四川省成都锦江区嘉祥外国语高级中学2024届高三第二次诊断性考试理科数学试题（原卷版+解析版）

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第I卷 选择题（60分）
一，选择题.（每题5分，共60分，每题只有1个正确选项）
1. 曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）.
A. B. C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由，得，故，故切线的斜率为，故选C.
考点：导数的集合意义.
2. 已知为虚数单位，，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两复数相等，实部、虚部分别相等列方程组，求解可得结果.
【详解】由题得，
所以，解得，所以.
故选：C
3. 如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据任意角的概念以及角的终边所在位置，即可确定角的集合.
【详解】终边落在阴影部分的角为，，
即终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是．
故选：B．
4. 设向量, ,若表示向量的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量等于( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知，利用向量的坐标运算即可求解.
【详解】因为对应有向线段首尾相接,所以,
故有.
故选：D．
5. 一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由关系式得到的数列满足，根据点与直线之间的位置关系，的图象在上方．根据选项即可得到正确的答案．
【详解】一给定函数的图象在下列四个选项中，并且对任意，由关系式得到的数列满足．得，所以在上都成立，即，，所以函数图象都在的上方．故A符合，其他均不符合.
故选：A
6. “圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（ ）
A. 充分没必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由直线与圆相切的等价条件，易判断
【详解】由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”“直线与圆相切”，因此充分性成立；
“直线与圆相切”“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；
可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件
故选：C
7. 从长方体的个顶点中任选个，则这个点能构成三棱锥的顶点的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出基本事件总数，再计算出这个点在同一个平面的概率，最后利用对立事件的概率公式计算可得.
【详解】根据题意，从长方体的个顶点中任选个，有种取法，
“这个点构成三棱锥的顶点”的反面为“这个点在同一个平面”，
而长方体有个底面和个侧面、个对角面，一共有种情况，
则这个点在同一个平面的概率，
所以这个点构成三棱锥的概率为.
故选：B．
8. 若函数在区间内可导，且，则 的值为（ ）
A. B.
C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的定义即可求解.
【详解】由题意知，.
故选：B
9. 如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰．以下4个命题中，假命题的是（ ）
A. 等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B. 等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C. 等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D. 等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件画出图形，结合线面角，二面角，四边形外接圆，球的性质等知识，逐一判断即可．
【详解】
如图，等腰四棱锥S－ABCD中，作SO⊥底面ABCD，因为SA＝SB＝SC＝SD，所以∠SAO＝∠SBO＝∠SCO＝∠SDO，即等腰四棱锥腰与底面所成的角相等，故A正确；
等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角相等或互补不一定成立，如图，OM⊥CD，ON⊥BC，∠SMO与∠SNO均为侧面与底面所成的二面角，但OM与ON不一定相等，故B错误；
等腰四棱锥中，SA＝SB＝SC＝SD，得OA＝OB＝OC＝OD，即等腰四棱锥的底面四边形存在外接圆，故C正确；
因为SO⊥底面ABCD，OA＝OB＝OC＝OD，等腰四棱锥的外接球球心在棱锥的高所在直线上，故等腰四棱锥各顶点在同一个球面上，故D正确．
故选：B．
10. 以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|＜σ)等于（ ）
A. Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B. Φ（1）－Φ(－1)
C. ΦD. 2Φ(μ＋σ)
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正态分布N(μ，σ2)与标准正态分布的关系求解．
【详解】若ξ～N(μ，σ2)，则
P(x1＜x＜x2)＝Φ－Φ，
P(|ξ－μ|＜σ)＝P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)
＝Φ－Φ
＝Φ(1)－Φ(－1)，
故选：B.
11. 规定，其中，且，这是排列数（，且）的一种推广.则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据所给公式即可求解.
【详解】,
故选：C
12. 如果为各项都大于零且不相等的等差数列，则下列选项一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的基本量，通过作差比较大小即可.
【详解】因为如果为各项都大于零组不相等的等差数列，
所以，
对于A，B，，
因为，所以，所以，即，故错误，B正确；
对于C，D，，
因为，所以，大于0或者小于0不能确定，
所以和
大小关系无法确定，故错误，
故选：B.
第II卷 非选择题（90分）
二．填空题.（每题5分，共20分）
13. 已知向量，向量，则最大值是____________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算求出，然后利用向量求模的计算和三角函数的性质即可求解.
【详解】因为向量，向量，
所以，
则
，
所以当时，即时，取最大值，
故答案为：.
14. 已知定点A,B，且=4,动点P满足,则的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：根据双曲线的定义，可知的轨迹是的双曲线右支，如下图，当运动到时，最小，最小值为
考点：双曲线的定义
15. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有___________个
【答案】4
【解析】
【分析】把四棱锥放在正方体中，分析得到答案.
【详解】四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数最多是4个，即，，，，
故答案为：4.
16. 某种疾病的患病率为，通过验血诊断该病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为，每人的诊断结果互不影响，则若某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为_______
【答案】
【解析】
【分析】将每种事件的概率表示出来，再利用条件概率公式或全概率公式即可求解.
