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所属成套资源：2024年中考数学二轮复习课件+讲义+练习（全国通用）
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重难点04 全等三角形与相似三角形（3题型14类型）-2024年中考数学二轮复习讲义（全国通用）
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这是一份重难点04 全等三角形与相似三角形（3题型14类型）-2024年中考数学二轮复习讲义（全国通用），文件包含重难点04全等三角形与相似三角形原卷版docx、重难点04全等三角形与相似三角形解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共135页， 欢迎下载使用。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
重难点突破04 全等三角形与相似三角形
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc163646273" 题型01 旋转中的全等模型
\l "_Tc163646274" 类型一 对角互补模型
\l "_Tc163646275" 类型二 对角互补且有一组邻边相等的半角模型
\l "_Tc163646276" 类型三 手拉手旋转模型
\l "_Tc163646277" 类型四 中点旋转模型
\l "_Tc163646278" 类型五 通过旋转构造三角形全等
\l "_Tc163646279" 题型02 构造相似三角形解题
\l "_Tc163646280" 类型一 做平行线构造“A”型相似
\l "_Tc163646281" 类型二 做平行线构造“X”型相似
\l "_Tc163646282" 类型三 作垂线构造直角三角形相似
\l "_Tc163646283" 类型四 作垂线构造“三垂直”型相似
\l "_Tc163646284" 题型03 与相似三角形有关的压轴题
\l "_Tc163646285" 类型一 运用相似三角形的性质与判定求点的坐标
\l "_Tc163646286" 类型二 运用相似三角形的性质与判定求线段的最值
\l "_Tc163646287" 类型三 利用相似三角形的判定和性质求“kAD+BD”型的最值（阿氏圆）
\l "_Tc163646288" 类型四 相似中的“一线三等角”模型
\l "_Tc163646289" 类型五 相似三角形与多边形综合
题型01 旋转中的全等模型
类型一 对角互补模型
1．（20-21八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，点M，N在边BC 上，且∠MAN=45°．若BM= 1，CN=3，求MN的长．
2．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）∠EAF=_________°，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则CQBM=________；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：BM2+DN2=MN2．
3．（2020·湖南湘西·中考真题）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFC≌△BFE，可得出结论，他的结论就是_______________；
探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．
探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
类型二 对角互补且有一组邻边相等的半角模型
4．（2022·辽宁朝阳·中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．
(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明△ADE≌△ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．
(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．
(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝6，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．
5．（20-21九年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）问题背景．
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD=2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．
童威同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．
（2）猜想论证．
如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E在线段BC上、F在线段CD延长线上．若∠BAD=2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．
（3）拓展应用．
如图3，在四边形ABDC中，∠BDC=45°，连接BC、AD，AB:AC:BC=3:4:5，AD=4，且∠ABD+∠CBD=180°．则△ACD的面积为 ．
6．（2020·河南南阳·模拟预测）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，将∠MBN绕点B旋转，它的两边分别交边AD、DC（或它们的延长线）于点E、F．
（1）当∠MBN绕点B旋转到AE=CF时（如图1），
①求证：△ABE≌△CBF；
②求证：AE+CF=EF；
（2）当∠MBN绕点B旋转到如图2所示的位置时，AE≠CF，此时，（1）中的两个结论是否还成立？请直接回答．
类型三 手拉手旋转模型
7．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
8．（2020·辽宁丹东·中考真题）已知：菱形ABCD和菱形A'B'C'D'，∠BAD=∠B'A'D'，起始位置点A在边A'B'上，点B在A'B'所在直线上，点B在点A的右侧，点B'在点A'的右侧，连接AC和A'C'，将菱形ABCD以A为旋转中心逆时针旋转α角（0°<α<180°）．
（1）如图1，若点A与A'重合，且∠BAD=∠B'A'D'=90°，求证：BB'=DD'；
（2）若点A与A'不重合，M是A'C'上一点，当MA'=MA时，连接BM和A'C，BM和A'C所在直线相交于点P；
①如图2，当∠BAD=∠B'A'D'=90°时，请猜想线段BM和线段A'C的数量关系及∠BPC的度数；
②如图3，当∠BAD=∠B'A'D'=60°时，请求出线段BM和线段A'C的数量关系及∠BPC的度数；
③在②的条件下，若点A与A'B'的中点重合，A'B'=4，AB=2，在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，请直接写出线段BM的长．
9．（2022·河南驻马店·三模）如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=9cm．点D从O点出发，沿OM方向运动．当点D不与点A重合时，将线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE．连接BE，DE．
(1)如图1，当点D在线段OA上运动时，线段BD、BE、BC之间的数量关系是______，直线AD和直线BE所夹锐角的度数是______；
(2)如图2，当点D运动到线段AB（不与A点重合）上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论并说明理由；
