2025年高考数学一轮复习专题4.3 含参函数的单调性-(原卷版+解析版)

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题型一求导后为一次函数型
例1．（2022秋·福建泉州·高三校考开学考试）已知函数.
(1)求函数的极值点；
【详解】（1）由题意可得：，且的定义域为，
当时，则当时恒成立，
故在内单调递增，即无极值点；
当时，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，则有极大值点，无极小值点；
综上所述：当时，无极值点；
当时，有极大值点，无极小值点.
例2．（2023春·广东深圳·高二校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
【详解】（1）.
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，；
当时，；
所以上单调递增，在上单调递减；
练习1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
【详解】（1）由，
令，得，
当时，，单调递减，
当时，方程的根为，
若，则在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
若，则在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
综上所述，当时，在R上单调递减，
若，在上单调递减，在上单调递增，
若，在上单调递增，在上单调递减．
练习2．（2023春·贵州铜仁·高二校考阶段练习）已知函数
(1)讨论函数的单调性;
【详解】（1）函数的定义域是，，
当0时，恒成立，则函数在上单调递增；
当0时，由得，由得，即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当0时，函数的递增区间是；
当0时，函数的递减区间是，递增区间是.
练习3．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
【详解】（1）.
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，；
当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减；
练习4．（2023春·河北衡水·高二校考阶段练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
【详解】（1）解：函数的定义域为，.
当时，由可得，由可得，
此时函数的减区间为，增区间为；
当时，由可得，由可得，
此时，函数的增区间为，减区间为.
综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为；
当时，函数的增区间为，减区间为.
练习5．（2023春·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求的单调区间．
【详解】（1）因为，，所以
（ⅰ）当时，恒成立，在单调递增；
（ⅱ）当时，令得，，故时，，在单调递增；
时，，在单调递减；
题型二求导后为指数型
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
【详解】（1）函数的定义域为.
因为，所以.
当时，恒成立，故在上单调递增.
当时，令，解得.
当时，，当时，.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
例4．（2021春·陕西咸阳·高二统考期中）已知函数.
(1)设，其中是的导函数，讨论函数的单调性；
【详解】（1）由题知，则，
①当时，在上恒成立，
故函数在上递增；
②当时，令，解得，
令，解得；
故在上递减，在上递增，
综上：当时，在上递增；
当时，在上递减，在上递增..
练习6．（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
【详解】（1），函数定义域为R，，
若，则，在R递增，
若，，解得：，，解得：，
∴在单调递减，在单调递增.
练习7．（2023春·宁夏中卫·高二中卫中学校考阶段练习）设函数．
(1)求的单调区间；
【详解】（1）由题设，
当时，，则在R上单调递增；
当时，有，则在上递增；
有，则在上递减；
综上，，在R上单调递增；，在上递减，在上递增.
练习8．（2023·北京·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
【详解】（1）当时，，则，
得，，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）由，则，
当时， 恒成立，此时在R上单调递减；
当时，令，解得，
此时与的变化情况如下：
由上表可知，的减区间为，增区间为，
综上，当时，的减区间为，无增区间；
当时，的减区间为，增区间为．
练习9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)讨论的单调性．
【详解】（1）由题意得．
若，则，所以，所以，
即，所以在上单调递增．
若，令，则．
故当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，
(1)求函数的单调区间；
【详解】（1）由，当时，恒成立，则在R上单调递减；
当时，令，解得，
当时；当时
在上单调递减，上单调递增
综上，当时，单调递减区间为.
当时，单调递减区间为，单调递增区间.
题型三求导后为对数型
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)记，若对定义域内任意的x，恒成立，求实数a的范围；
(2)试讨论函数的单调性．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）求导得因式分解，根据对数函数的性质，分类讨论的最值即可求解，
（2）分类讨论导函数的正负即可得函数的单调性.
【详解】（1）显然，
即，对恒成立，
当时，；
当时，．
综上，．
（2）由（1）知
①当时，，
当时，单调递增，
当时，，单调递减，
即当时在上递减，上递增
②当时，
当时，由（1）知在单调递增
当时，当时，，当时,故当和时，，当时，,因此在上单调递减，在上单调递增
当时，当时，，当时,故当和时，，当时，,在上递减，上递增
例6．（2022·河南·校联考模拟预测）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
【详解】（1），
当时，，在上单调递减；
当时，，，则在上单调递减，在上单调递增；
当时，，，则在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．讨论的单调性；
【答案】在上单调递减，在上单调递增
【分析】根据函数求出函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负来讨论函数的单调性即可求解.
【详解】函数的定义域为，．
当时，由于在上单调递增，所以至多有一解；
又，则当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增．
练习12．（2023秋·山西太原·高二统考期末）已知函数.
(1)讨论函数在上的单调性；
【详解】（1），，
当，则
若,则在上单调递增；
若,令，即，
则在上单调递增.
