元一次不等式的整数解．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，经检验确定出分式方程的解，根据已知不等式只有3个整数解，即可确定出b的范围．
【详解】解：分式方程去分母得：3−a−aa−4=−1，
整理，得：a2−3a−4=0，
即a−4a+1=0，
解得：a=4或a=−1，
经检验a=4是增根，
故分式方程的解为a=−1，
∵不等式a≤x∴1故答案为：139．（2021·湖北荆州·中考真题）已知：a是不等式5a−2+8<6a−1+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1=0．
【答案】x1=2+5，x2=2-5
【分析】先解不等式，结合已知得出a的值，然后利用配方法解方程即可
【详解】解：∵5a−2+8<6a−1+7；
∴5a−10+8<6a−6+7；
∴−a<3；
∴a＞-3；
∵a是不等式5a−2+8<6a−1+7的最小整数解，
∴a=-2；
∴关于x的方程x2-4x-1=0；
∴x2-4x+4=5；
∴x-22=5；
∴x-2=±5；
∴x1=2+5，x2=2-5．
【点睛】本题考查了解不等式以及解一元二次方程，熟练掌握相关的运算方法是解题的关键．
40．（2022·江苏苏州·一模）若不等式3x+2≤4x−1的最小整数解是方程23x−13mx=1的解，求m的值．
【答案】m=1
【分析】解出一元一次不等式的解，求出x的最小整数值，然后将x的最小整数值代入方程求解即可．
【详解】解：由3x+2≤4x−1，解得x≥3，
∴x的最小整数值为x=3，
∵x=3是方程23x−13mx=1的解，
∴23×3−13m×3=1，
解得m=1，
∴m的值为1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解．解题的关键在于找出x的最小整数值．