2025年高考数学一轮复习专题3.4 二次函数与幂函数-(原卷版+解析版)

这是一份2025年高考数学一轮复习专题3.4 二次函数与幂函数-(原卷版+解析版)，文件包含2025年高考数学一轮复习专题34二次函数与幂函数原卷版docx、2025年高考数学一轮复习专题34二次函数与幂函数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。

题型一二次函数的图象
例1．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知a，b，c成等比数列，则二次函数的图像与x轴的交点个数是___________.
【答案】1
【分析】根据题意有，再借助二次函数的判别式判断交点个数
【详解】a，b，c成等比数列,则，
，
则二次函数的图像与x轴有1个交点，
故答案为：1.
例2．（2021秋·上海徐汇·高三上海市第二中学校考阶段练习）二次函数的图像如图所示，则下列结论中正确的个数是____．
（1）异号；（2）当和时，函数值相等；（3）；（4）当时，的取值只能为0.
【答案】3
【分析】根据二次函数的图象得到对称轴即可结合二次函数的性质求解.
【详解】根据图象可知：是二次函数与的两个交点，所以可得对称轴方程为
，故对称轴为，故异号且，（1）（3）正确；
因为对称轴为，故当和时，函数值相等，
当时，的取值为0和4，故（2）正确，（4）错误；故正确的个数是3.
故答案为：3.
练习1．（2022秋·辽宁·高三校联考阶段练习）若二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据图像求得，进而求得一元二次不等式的解集.
【详解】由图像可得当时，，所以二次函数，
由于二次函数图像过点，
所以，解得，
所以一元二次不等式，
即的解集为.
故选：C
练习2．（2022秋·四川遂宁·高三遂宁中学校考期中）若函数恒满足对称，则实数m的取值为______
【答案】
【详解】根据确定函数图象的对称轴，结合二次函数对称轴方程即可求得答案.
函数恒满足对称，
则图象关于直线对称，则，
故答案为：
练习3．（2022秋·江苏宿迁·高三校考阶段练习）（多选）二次函数的图像恒在轴上方的一个必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】先由二次函数图象性质得出图像恒在轴上方的充要条件，再根据必要条件定义即可求.
【详解】二次函数的图像恒在轴上方的充要条件为，
又 ，所以必要条件为、.
故选：BD
练习4．（2020秋·浙江温州·高三校考阶段练习）已知，且是方程的两根，则大小关系可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意画出函数图象，根据函数图象即可得答案.
【详解】，由题意得，，而，借助图象可知，
的大小关系可能是，
故选：D.
练习5．（2022秋·安徽合肥·高三中国科技大学附属中学校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．6C．D．3
【答案】C
【分析】由图可得方程的两根为2和4，利用根与系数的关系结合列式求得的值，则答案可求.
【详解】由直线，，知，又由二次函数的对称性和图象知顶点为，
所以，解得，由得，，则．
故选：C.
题型二二次函数的单调性
例3．（2021秋·江苏苏州·高三统考期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】当时，函数在上单调递增，合乎题意；
当时，则二次函数图象的对称轴方程为，
若函数在上单调递增，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
例4．（2022秋·江西宜春·高一校考阶段练习）设是定义在上偶函数，则在区间上是（ ）
A．增函数B．减函数C．先增后减函数D．与，有关，不能确定
【答案】B
【分析】根据偶函数的特点解出，然后根据二次函数的图像和性质进行判断即可.
【详解】是定义在上偶函数，∴定义域关于原点对称，即，∴，
则，由，
即，解得，∴，
函数图像抛物线开口向下，对称轴为，
则函数在区间上是减函数．
故选：B．
练习6．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间单调递减，则实数的取值范围为 __．
【答案】
【分析】根据一元二次函数单调性，结合条件，可知，然后求出的取值范围即可.
【详解】易知二次函数的单调递减区间为，
又因为函数在区间单调递减，
所以，
即，解得.
故答案为：.