令，解得，则在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
【详解】（1）解：函数的定义域为，，
当时，，此时函数的减区间为，无增区间；
当时，由可得，由可得，
此时函数的减区间为，增区间为；
当时，由可得，由可得，
此时函数的增区间为，减区间为.
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的减区间为，增区间为；
当时，函数的增区间为，减区间为.
练习14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)讨论在区间上的单调性；
【详解】（1）因为函数，，所以，，
由，得，
当，即时，，在区间上单调递减；
当，即时，由，得，由，得，
所以在上单调递增，在，上单调递减；
综上可得，当时，在区间上单调递减；
当时，在上单调递增，在，上单调递减；
练习15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
【详解】（1）函数的定义域为，.
①当时，令，即，解得：.
令，解得：；令，解得：；
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
②当时，则，所以函数在上单调递增.
综上所述：当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，函数在上单调递增.
题型四求导后为二次可因式分解型
例7．（2021春·陕西榆林·高三陕西省神木中学校考阶段练习）已知函数，．
(1)若，讨论函数的单调性；
【详解】（1），
当时，恒成立，
函数在上递增；
当时，令，得或，令，得，
函数在，上递增，在上递减．
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
【详解】（1）因为，
所以．
设，则．
当时，，，，在上是增函数；
当时，两个根，；
当时，，，
所以当时，，，是减函数；
当时，，，是增函数；
当时，，
所以当或时，，，是增函数；
当时，，，是减函数；
综上可知，当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数，在上是增函数；
当时，在上是减函数，
在，上是增函数．
练习16．（2023春·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考阶段练习）已知函数（为自然对数的底数）．
(1)若是函数的极值点，求的值；
(2)若，讨论的单调性．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）可导函数在极值点处的导数为0，求得a的值后，再进行检验；
（2）分和两种情况进行讨论，根据符号，研究的单调性．
【详解】（1），
因为是函数的极值点，所以，
即，解得，
经检验，符合题意，故．
（2）由（1），，若，则，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
若，令，解得或，且，
当时，当或时，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
练习17．（2023春·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考期中）已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数可求得的单调性，由极值点的定义可求得极值；
（2）求导后，分别在和的情况，根据导函数的正负来确定函数单调性.
【详解】（1）当时，，则定义域为，，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
极小值为，无极大值.
（2）由题意知：定义域为，；
当时，若，则；若，则；
在上单调递增，在上单调递减；
当时，若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
练习18．（2023春·四川成都·高二统考期中）已知函数其中，为的导函数.
(1)讨论函数的单调性；
【详解】（1）函数的定义域为，

①当时，令得；令得.
②当时，令得；令得.
③当时，在恒成立.
④当时，令得；令得.
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
练习19．（2018·北京·高三强基计划）已知函数．
(1)当时，求函数在上的最大值和最小值．
(2)若，讨论的单调性．
【答案】(1)在上的最大值为，最小值为0．
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导数后结合其符号可得函数的单调性，从而可得函数的最值.
（2）就、、、、分类讨论后可得函数的单调性.
【详解】（1）当时，有，
于是其导函数，
因此
于是函数在上的最大值为，最小值为0．
（2）函数的导函数，
因此讨论分界点为．
情形一 ．此时函数在上单调递增，在上单调递减．
情形二 ，此时函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
情形三 ．此时函数在上单调递减．
情形四 ．此时函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
情形五 ．此时函数在上单调递增，在上单调递减．
练习20．（2023·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的.“固点”.经研究发现所有的三次函数都有“固点”，且该“固点”也是函数的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知函数.
(1)当时，试求的对称中心.
(2)讨论的单调性；
【详解】（1），，，
令，，，
故的对称中心为.
（2），
令，则，，
当时，，恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，，在，上，，函数在，上单调递增，在上，，所以函数在上单调递减；
当时，，在，上，，函数在，上单调递增，在上，，函数在上单调递减.
综上所述：
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
题型五求导后为二次不可分解型
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（e为自然对数的底数），a，.
(1)当时，讨论在上的单调性；
【详解】（1）当时，，的定义域为，，
当，即时，且不恒为0，所以在上单调递增；
当时，方程有两不等正根，
结合定义域由可得，由可得，
所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
当时，方程有一负根和一正根，
结合定义域由可得，由可得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上可知：
当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．试讨论函数的单调性．
【答案】答案见解析
【分析】先对求导，再分类讨论、与三种情况，结合二次函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，
所以，且，
当时，，此时在单调递增；
当时，，
当时，；
当时，，此时单调递减；
当时，，
当时，；
当时，，此时单调递减；
综上所述：当时，函数单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，；函数的单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，；函数的单调递减区间为．
练习21．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
【详解】（1）由题意知，
令，得，
则时，，所以在上单调递增.
时，令得
当时，，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，，
令，得，令，得或，
所以在上单调递减，在和上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递减，
在上单调递增；
当时，在上单调递减，
在和上单调递增；
当时，在上单调递增.