【详解】设“阳性”， “阴性”；“患病”,“不患病”；.
由题知：某种疾病的患病率为，则，，
通过验血诊断该病的误诊率为，则，，
漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为，则，，
则诊断结果是阳性概率为：
，
则某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为：
，
故答案为：.
三、必考题.（以下试题每个考生都必须作答）（每题12分，共60分）
17. （1）已知，，分别为三个内角，，的对边．请用向量方法证明等式；
（2）若三个正数，，满足，证明：以，，为长度的三边可以构成三角形．
【答案】（1）证明见解析 ；（2）证明见解析 ．
【解析】
【分析】（1）根据，由向量的模长公式即可求解，
（2）根据余弦定理以及三角函数的有界性，可得，即可得三边满足的关系求证.
【详解】因为，
则，
即．
（2）因为，
所以，即，
则即
所以，，为长度的三边可以构成三角形．
18. 如图已知是所在平面的一条斜线，点是在平面上的射影，且在的高上．，与之间的距离为，点．
（1）证明是二面角的平面角；
（2）当时，证明平面；
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用二面角平面角的定义进行证明为二面角的平面角；
（2）欲证平面，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证与平面内两相交直线垂直，易证，，问题得证．
【小问1详解】
如图由已知，
，平面，，平面，
∴．
又平面，平面，
∴平面，
又都在所在的平面内，与必相交，
因为平面，因为平面，
，，
∴为二面角的平面角．
【小问2详解】
由已知，，
在与中，，，
又，，故有，
由（1）得平面，平面，
又，
又，平面，平面，平面，
平面．
19. 某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）：
（1）恰好有两家煤矿必须整改的概率；
（2）某煤矿不被关闭的概率；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用组合数及概率的意义可解.
（2）利用逆向思维求其对立事件的概率，从而得解.
【小问1详解】
依题意，可知每家煤矿必须整改的概率为，且每家煤矿安检是否必须整改是相互独立的，
所以恰好有两家煤矿必须整改的概率为.
【小问2详解】
某煤矿被关闭的原因是，两次安检都不合格，
所以某煤矿被关闭的概率为，
故某煤矿不被关闭的概率为.
20. 已知点P到圆的切线长与到y轴的距离之比为
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设曲线C的两焦点为､，试求t的取值范围.使得曲线C上不存在点Q，使.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设点P的坐标为，根据题意列出方程，即可得解；
（2）分和两种情况讨论，结合双曲线和椭圆的定义和性质计算即可.
【小问1详解】
设点P的坐标为，则，
整理得，
即动点P的轨迹C的方程为；
【小问2详解】
曲线C方程可化为，
当时，曲线C是双曲线，此时曲线C上必存在点Q，使得，
当时，曲线C是椭圆，其长半轴､短半轴分别是，，
设椭圆半焦距为，，，则，
，
即，
∴.
∴，
又，
∴，
即，
∴，
又，∴，
∴当且时，曲线C上存在点Q，使得，
∴要使得曲线C上不存在点Q，使得，
【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
21. 已知函数，其中，设为的极小值点，为的极值点，，并且．将点依次记为A，B，C，D．
（1）求的值；
（2）若四边形为梯形且面积为1，求a，d的值．
【答案】（1）；
（2），；
【解析】
【分析】( 1 )先对函数进行求导，讨论满足的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极小值，求出的值；
(2)讨论满足的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极小值，求出的值，再根据，是的两个根求出，，然后分别求出A，B，C，D四个点的坐标，由四边形ABCD是梯形及BC与AD不平行，得，由四边形ABCD为梯形且面积为1建立两个等量关系即可求得的值.
【小问1详解】
令，
由得或，
， ，
当时，，当时，，
故函数在上递减，在上递增，
所以在处取极小值，即.
【小问2详解】
，，
在，处取得极小值，即
由，即，
，
，
由四边形为梯形是梯形及与不平行，得.
所以，即，
由四边形的面积为1，得，
即，解得，
从而得.
四．选考题.（请从22～23题中任意选做一题，若都做，则按22题评分，在作答前，请必须将你选做的题对应的题号填涂到答题卡对应位置，若错涂，漏涂，则不给分.）（每题10分）
22. 在平面直角坐标系中，已知直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴，轴正半轴分别交于两点，且的面积是．
（1）求；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助参数方程可得其普通方程，得到两点后，结合面积计算即可得解；
（2）借助极坐标方程与平面直角坐标方程的关系计算即可得.
【小问1详解】
由直线（为参数），故其普通方程为，
由题意可得，
令，可得，令，可得，
则，解得；
【小问2详解】
由，故，即，
即有，即.
23. 已知均为正实数，且满足．
（1）求的最小值；
（2）求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）结合已知等式，将化为，利用基本不等式，即可求得答案；
（2）利用柯西不等式，即可证明原不等式.
【小问1详解】
因为均为正实数，，
所以
，当且仅当，
即时等号成立．
小问2详解】
证明：根据柯西不等式有，
所以．
当且仅当，即时等号成立，
即原命题得证.