练习7．（2022秋·海南·高三嘉积中学校考期中）已知在上为减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由一次函数、二次函数的性质及分段函数的单调性列不等式组求参数范围.
【详解】由在上递减，要使在R上递减，
所以，可得.
故选：B
练习8．（2023秋·吉林·高三吉林市田家炳高级中学校考期末）已知函数在区间上是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可得或，解出即可得出实数k的取值范围.
【详解】函数的对称轴为.
若函数在区间上单调递减，则应有，所以；
若函数在区间上单调递增，则应有，所以.
综上所述，实数k的取值范围是或.
故选：C.
练习9．（2022秋·江苏连云港·高三统考期中）（多选）已知函数，则（ ）
A．是上的偶函数B．是上的偶函数
C．在区间上单调递减D．当时，的最大值是4
【答案】BCD
【分析】由条件求出函数的解析式，根据偶函数的定义判断A，根据二次函数的性质判断函数的单调性，判断C，求函数在上的值域，判断D，根据偶函数的定义判断函数的奇偶性.
【详解】因为，将变换为可得，
因为，，，所以函数不是上的偶函数，A错误；
因为，由二次函数性质可得函数在区间上单调递减，C正确；
由，可得，所以，所以当时，，所以函数在上的最大值是4，D正确，
设，则，所以，所以函数是上的偶函数，B正确；
故选：BCD.
练习10．（2023春·广西南宁·高三校考开学考试）函数的单调减区间为______；
【答案】
【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可.
【详解】解：令，则可以看作是由与复合而成的函数.
令，得或.
易知在上是减函数，在上是增函数，而在上是增函数，
所以的单调递减区间为.
故答案为：.
题型三二次函数在区间上的最值问题
例5．（2022·高三单元测试）已知函数R)．当时，设的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题设在上递增，在上递减，讨论m与区间的位置关系求的最大值，进而判断最大值的最小值.
【详解】由，故在上递增，在上递减，
当，则上递减，故最大值，
当，则最大值，
当，则上递增，故最大值，
综上，的最小值为.
故选：C
例6．（2023·全国·高一专题练习）函数在区间上的最大值为．求的解析式；
【答案】
【分析】首先求函数的对称轴，再讨论对称轴和定义域端点的关系，再结合函数的单调性求函数的最大值，即可求解.
【详解】
当，即时，在区间上为增函数，
当，即时，；
当时，在区间上为减函数，
综上所述，.
练习11．（2023秋·河北承德·高三统考期末）已知函数的最大值为0，关于的不等式的解集为，则______，的值为______.
【答案】
【分析】由题知，根据二次函数在对称轴处取得最大值即可化简求出；根据不等式的解集为，可得的解集为，然后利用韦达定理表示出，再利用即可出结果.
【详解】因为函数的最大值为0，
所以当时，函数有最大值，即，
化简得出.
不等式的解集为，
即的解集为，
设方程的两根为，
则，所以，
即，
即，
所以.
故答案为：；.
练习12．（2022秋·河北沧州·高三统考期中）（多选）已知函数则（ ）
A．为偶函数B．在区间上单调递减
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】作出在区间上的图象逐项判断.
【详解】解：作出在区间上的大致图象如图所示：
的定义域不关于原点对称，不是偶函数，故A错误；
由图象可知，在区间上单调递减，故B正确；
当或时，，当时，，故正确.
故选：BCD
练习13．（2021秋·广东云浮·高三统考期末）（多选）若函数满足，，则（ ）
A．B．
C．图像的对称轴是直线D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据已知求出，再利用二次函数的性质判断得解.
【详解】由题得，即，解得，
所以.
对于A项，因为，故A正确；
对于B项，因为，故B正确；
对于C项，因为的对称轴为，故C项错误；
对于D项，因为，所以的最小值为，故D项正确.
故选：ABD.
练习14．（2023秋·江苏淮安·高三淮阴中学校考期末）已知函数的值域为，则函数定义域可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】利用函数的奇偶性，以及单调性，分别判断每个选项，可得答案.
