新疆乌鲁木齐市第八中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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数学问卷
（命题人：丁悦悦 审核人：朱勇、吕民 考试时间：120分钟卷面分值：150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，向量，且，则( )
A. B. C. D.
2. 已知非零向量，若，则与的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
3. 复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. πB. 2πC. 4πD. 8π
5. 函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A B.
C. D.
6. 体积为27的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（ ）
A. 重心、外心、垂心B. 外心、重心、垂心
C 重心、外心、内心D. 外心、重心、内心
8. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’ Hat-BxTherem”的定理：球冠的表面积（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为，则该工艺品的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列命题错误的是（ ）
A. 若A、B、C是平面内的三点，则
B. 若、是两个单位向量，则
C. 若、是任意两个向量，则
D. 向量，可以作为平面内所有向量的一组基底
10. 计算下列各式的值，其结果为1的有（ ）
A. B.
C. D.
11. 设复数，其中i为虚数单位，则下列正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则的最大值为3
C. 方程在复数集中有6个解
D. 若，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
12. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________.
13. 如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF拼成的一个较大的等边三角形，若，，则的面积为________．
14. 已知，，，，则向量在向量上的投影向量为______（用坐标表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在棱长为3的正方体中，分别为棱的中点．
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积．
16. 在中，，从条件①；条件②，两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题.
（1）若，求的面积；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
17. 如图所示，甲乙两人站在同一水平面上，与缆车在同一铅垂平面内且相距50米．假设甲､乙两人的视线处于同一水平线且缆车处于静止状态，甲处观察缆车的仰角为，乙处观察缆车的仰角为，甲处观察缆车的仰角为，乙处观察缆车的仰角为．
（1）求缆车相对甲乙所在水平面的高度；（结果用表示）
（2）若测得，求缆车之间的距离．
18. 在中，过重心G的直线与边交于P，与边交于Q，点P，Q不与B，C重合.设面积为，面积为，，.
（1）求；
（2）求证：；
（3）求取值范围.
19 已知函数，其中常数．
（1）在上单调递增，求取值范围；
（2）若，将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，且过，若函数在区间（，且）满足：在上至少含30个零点，在所上满足上述条件的中，求的最小值；
（3）在（2）问条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．