2025年高考数学一轮复习专题3.2 函数的单调性与最值-(原卷版+解析版)

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题型一判断函数单调性
例1．（2022秋·云南红河·高一校考阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判断法则：“同增异减”即可求解.
【详解】令，解得的定义域为
在上递增，在上递减，函数在上为增函数
函数的单调增区间为
故选：D
例2．（2023·浙江·高二专题练习）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】对于BCD，根据各个选项观察均是向右平移两个单位长度的形式，根据原函数的单调区间可以判断平移后的单调区间，进而判断上的单调性得到结论，而根据二次函数的单调性可判断A的正误.
【详解】对于选项：开口向上，对称轴，所以在上单调递减，故不符合题意.
对于选项：是向右平移了两个单位长度，所以在在上单调递减，故不符合题意.
对于选项：是向右平移了两个单位长度，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以不符合题意.
对于选项：是向右平移了两个单位长度，
所以在上单调递增，则在上单调递增，符合题意.
故选.
练习1．（2023春·福建福州·高三校考期中）（多选）函数是定义在上的偶函数，在上的图象如图所示，则函数的增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据函数图象，结合函数的奇偶性得到的单调增区间即可.
【详解】由图象，可知在上单调递增，在上单调递减.
因为函数是定义在上的偶函数，
所以函数的图象关于轴对称，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的增区间是和.
故选：BC.
练习2．（2022·高三单元测试）（多选）下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】在A中，，即可得到单调性；在B中，，即可得到单调性；在C中，，即可得到单调性；在D中，，即可得到单调性.
【详解】在A中，当时，在上为减函数；
在B中，当时，在上既不是增函数，也不是减函数；
在C中，当时，在上是增函数；
在D中，当时，在上是增函数.
故选：CD
练习3．（2023·四川·高三统考对口高考）在定义域内单调递减的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可.
【详解】函数在定义域上单调递减，故A符合；
函数在定义域上单调增，故B不符合；
函数在定义域上不是单调函数，故C不符合；
函数在定义域上单调递增，故D不符合.
故选：A.
练习4．（2020秋·福建泉州·高一晋江市第一中学校考阶段练习）下列四个函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数、二次函数、反比练习函数的性质判断每个选项的函数在上的单调性，即可得答案.
【详解】对A，一次函数在上为减函数，A错误；
对B，二次函数在上为减函数，
在上为增函数，B错误；
对C，反比练习函数在上为减函数，C错误；
对D，二次函数在上为增函数，D正确.
故选：D.
练习5．（2022秋·浙江温州·高三校考期中）函数单调减区间是___________.
【答案】
【分析】画出函数的图像，从图像上即可得结论.
【详解】由，
如图所示：
由图可知函数单调减区间是：，
故答案为：.
题型二求函数的单调区间
例3．已知函数
(1)作出函数的图象；
(2)写出函数的单调区间；
(3)当时，求的值域.
【答案】(1)见解析
(2)单调增区间为，单调减区间为
(3)
【分析】（1）根据二次函数的图象作图即可；
（2）根据函数图象写出单调区间即可；
（3）根据函数在上的单调性，即可得出答案.
【详解】（1）解：，
作出函数图象，如图所示：
（2）解：由图可得：函数的单调增区间为，
单调减区间为；
（3）解：因为函数在上递减，
所以，
所以的值域为.
例4．（2023·高一课时练习）函数的单调减区间是______．
【答案】
【分析】根据条件将函数化为，然后根据一次函数的单调性即可求解.
【详解】因为函数可化为，
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增，
所以函数的单调递减区间为，
故答案为：.
练习6．（2022秋·广西桂林·高三校考期中）函数的单调增区间是______.
【答案】
【分析】由函数解析式作出图像，结合图像判断单调区间.
【详解】函数的图像如下：
由图像其单调递增区间是,
故答案为：.
练习7．（2022秋·江苏常州·高三校联考阶段练习）函数的单调增区间是___________.
【答案】和
【分析】先分类讨论，去掉绝对值符号，然后利用二次函数的开口方向和对称轴判断单调递增区间即可.
【详解】当时，，此时开口向上，对称轴为，因为，所以在上单调递增；当时，，此时开口向下，对称轴为，因为，所以在单调递增；
故答案为：和
练习8．（2023秋·上海浦东新·高三校考期末）函数的增区间为______.
【答案】
【分析】利用定义法进行判断即可得解.
【详解】任取，
，
因为，，
当时，，，
此时，，为增函数，
所以函数的增区间为.
故答案为：
练习9．（2023秋·吉林·高一吉林省实验校考期末）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】讨论二次函数和复合函数的单调性即可.
【详解】令解得，
即函数的定义域为，
因为二次函数在单调递增，单调递减，
所以在单调递减，单调递增，
故选:A.
练习10．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是______.