【详解】由于为偶函数，其图象如图示：
故当时，，则；
当时，此时递增，则；
当时，此时递减，，
当时，，
故函数的值域为，则函数定义域可能为，，
故选：
练习15．（2023·全国·高三专题练习）设二次函数在上有最大值，最大值为，当取最小值时，（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质求出，然后利用基本不等式即得.
【详解】在上有最大值，
且当时，的最大值为，
即且，
当且仅当时，即时，有最小值2，
故选：A．
题型四二次函数恒成立问题
例7．（2019秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分离参数，将问题转化为，恒成立，结合基本不等式求解最值即可得解.
【详解】若命题“，”是真命题，
则，，即恒成立，
，当且仅当时等号成立，
∴，即实数的取值范围是.
故选：C．
【点睛】此题考查根据全称命题的真假求参数的取值范围，利用分离参数，将问题转化为求函数最值求解范围，需要注意等价变形.
例8．（2022秋·广东广州·高三广东实验中学越秀学校校考期中）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知，命题“，”是真命题，分和两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.
【详解】由题意可知，命题“，”是真命题.
当时，则有，不合乎题意；
当时，由，可得，则有，
，当且仅当时，等号成立，
所以，.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
练习16．（2023·全国·高三专题练习）p：，为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题设命题为真，结合不等式恒成立求参数a的范围，再由充分、必要性的定义确定充分不必要条件.
【详解】由题设命题为真，即在上恒成立，
所以，故A为充分不必要条件，B为充要条件，CD必要不充分条件.
故选：A
练习17．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）“，”是真命题，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意确定，根据全称命题的真假，可得，即可求得答案.
【详解】由题意知，，
故“，”是真命题，则，则，
故选：A
练习18．（2023秋·湖南衡阳·高三统考期末）命题p：，的否定为___________；使命题p成立的一个x的值为___________．
【答案】 ，
【分析】由特称命题的否定为全称命题得第一空的答案；验证时，命题p成立，即得第二空答案.
【详解】解：因为命题p：，，
所以命题p：，；
当时，成立，
所以命题p成立的一个x的值为1.
故答案为：，，1.
练习19．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案.
【详解】命题“”为假命题，”是真命题，
方程有实数根，则，解得，
故选：A.
练习20．（2023·全国·高三专题练习）若“，”是假命题，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】求出给定命题的否定，再由所得命题为真命题，求解作答.
【详解】命题“，”的否定是：，，
依题意，命题“，”为真命题，
当时，成立，则，
当时，不等式恒成立，则，解得，
综上得：，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
题型五幂函数的定义
例9．（2021秋·高三课时练习）下列函数为幂函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义即可求解.
【详解】由幂函数的定义可知：是幂函数，，和的系数不为1，故不是幂函数，
故选：D
例10．（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）若幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．B．3C．或3D．1或
【答案】A
【分析】根据幂函数的概念和单调性可求出结果.
【详解】因为函数为幂函数，且在区间上单调递增，
所以且，
由，得或，
当时，，满足题意；
当时，足，不符合题意.
综上.
故选：A.
练习21．（2022秋·高三单元测试）（多选）已知函数为幂函数，则实数的可能性取值为（ ）
A．1B．-2C．3D．-4
【答案】AD
【分析】根据幂函数定义得到方程，求出实数，检验后得到答案.
【详解】由题意得，解得或，
当时，，当时，，均满足要求.
故选：AD
练习22．（2023春·湖北宜昌·高三校联考期中）已知点在幂函数的图象上，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义求出a，将已知点的坐标代入解析式即可求解.
【详解】函数是幂函数，
，即点在幂函数的图象上，
2，即，故.
故选：D.
练习23．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】设幂函数，将点代入求出的值，再利用幂函数的单调性求解即可.
【详解】设幂函数，，
因为幂函数的图象过点，所以，解得，
所以，的定义域为，且在上单调递减，
因为，所以，解得，
故答案为：
练习24．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知幂函数的图像过点，则的值为___________．
【答案】
【分析】设幂函数为，代入点计算，从而得函数解析式，再代入计算即可.