(3)如图3，将△ABC改为等腰直角三角形，其中斜边AB=6，其它条件不变，以CD为斜边在其右侧作等腰直角三角形CDE，连接BE，请问BE是否存在最小值，若存在，直接写出答案；若不存在，说明理由．
类型四 中点旋转模型
10．（2023·河北唐山·二模）已知：在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过点E作EF⊥BD，交BC于点F，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG．
【猜想论证】
(1)猜想线段EG与CG的数量关系，并加以证明．
【拓展探究】
(2)将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°得到图2，取DF中点G，连接EG，CG.你在(1)中得到的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．
11．（2023·山东淄博·中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
(1)操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．
试判断：△ACF的形状为________．
(2)深入探究
小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB=2，AD=4．
探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF的面积．
探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．
求线段DH长度的最大值和最小值．
12．（2021·江苏宿迁·中考真题）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
(1)如图①，连接BG、CF，求CFBG的值；
(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．
类型五 通过旋转构造三角形全等
13．（2022·内蒙古呼和浩特·二模）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为23、2、4，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．28+83B．14+43C．12D．24
14．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，
由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'为 ① 三角形，故PP'=PC，又P'A'=PA，故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由 ② 可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ；
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/km，a元/km，2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
15．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】：如图1，点 D是等边△ABC内一点，连接AD,BD，将△ABD绕点A逆时针旋转 60°得到△ACE，连接DE，观察发现：BD与CE的数量关系为________，直线BD与CE所夹的锐角为________度；
【尝试应用】：如图2，在等腰直角△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D是等腰直角 △ABC内一点，连接AD，BD，CD，若AD=22,BD=5,CD=3，求△BCD面积；
【拓展创新】：如图3，在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D为平面内一点，且∠ADB=60°,ADBD=3，直接写ACCD的值为________．
题型02 构造相似三角形解题
类型一 做平行线构造“A”型相似
16．（2023·内蒙古·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，点C是AE的中点，连接BC，过点C的直线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P．
(1)求证：PC为⊙O的切线；
(2)若PC=22BO，PB=10，求BE的长．
17．（2018·湖北黄石·中考真题）在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）．
（1）如图1，若EF∥BC，求证：S△AEFS△ABC=AE·AFAB·AC
（2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，AEAB=34，求S△AEFS△ABC的值．
类型二 做平行线构造“X”型相似
18．（2023九年级·全国·专题练习）在△ABC中，已知D是BC边的中点，G是△ABC的重心，过G点的直线分别交AB、AC于点E、F．
(1)如图1，当EF∥BC时，求证：BEAE+CFAF=1；
(2)如图2，当EF和BC不平行，且点E、F分别在线段AB、AC上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
(3)如图3，当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
19．（2023·湖北孝感·三模）【问题情境】
小睿遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°,∠CAD=30°,AD=4,BD=2DC，求AC的长．
【问题探究】
小睿发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，经过推理和计算能够使问题得到解决，如图2．
(1)①∠ACE的度数为________；②求AC的长；
【问题拓展】
(2)如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°,∠CAD=30°,∠ADC=75°,AC与BD交于点E,AE=2m,BE=2ED，求BC的长．
20．（2023·广东深圳·中考真题）（1）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，
①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；
②若S矩形ABCD=20时，则BE⋅CF=______．
（2）如图，在菱形ABCD中，csA=13，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD于点F，若S菱形ABCD=24时，求EF⋅BC的值．
（3）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF⋅EG=73时，请直接写出AG的长．
类型三 作垂线构造直角三角形相似
21．（2022·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B=∠MDB时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
22．（2020·江苏南通·中考真题）【了解概念】
有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
【理解运用】
（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；
（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设AEBE＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．