【答案】
【分析】先求出函数的定义域，在定义域内，根据二次函数、幂函数及复合函数的单调性即可求出该函数的增区间．
【详解】由得或，
∴函数的定义域为．
∵函数在上单调递减，在上单调递增，
又∵函数在其定义域上单调递减，
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
故答案为：．
题型三函数的最值问题
例5．（2023·高三课时练习）已知函数有最小值，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】化简函数，去绝对值后，根据函数有最小值得出函数的变化趋势，即可求出实数a的取值范围.
【详解】解：由题意，
在中，
∵函数有最小值，
∴函数应在上单调递减，在上单调递增或常函数，
∴，解得：，
∴有最小值时，实数a的取值范围是.
故答案为：.
例6．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数的最大值为______.
【答案】/
【分析】依题意可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得解.
【详解】因为，
令，则，
令，，因为函数在上单调递增，所以，
即，则，
即函数的最大值为，当且仅当时取等号.
故答案为：
练习11．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上有最小值-1，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】配方后得到时，取到最小值-1，从而.
【详解】，要想取到最小值-1，则，
所以.
故答案为：.
练习12．（2022春·浙江嘉兴·高二校考期中）函数的最大值为负值，则a的取值范围为（ ）
A．B． C．或D．a＞4
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质即得.
【详解】∵的二次项系数为，
∴函数图象开口向下，
∵函数的最大值为负值，
∴，
∴.
故选：B．
练习13．（2022秋·高一课时练习）（多选）已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据题意计算每个函数的值域，再分析是否有界即可.
【详解】对于A，，由于，所以，
所以，故不存在正数M，使得成立.
对于B，令，则，，当时，u取得最大值4，所以，所以，故存在正数2，使得成立.
对于C，令，则，易得，所以，即，故存在正数5，使得成立.
对于D，令，则，，则，易得，所以，故不存在正数M，使得成立.
故选：BC
练习14．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）设函数的最大值为M，最小值为m，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】C
【分析】根据基本不等式，结合分离常数法，可得答案.
【详解】由函数，显然，当，，
当时，，当且仅当，即时，等号成立，则，故；
当时，，当且仅当，即时，等号成立，则故；
综上可得，，，则.
故选：C.
练习15．（2022秋·青海·高三青海师大附中校考阶段练习）若在上的最大值为，则实数的最大值为__________.
【答案】
【分析】解方程可得出，分、两种情况讨论，结合可求得实数的取值范围，即可得解.
【详解】由可得，解得或，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数在上单调递减，此时；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
由题意可得，此时，.
综上，，因此，实数的最大值为.
故答案为：.
题型四恒成立问题与存在性问题
例7．（2023春·湖南·高三桃江县第一中学校联考期中）已知函数，若，恒成立，则实数t的取值范围是___________．
【答案】
【分析】由，，分离参数可得，再由函数单调性可求t的取值范围.
【详解】，，，
，
∵在上递减，，
∴．
故答案为：
例8．（2023秋·上海徐汇·高三上海市西南位育中学校考期末）已知函数，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数、指数函数的性质求出、的值域，依题意可得，即可得到不等式，解得即可.
【详解】解：因为，所以，所以，即，
由，则，即，
因为对于任意，存在，使得，
所以，则，解得，即.
故选：A
练习16．（2021秋·天津宁河·高三天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习），使得不等式成立，则的范围是______.
【答案】
【分析】，使得不等式，其中，即可得答案.
【详解】，使得不等式，其中.
又，当且仅当时取等号，即.
故答案为：.
练习17．（2022秋·辽宁·高三辽阳市第一高级中学校联考期末）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得到，根据函数单调性得到，，得到不等式，求出实数的取值范围是.
【详解】若，，使得，
故只需，
其中在上单调递减，故，
在上单调递增，故，
所以，解得：，
实数的取值范围是.
故选：C
练习18．（2022秋·山西朔州·高二校考期末）已知，，若，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知，根据函数的单调性求得这两个函数的最小值，列出不等式可解得答案.
【详解】由题意，，使得，则需满足，
在上单调递增，故，
在上单调递减，故，
故，即，
故选：A
练习19．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由对数函数定义得到且，再分与两种情况，结合函数单调性求出最值，得到实数的取值范围.
【详解】由对数函数的定义可知，且，
当时，单调递增，，故
因为，则，
所以，解得，
与求交集，得到，
当时，单调递减，，故，
由于当时，，故此时无解，
综上：实数的取值范围是.
故选：B
练习20．（2023秋·云南西双版纳·高三统考期末）已知，对恒成立，则实数的取值范围_______．
【答案】
【分析】分析可得原题意等价于，对恒成立，根据恒成立问题结合函数单调性分析求解.
【详解】若，则，
令，则，
可得，整理得，
故原题意等价于，对恒成立，
∵在上单调递增，则，
∴，解得，
即实数的取值范围.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：
对，，等价于；
对，，等价于.
题型五利用函数的单调性求参数的取值范围
例9．（2023秋·四川达州·高三校考阶段练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ______
【答案】
【分析】利用二次函数的单调性列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围.