【详解】设幂函数为，由题意，，
解得，所以幂函数解析式为，
所以.
故答案为：
练习25．（2022秋·黑龙江大庆·高三大庆中学校考期中）函数是幂函数，且在上单调递增，则 （ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【分析】由幂函数的性质得出解析式，再求函数值.
【详解】由题意可知，，解得，.
故选：B
题型六判断幂函数的图象
例11．（2023·山东临沂·高三校考期末）下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，②，③，④
D．①，②，③，④
【答案】A
【分析】根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案.
【详解】函数为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应；
函数，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应；
的定义域、值域都是，该函数图像应与③对应；
，其图像应与④对应．
故选：A．
例12．（2023秋·湖北·高三校联考期末）（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（ ）
A．一定是单调函数B．可能是非奇非偶函数
C．图像必过点D．图像不会位于第三象限
【答案】AD
【分析】根据幂函数随着变化的图像与性质，即可判断正误.
【详解】幂函数的解析式为.
当时，，此函数先单调递减再单调递增，
则都是单调函数不成立，A选项错误；
当时，，定义域为，此函数为偶函数，
当时，，定义域为，此函数为非奇非偶函数，
所以可能是非奇非偶函数，B选项正确；
当时，无论取何值，都有，
图像必过点，C选项正确；
当时， 图像经过一三象限，D选项错误.
故选：AD.
练习26．（2019·全国·高三专题练习）对于函数y＝x2，y＝x有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y＝x对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．
其中正确的有________．
【答案】①②⑤⑥
【分析】根据幂函数的图像和性质可以得到①②⑤⑥都是正确的，因为的函数图像关于对称后得到的图形的方程是，所以该图形不是函数的图像，而且也不是偶函数，故可得正确结论的序号．
【详解】幂函数的一般的形式是，故和都是幂函数，且它们在是增函数，所以①②正确．
的图像关于对称后的图形不是函数的图像，故③错．
的定义域为，故该函数是非奇非偶函数，故④错．
当时，，当时，所以两个函数的图像都经过，故⑤正确．
从图像的形状上看，的图像是抛物线的一部分，故而⑥正确，所以填①②⑤⑥．
【点睛】研究幂函数的性质，一般是先研究其在上的性质，然后利用函数的奇偶性讨论其在上的性质．注意当时，在是减函数，当时，在是增函数．
练习27．（2023秋·上海徐汇·高三统考期末）当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为________．
【答案】
【分析】根据幂函数恒过定点即可求解.
【详解】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点,
故答案为：
练习28．（2021秋·青海·高二统考学业考试）如图，①②③④为选项中的四个幂函数的图象，其中①对应的幂函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由幂函数的图像性质可得①对应的幂函数可能是.
【详解】由幂函数的图像性质可得，选项中的四个幂函数的图象
①②③④分别对应的解析式依次为：，，，.
则其中①对应的幂函数可能是.
故选：B
练习29．（2022春·浙江·高二统考学业考试）（多选）图象经过第三象限的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】结合常见的幂函数图象，数形结合得到答案.
【详解】由幂函数的图象可知，
A中，过第一、二象限；
B中，过第一、三象限；
C中，且定义域为R，过第一、二象限；
D中，过第一、三象限.
故选：BD
练习30．（2021秋·新疆巴音郭楞·高三校考阶段练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数的图像经过点，则解析式为
B．所有幂函数的图象均过点
C．幂函数一定具有奇偶性
D．任何幂函数的图象都不经过第四象限
【答案】AD
【解析】根据幂函数的解析式，研究幂函数的性质，依次分析，得到结果.
【详解】若幂函数的图象经过点，则解析式为，所以A正确；
函数的图象不经过点，所以B不正确；
为奇函数，是偶函数，是非奇非偶函数，
所以幂函数不一定具有奇偶性，所以C不正确；
因为对于幂函数，当时，一定成立，
所以任何幂函数的图象都不经过第四象限，所以D正确；
故选：AD.