类型四 作垂线构造“三垂直”型相似
23．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=55，则BD的长为 ．
24．（2022上·江苏扬州·九年级统考期中）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，CD=6，AD=2，则该矩形与AB相邻的另一条边长是 ．
25．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为（ ）
A．23B．11C．3214D．2213
题型03 与相似三角形有关的压轴题
类型一 运用相似三角形的性质与判定求点的坐标
26．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB=35，点C为平面内一动点，BC=32，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM:MA=1:2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（ ）
A．35,65B．355,655C．65,125D．655,1255
27．（2021·湖南娄底·中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙A与直线l:y=512x只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A．(−12,0)B．(−13,0)C．(±12,0)D．(±13,0)
28．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，正比例函数y=−3x与反比例函数y=kxk≠0的图象交于A，B1,m两点，点C在x轴负半轴上，∠ACO=45°．
(1)m=______，k=______，点C的坐标为______．
(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．
类型二 运用相似三角形的性质与判定求线段的最值
29．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在△ACD中，AD=6，BC=5，AC2=ABAB+BC，且△DAB∼△DCA，若AD=3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（ ）
A．72B．62C．52D．85
30．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为 ．
31．（2023·四川泸州·中考真题）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是 ．
32．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．
(1)求证：△AEF∽△DCE；
(2)如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．
①求AG+GM的最小值；
②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．
类型三 利用相似三角形的判定和性质求“kAD+BD”型的最值（阿氏圆）
33．（2020·广西·中考真题）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的EF上任意一点，连接BP，CP，则12BP+CP的最小值是 ．
34．（2023·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx−1交于点D，与x轴交于点E．
(1)求直线AD及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+12PA的最小值．
35．（2021·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c交x轴于点A和C1,0，交y轴于点B0,3，抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段OE绕着点О沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α0°<α<90°，连接AE'，BE'，求BE'+13AE'的最小值．
（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由；
类型四 相似中的“一线三等角”模型
36．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，∠ABC=90°，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，AE=4，BE=2，BF=3，求CF的长度为 ．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点E、F、M分别在AB、BC、AD上，∠EMF=90°，AM=2，当BE+BF=9时，求四边形MEBF的面积．
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，点E、F分别在边AB、BC上，∠CEF=α且tanα=34，若BF=8，求BE的长度．
37．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD，点E在射线AB上，现将矩形折叠，折痕为DE，点A的对应点记为点F．
(1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形ABCD的边BC上，直接写出一个与△BEF相似的三角形；
(2)深入探究：如图2，若点F落在矩形ABCD的边BC的下方时，EF、DF分别交BC于点M、N，过点F作FG⊥BC，FH⊥DC，垂足分别为点G、H，当点G是BC的中点时，试判断△DEF与△DFH是否相似，并证明你的结论；
(3)问题解决：在（2）的条件下，若AD=3，BE=33，求CH的长．
38．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，∠ABC=α，将边AC绕点C顺时针旋转α得到线段CE，在射线BC上取点D，使得∠CDE=α．请求出线段BC与DE的数量关系；
（2）类比探究：如图2，若α=90°，作∠ACE=90°，且CE=12AC，其他条件不变，则线段BC与DE的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形ABCD的边长为6，点E是边AD上一点，且AE=2，把线段CE逆时针旋转90°得到线段EF，连接BF，直接写出线段BF的长．
类型五 相似三角形与多边形综合
39．（2023·山东济南·中考真题）在矩形ABCD中，AB=2，AD=23，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．
(1)如图1，连接BD，求∠BDC的度数和DGBE的值；
(2)如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；
(3)如图3，当EA=EC时，在平面内有一动点P，满足PE=EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．
40．（2023·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=αa≥90°,AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．
问题探究：
(1)先将问题特殊化，如图（2），当α=90°时，直接写出∠GCF的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．
问题拓展：
(3)将图（1）特殊化，如图（3），当α=120°时，若DGCG=12，求BECE的值．
41．（2021·山东日照·中考真题）问题背景：