【详解】二次函数的图像开口向上，单调增区间为，
又函数在区间上是增函数，
则，解之得，则实数的取值范围是
故答案为：
例10．（2023春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中学校考阶段练习）已知，其中，为实数.
(1)若不等式的解集是，求的值；
(2)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用韦达定理求出、可得答案；
（2）令，可知在上为减函数，法一：利用单调性定义可得，再由的范围可得答案；法二：（复合函数观点），令，，分、讨论的单调性可得答案.
【详解】（1）因为不等式的解集是，所以关于的方程的两根分别为、，所以，解得，，因此；
（2）因为，令，其中，
由题意可知，函数在上为减函数，
法一（定义法）任取，且，则，且，
所以
，所以，可得，
而，则，.
因此，当函数在区间单调递减，的取值范围是；
法二（复合函数观点），令，，
因为，所以，且在单调递增，
因为在单调递减，所以在单调递减.
①若，则为增函数，不符合题意；
②若，则在单调递减，在单调递增，
所以，所以，解得，
综上所述，函数函数在区间单调递减，的取值范围是.
练习21．（2023秋·广东广州·高三统考期末）函数在上不单调，则实数k的取值范围为___________．
【答案】
【分析】根据函数在上不单调，可得函数的对称轴属于区间，从而解出的取值范围即可．
【详解】解：根据题意，二次函数的对称轴为，
函数在上不单调，
，即，则实数k的取值范围为.
故答案为：．
练习22．（2022秋·四川宜宾·高三统考阶段练习）函数在上为减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由对勾函数的性质，得函数的单调减区间，得t的取值范围.
【详解】在和上单调递增，在和上单调递减，
所以.
故选：B.
练习23．（2019秋·云南楚雄·高三统考期末）若函数在上单调递增，则的最大值为__________．
【答案】
【分析】首先函数的对称轴，依题意可得，即可求出参数的取值范围，即可得解.
【详解】解：函数的对称轴为，开口向上，
又函数在上单调递增，所以，解得，
所以的最大值为.
故答案为：
练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知，若函数在区间上为减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出函数解析式，再求出函数的单调减区间，然后结合已知条件可求出的取值范围.
【详解】令，则，
所以，
所以在上递减，
因为函数在区间上为减函数，
所以，得，
故选：A
练习25．（2023·全国·高三专题练习）使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出使得函数在区间上单调递减时的范围，结合充分性、必要性的定义即可得出答案.
【详解】由函数在区间上单调递减，
得在区间上单调递减，
所以，解得.
结合A，B，C，D四个选项，知使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是.
故选：C.
题型六利用单调性解不等式
例11．（2023·河南·校联考三模）已知函数.若.则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为函数定义域为，，，
所以是奇函数且在上单调递增，
由0，可得，则，解得，
即的取值范围是.
故答案为：.
例12．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知函数，且 ，则（ ）
A．B． C．D．
【答案】B
【分析】根据 的单调性和对称性求解.
【详解】 是增函数，又 ，
，
即 是的中心对称点， ，
条件 ，即 ，并且， ；
对于A，若 ，则 ，错误；
对于B，因为函数 是增函数， ，正确；
对于C，若 ，则 ，错误；
对于D，若 ，则有 ，错误；
故选：B.
练习26．（2020秋·河北·高三统考学业考试）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合的单调性和奇偶性求得正确答案.
【详解】因为，所以在上是奇函数.
因为在上是增函数，又在上是减函数，
所以在上是增函数.
所以，
所以，
所以不等式的解集是.
故选：A
练习27．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数是实数集上的减函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由函数为减函数可得，从而得出答案.
【详解】由函数是实数集上的减函数，又
所以，解得
故选：C
练习28．（2022秋·高三课时练习）已知是定义在上的减函数，则不等式的解集为________.
【答案】
【分析】根据函数定义域及减函数列不等式组求解集即可.
【详解】因为是定义在上的减函数，
则，可得，故解集为.
故答案为：
练习29．（2022秋·江西吉安·高三永新中学校考期中）已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构建，可得在上单调递减，根据题意结合单调性解不等式.
【详解】∵，即，
构建，
可知当时，则，故在上单调递减，
又∵，即，且，
则，解得，
故不等式的解集为.
故选：C.
练习30．（2023春·广东东莞·高三东莞市东华高级中学校联考阶段练习）（多选）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】构造函数，由其单调性得出，可判断A，进而由指数和对数函数的单调性判断B、C，再结合不等式性质判断选项D.
【详解】不等式可化为，
构造函数，由函数单调性法则易知函数在上单调递减.
由可知，，故选项A错误；
因为，所以，，故选项B、C正确；
，因为，所以，所以，故选项D错误.
故选：BC
题型一
判断函数单调性
题型二
求函数的单调区间
题型三
函数的最值问题
题型四
恒成立问题与存在性问题
题型五
利用函数的单调性求参数的取值范围
题型六
利用单调性解不等式