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关幂函数的问题，解题方法如下：
（1）明确幂函数的解析式的形式，利用待定系数法求得函数解析式，对命题判断正误；
（2）明确随着幂指数的变化，图象走向以及函数的定义域要明确，进而清楚函数的奇偶性以及图象所过的象限，从而判断命题的正误.
题型七根据幂函数的单调性比较大小
例13．（2021春·陕西延安·高二校考期末）已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性质结合对数函数、幂函数的性质求解.
【详解】若，则，A错误；
因为，所以，所以，B错误；
若，则，C错误；
因为幂函数在单调递增，所以时一定有，D正确，
故选:D.
例14．（2023·浙江·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用中间值比较a,b的大小，再让b，c与中间值比较，判断b,c的大小，即可得解.
【详解】，又因为通过计算知，所以，即，
又，所以，所以.
故选：B
练习31．（2021秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）若，则下列不等关系中，不能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】采用作差法可判断AD;举反练习可判断B;根据函数的单调性判断C
【详解】对于选项：因为，则 ，
所以，故选项正确；
对于选项：取，满足，但，故选项错误；
对于选项：因为函数为单调增函数，
所以时，，故选项正确；
对于选项：因为，所以，故选项正确．
故选：．
练习32．（2021秋·河南新乡·高三校考阶段练习）若，则下列不等式①，②，③，④中，正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】由判断出①正确；结合的单调性得到②错误；作差法得出③正确；由的单调性得到④错误.
【详解】因为，所以，故，①正确；
因为在R上单调递增，且，所以，②错误；
因为，所以，且，故，③正确；
当时，在上单调递减，所以，④错误.
故选：B
练习33．（2022秋·广东佛山·高三佛山市荣山中学校考期中）（多选）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】函数的单调性及不等式的性质一一判定即可.
【详解】对于A项，由在上单调递增可得时，即A正确；
对于B项，因为，所以，即B正确；
对于C项，由于的正负不确定，故时有，即C错误；
对于D项，若时，此时D错误.
故选：AB
练习34．（2022秋·福建龙岩·高三上杭一中校考期末）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由指数运算得出，再由幂函数的单调性得出大小关系.
【详解】因为，所以，又函数在上单调递增，所以.
故选：B
练习35．（2022秋·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）已知函数，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的解析式以及单调性的性质可得函数在上单调递增，再利用指数函数、幂函数、构造函数研究自变量大小关系即可．
【详解】解：函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，
因为函数在上单调递减，所以；
又函数在上单调递增，所以；
构造，易知在单调递增，且，，
，所以，
故，
又因为在上递增，所以.
故选：D.
题型八根据幂函数的单调性求参数
例15．（2022秋·广东河源·高三校考阶段练习）幂函数在区间上单调递增，则实数m的值为______.
【答案】1
【详解】利用幂函数的定义求出实数m，然后利用单调性进行取舍
【分析】因函数是幂函数，则，解得或，
又函数在上单调递增，则，
所以实数m的值为1.
故答案为：1
例16．（2023秋·辽宁鞍山·高三统考期末）函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
【答案】A
【分析】确定函数在上单调递增，根据幂函数得到或，验证单调性得到，代入数据计算得到答案.
【详解】对任意的，且，满足，函数是单调增函数，
是幂函数，可得，解得或，
当时，；当时，，不满足单调性，排除，
故，．
，，故恒成立．
故选：A
练习36．（2023春·湖北孝感·高三统考开学考试）已知，若幂函数为奇函数，且在上是严格减函数，则取值的集合是______．
【答案】
【分析】由幂函数为奇函数，且在上递减，得到是奇数，且，由此能求出的值．
【详解】∵，
幂函数为奇函数，且在上递减，
∴是奇数，且，∴．
故答案为：
练习37．（2022秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末）幂函数在区间上为严格减函数，则__________．
【答案】2
【分析】根据幂函数的定义及其图像与性质，求的值即可.
【详解】因为函数是幂函数，所以，解得：或，
当时，，满足函数在区间上严格减函数，
当时，，不满足函数在区间上严格减函数，
所以.