如图1，在矩形ABCD中，AB=23，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①AEDF=_____；②直线AE与DF所夹锐角的度数为______．
（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为______．
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
重难点突破04 全等三角形与相似三角形
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc163646273" 题型01 旋转中的全等模型
\l "_Tc163646274" 类型一 对角互补模型
\l "_Tc163646275" 类型二 对角互补且有一组邻边相等的半角模型
\l "_Tc163646276" 类型三 手拉手旋转模型
\l "_Tc163646277" 类型四 中点旋转模型
\l "_Tc163646278" 类型五 通过旋转构造三角形全等
\l "_Tc163646279" 题型02 构造相似三角形解题
\l "_Tc163646280" 类型一 做平行线构造“A”型相似
\l "_Tc163646281" 类型二 做平行线构造“X”型相似
\l "_Tc163646282" 类型三 作垂线构造直角三角形相似
\l "_Tc163646283" 类型四 作垂线构造“三垂直”型相似
\l "_Tc163646284" 题型03 与相似三角形有关的压轴题
\l "_Tc163646285" 类型一 运用相似三角形的性质与判定求点的坐标
\l "_Tc163646286" 类型二 运用相似三角形的性质与判定求线段的最值
\l "_Tc163646287" 类型三 利用相似三角形的判定和性质求“kAD+BD”型的最值（阿氏圆）
\l "_Tc163646288" 类型四 相似中的“一线三等角”模型
\l "_Tc163646289" 类型五 相似三角形与多边形综合
题型01 旋转中的全等模型
类型一 对角互补模型
1．（20-21八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，点M，N在边BC 上，且∠MAN=45°．若BM= 1，CN=3，求MN的长．
2．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）∠EAF=_________°，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则CQBM=________；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：BM2+DN2=MN2．
3．（2020·湖南湘西·中考真题）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFC≌△BFE，可得出结论，他的结论就是_______________；
探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．
探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
类型二 对角互补且有一组邻边相等的半角模型
4．（2022·辽宁朝阳·中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．
(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明△ADE≌△ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．
(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．
(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝6，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．
5．（20-21九年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）问题背景．
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD=2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．
童威同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．
（2）猜想论证．
如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E在线段BC上、F在线段CD延长线上．若∠BAD=2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．
（3）拓展应用．
如图3，在四边形ABDC中，∠BDC=45°，连接BC、AD，AB:AC:BC=3:4:5，AD=4，且∠ABD+∠CBD=180°．则△ACD的面积为 ．
6．（2020·河南南阳·模拟预测）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，将∠MBN绕点B旋转，它的两边分别交边AD、DC（或它们的延长线）于点E、F．
（1）当∠MBN绕点B旋转到AE=CF时（如图1），
①求证：△ABE≌△CBF；
②求证：AE+CF=EF；
（2）当∠MBN绕点B旋转到如图2所示的位置时，AE≠CF，此时，（1）中的两个结论是否还成立？请直接回答．
类型三 手拉手旋转模型
7．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
8．（2020·辽宁丹东·中考真题）已知：菱形ABCD和菱形A'B'C'D'，∠BAD=∠B'A'D'，起始位置点A在边A'B'上，点B在A'B'所在直线上，点B在点A的右侧，点B'在点A'的右侧，连接AC和A'C'，将菱形ABCD以A为旋转中心逆时针旋转α角（0°<α<180°）．
（1）如图1，若点A与A'重合，且∠BAD=∠B'A'D'=90°，求证：BB'=DD'；
（2）若点A与A'不重合，M是A'C'上一点，当MA'=MA时，连接BM和A'C，BM和A'C所在直线相交于点P；
①如图2，当∠BAD=∠B'A'D'=90°时，请猜想线段BM和线段A'C的数量关系及∠BPC的度数；
②如图3，当∠BAD=∠B'A'D'=60°时，请求出线段BM和线段A'C的数量关系及∠BPC的度数；
③在②的条件下，若点A与A'B'的中点重合，A'B'=4，AB=2，在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，请直接写出线段BM的长．
9．（2022·河南驻马店·三模）如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=9cm．点D从O点出发，沿OM方向运动．当点D不与点A重合时，将线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE．连接BE，DE．
(1)如图1，当点D在线段OA上运动时，线段BD、BE、BC之间的数量关系是______，直线AD和直线BE所夹锐角的度数是______；
(2)如图2，当点D运动到线段AB（不与A点重合）上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论并说明理由；
(3)如图3，将△ABC改为等腰直角三角形，其中斜边AB=6，其它条件不变，以CD为斜边在其右侧作等腰直角三角形CDE，连接BE，请问BE是否存在最小值，若存在，直接写出答案；若不存在，说明理由．
类型四 中点旋转模型
10．（2023·河北唐山·二模）已知：在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过点E作EF⊥BD，交BC于点F，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG．
【猜想论证】
(1)猜想线段EG与CG的数量关系，并加以证明．
【拓展探究】
(2)将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°得到图2，取DF中点G，连接EG，CG.你在(1)中得到的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．
11．（2023·山东淄博·中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
(1)操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．
试判断：△ACF的形状为________．
(2)深入探究
小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB=2，AD=4．
探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF的面积．
探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．
求线段DH长度的最大值和最小值．
12．（2021·江苏宿迁·中考真题）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
(1)如图①，连接BG、CF，求CFBG的值；
(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．
类型五 通过旋转构造三角形全等
13．（2022·内蒙古呼和浩特·二模）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为23、2、4，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．28+83B．14+43C．12D．24
14．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，
由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'为 ① 三角形，故PP'=PC，又P'A'=PA，故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由 ② 可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ；
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/km，a元/km，2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
15．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】：如图1，点 D是等边△ABC内一点，连接AD,BD，将△ABD绕点A逆时针旋转 60°得到△ACE，连接DE，观察发现：BD与CE的数量关系为________，直线BD与CE所夹的锐角为________度；
【尝试应用】：如图2，在等腰直角△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D是等腰直角 △ABC内一点，连接AD，BD，CD，若AD=22,BD=5,CD=3，求△BCD面积；
【拓展创新】：如图3，在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D为平面内一点，且∠ADB=60°,ADBD=3，直接写ACCD的值为________．
题型02 构造相似三角形解题
类型一 做平行线构造“A”型相似
16．（2023·内蒙古·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，点C是AE的中点，连接BC，过点C的直线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P．
(1)求证：PC为⊙O的切线；
(2)若PC=22BO，PB=10，求BE的长．
17．（2018·湖北黄石·中考真题）在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）．
（1）如图1，若EF∥BC，求证：S△AEFS△ABC=AE·AFAB·AC
（2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，AEAB=34，求S△AEFS△ABC的值．
类型二 做平行线构造“X”型相似
18．（2023九年级·全国·专题练习）在△ABC中，已知D是BC边的中点，G是△ABC的重心，过G点的直线分别交AB、AC于点E、F．
(1)如图1，当EF∥BC时，求证：BEAE+CFAF=1；
(2)如图2，当EF和BC不平行，且点E、F分别在线段AB、AC上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
(3)如图3，当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
19．（2023·湖北孝感·三模）【问题情境】
小睿遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°,∠CAD=30°,AD=4,BD=2DC，求AC的长．
【问题探究】
小睿发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，经过推理和计算能够使问题得到解决，如图2．
(1)①∠ACE的度数为________；②求AC的长；
【问题拓展】
(2)如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°,∠CAD=30°,∠ADC=75°,AC与BD交于点E,AE=2m,BE=2ED，求BC的长．
20．（2023·广东深圳·中考真题）（1）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，
①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；
②若S矩形ABCD=20时，则BE⋅CF=______．
（2）如图，在菱形ABCD中，csA=13，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD于点F，若S菱形ABCD=24时，求EF⋅BC的值．
（3）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF⋅EG=73时，请直接写出AG的长．
类型三 作垂线构造直角三角形相似
21．（2022·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B=∠MDB时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
22．（2020·江苏南通·中考真题）【了解概念】
有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
【理解运用】
（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；
（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设AEBE＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．
类型四 作垂线构造“三垂直”型相似
23．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=55，则BD的长为 ．
24．（2022上·江苏扬州·九年级统考期中）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，CD=6，AD=2，则该矩形与AB相邻的另一条边长是 ．