故答案为：2.
练习38．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知函数是幂函数，且在上是增函数，则实数的值为______．
【答案】1
【分析】先由幂函数的定义可得，求出的值，再由在上是增函数，可得答案.
【详解】因为函数是幂函数，则，解得或，
又因为在上是增函数，所以，所以.
故答案为：1
练习39．（2023秋·四川内江·高三统考期末）已知在区间上是单调增函数，则a的取值范围为______.
【答案】
【分析】已知在区间上是单调增函数，根据单调递增的条件，列不等式组求a的取值范围.
【详解】由在区间上是单调增函数，有，解得，则a的取值范围为.
故答案为：
练习40．（2023秋·广东深圳·高三校考期末）“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据幂函数的性质可得：，然后根据充分、必要条件的判断即可求解.
【详解】由函数的性质可得：，
因为由一定能推出，但由不一定能推出，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，
故选：.
题型九根据幂函数的单调性解不等式
例17．已知幂函数为奇函数.
(1)求的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）根据幂函数的定义得到或，根据奇偶性即可得到的值，再计算即可；
（2）根据幂函数的单调性结合条件可得或或，进而即得.
【详解】（1）由，得或，
当时，是奇函数，满足题意，
当时，是偶函数，不满足题意，
所以，；
（2）因为的定义域为，单调减区间为，，
由，可得或或，
解得或，
所以实数的取值范围为或.
例18．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数，则关于的表达式的解集为__________.
【答案】
【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】由题意可知，的定义域为，
所以，
所以函数是奇函数，
由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增，
由，得，即，
所以，即，解得，
所以关于的表达式的解集为.
故答案为：.
练习41．（2015·吉林·高一吉林毓文中学校考期中）对于函数定义域内的任意且，给出下列结论：
（1）
（2）
（3）
（4）
其中正确结论为：__．
【答案】（2）（3）（4）
【分析】举反练习否定（1）；利用幂的运算性质判断（2）；利用幂函数单调性判断（3）；利用求差法比较二者的大小判断（4）.
【详解】（1）当时，，
则，故错误；
（2），故正确；
（3）函数为增函数，则，故正确；
（4）由可得，
又则
则，故正确
故（2）（3）（4）正确．
故答案为:（2）（3）（4）
练习42．（2020秋·北京丰台·高三统考期中）已知幂函数的图象经过点 ，那么的解析式为____________；不等式的解集为____________.
【答案】
【分析】计算得到幂函数为，解不等式得到答案.
【详解】设幂函数为，过点，所以解得，
所以，
，即，即解得，
故答案为：；
练习43．（2022秋·湖南郴州·高三安仁县第一中学校考阶段练习）若，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据题意，由幂函数的性质列出不等式，求解即可得到结果.
【详解】函数为偶函数，且当时，单调递增，
则可得，
解得或
即的取值范围是
故答案为:
练习44．（2023春·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考开学考试）已知幂函数经过点，则不等式的解集为___________．
【答案】
【分析】首先代入已知点求出，则，利用函数单调性即可得到不等式，解出即可.
【详解】设幂函数，
由题意得，解得，故，，
则，即为，
根据在上为单调增函数，则有，
解得，故解集为，
故答案为：．
练习45．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________.
【答案】
【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到，代入不等式得到，根据函数的单调性解得答案.
【详解】幂函数在上单调递减，故，解得.
，故，，.
当时 ，不关于轴对称，舍去；
当时 ，关于轴对称，满足；
当时 ，不关于轴对称，舍去；
故，，函数在和上单调递减，
故或或，解得或.
故答案为：
题型一
二次函数的图象
题型二
二次函数的单调性
题型三
二次函数在区间上的最值问题
题型四
二次函数恒成立问题
题型五
幂函数的定义
题型六
判断幂函数的图象
题型七
根据幂函数的单调性比较大小
题型八
根据幂函数的单调性求参数
题型九
根据幂函数的单调性解不等式