25．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为（ ）
A．23B．11C．3214D．2213
题型03 与相似三角形有关的压轴题
类型一 运用相似三角形的性质与判定求点的坐标
26．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB=35，点C为平面内一动点，BC=32，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM:MA=1:2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（ ）
A．35,65B．355,655C．65,125D．655,1255
27．（2021·湖南娄底·中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙A与直线l:y=512x只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A．(−12,0)B．(−13,0)C．(±12,0)D．(±13,0)
28．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，正比例函数y=−3x与反比例函数y=kxk≠0的图象交于A，B1,m两点，点C在x轴负半轴上，∠ACO=45°．
(1)m=______，k=______，点C的坐标为______．
(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．
类型二 运用相似三角形的性质与判定求线段的最值
29．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在△ACD中，AD=6，BC=5，AC2=ABAB+BC，且△DAB∼△DCA，若AD=3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（ ）
A．72B．62C．52D．85
30．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为 ．
31．（2023·四川泸州·中考真题）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是 ．
32．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．
(1)求证：△AEF∽△DCE；
(2)如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．
①求AG+GM的最小值；
②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．
类型三 利用相似三角形的判定和性质求“kAD+BD”型的最值（阿氏圆）
33．（2020·广西·中考真题）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的EF上任意一点，连接BP，CP，则12BP+CP的最小值是 ．
34．（2023·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx−1交于点D，与x轴交于点E．
(1)求直线AD及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+12PA的最小值．
35．（2021·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c交x轴于点A和C1,0，交y轴于点B0,3，抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段OE绕着点О沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α0°<α<90°，连接AE'，BE'，求BE'+13AE'的最小值．
（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由；
类型四 相似中的“一线三等角”模型
36．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，∠ABC=90°，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，AE=4，BE=2，BF=3，求CF的长度为 ．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点E、F、M分别在AB、BC、AD上，∠EMF=90°，AM=2，当BE+BF=9时，求四边形MEBF的面积．
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，点E、F分别在边AB、BC上，∠CEF=α且tanα=34，若BF=8，求BE的长度．
37．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD，点E在射线AB上，现将矩形折叠，折痕为DE，点A的对应点记为点F．
(1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形ABCD的边BC上，直接写出一个与△BEF相似的三角形；
(2)深入探究：如图2，若点F落在矩形ABCD的边BC的下方时，EF、DF分别交BC于点M、N，过点F作FG⊥BC，FH⊥DC，垂足分别为点G、H，当点G是BC的中点时，试判断△DEF与△DFH是否相似，并证明你的结论；
(3)问题解决：在（2）的条件下，若AD=3，BE=33，求CH的长．
38．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，∠ABC=α，将边AC绕点C顺时针旋转α得到线段CE，在射线BC上取点D，使得∠CDE=α．请求出线段BC与DE的数量关系；
（2）类比探究：如图2，若α=90°，作∠ACE=90°，且CE=12AC，其他条件不变，则线段BC与DE的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形ABCD的边长为6，点E是边AD上一点，且AE=2，把线段CE逆时针旋转90°得到线段EF，连接BF，直接写出线段BF的长．
类型五 相似三角形与多边形综合
39．（2023·山东济南·中考真题）在矩形ABCD中，AB=2，AD=23，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．
(1)如图1，连接BD，求∠BDC的度数和DGBE的值；
(2)如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；
(3)如图3，当EA=EC时，在平面内有一动点P，满足PE=EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．
40．（2023·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=αa≥90°,AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．
问题探究：
(1)先将问题特殊化，如图（2），当α=90°时，直接写出∠GCF的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．
问题拓展：
(3)将图（1）特殊化，如图（3），当α=120°时，若DGCG=12，求BECE的值．
41．（2021·山东日照·中考真题）问题背景：
如图1，在矩形ABCD中，AB=23，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①AEDF=_____；②直线AE与DF所夹锐角的度数为______．
（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为______．
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