练习22．（2023春·重庆·高二四川外国语大学附属外国语学校校联考期中）已知函数．
(1)若的图象在处的切线与直线垂直，求实数的值；
(2)讨论在上的单调性．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）求导得，根据垂直得到，解出方程即可；
（2），利用二次函数或一次函数的图象与性质合理分类讨论即可.
【详解】（1）由题知，,
，解得.
（2）
(i)当时，若，则，
若，此时开口向下，对称轴为，
所以当时，，
在单调递减；
(ii）当时,开口向上，,
则（根据二次函数大致图象知舍去）
且当时,单调递减;
当时,单调递增.
(iii)当时，开口向上，对称轴在单调递增,
当时，在单调递增.
综上：当时,在单调递减;
当时,在单调递减,在单调递增，
当时,在单调递增.
练习23．（2023·安徽黄山·统考二模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
【详解】（1）函数的定义域为，
，
设，设，
当时，即，单调递减，
当时，即，
，
若，，
由，
由，
当时，
由，
由，
综上所述：当时，函数是上的减函数，
当时，函数在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数在上单调递减，
在上单调递增；
练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（）.
(1)讨论函数的单调性；
【详解】（1）函数的定义域为，
又，，
令，得，
当时，时，，所以在单调递增；
当时，方程的，
①当时，，则，所以在单调递增；
②当时，，令，得，，
当时，；当时，；
所以在上单调递减，
在，上单调递增；
综上所述：
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
在，上单调递增；
练习25．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）设，函数.
(1)讨论的单调性；
【详解】（1）（1），，
令，
当，即时，恒成立，在上单调递减；
当，即时，
当或者时，，
当时，.
所以在和上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在和上单调递减，
在上单调递增.
题型六求导后为二次指数型
例11．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考开学考试）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
【详解】（1），
，
若，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
若，则，
所以函数在上递增，
若，则，
当或时，，当时，，
所以函数在上递减，在和上递增，
若，则，
当或时，，当时，，
所以函数在上递减，在和上递增，
综上所述，当时，函数在上递减，在上递增，
当时，函数在上递增，
当时，函数在上递减，在和上递增，
当时，函数在上递减，在和上递增；
例12．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数(a≠0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
【详解】（1）∵，
当时，，，
∴在上单调递减，在单调递增；
当时，，，
∴在上单调递增，在单调递减；
综述：当时，在上单调递减，在单调递增；
当时，在上单调递增，在单调递减；
练习26．（2023春·福建泉州·高二校考阶段练习）已知函数，．
(1)若时，求在处的切线方程.
(2)讨论函数的单调性；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数求出函数在在处切线斜率，利用点斜式确定切线方程；
（2）求出函数导数，分类讨论a的取值范围对导数值的影响，从而判断出函数单调性.
【详解】（1）当时，，

∴ 切线方程为：，即.
（2）因为，．
所以．
①当时，令，得．在上单调递减；
令，得，在上单调递增．
②当时，令，得． 在上单调递减；
令，得或．在和上单调递增．
③当时，在时恒成立，在单调递增．
④当时，令，得．在上单调递减；
令，得或．在和上单调递增．
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增．
练习27．（2023春·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，讨论函数的单调性.
【答案】(1)函数的极大值为，极小值为
(2)答案见详解
【分析】（1）根据导数的性质，结合极值的定义进行求解即可；
（2）根据导数的正负性与原函数的单调性的关系，结合的不同取值分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）当时，，
，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有极大值，
当时，函数有极小值，
所以函数的极大值为，极小值为；
（2），
当时，，函数是实数集上的增函数，
当时，当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，，
所以有当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
综上所述：当时，函数是实数集上的增函数；
当时，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减；
当时，当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
练习28．（2023·天津·校联考一模）设函数．
(1)讨论的单调性；
【详解】（1）依题意得．
①当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
②当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递减，在和上单调递增；
③当时在上恒成立，所以在上单调递增；
④当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递减，在和上单调递增．
练习29．（2023春·湖南邵阳·高二湖南省邵东市第一中学校考期中）已知函数（其中，为自然对数的底数）．
(1)讨论的单调性；
【详解】（1）
当时，
在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
当时，由得：
①若，则恒成立，故在R上单调递增；
②若，由得：或，由得:此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
③若，由得：或，由得:
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，在R上单调递增;
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
练习30．（2023春·北京·高二北京市广渠门中学校考阶段练习）已知函数
(1)当时，求证恒成立：
(2)讨论的单调性：
【详解】（1）当时，，
令，令，
所以在单调递减，在单调递增，
故.
（2），
令解得或，
①当时，，则在单调递减，在单调递增；
②当时，，和时，，单调递增；
时，，单调递减；
③当时，恒成立，在R上是增函数；
④当时，和时，，单调递增；
时，，单调递减；
题型七二次求导
例13．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
【详解】（1），
若，，即，此时在R上单调递减．
若，解得，
解得，
∴在上单调递减，在上单调递增．
例14．（2022秋·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)求的极值；
【详解】（1）因为
所以，
令，
则，
因为，所以，所以在单调递增，又因为，
所以当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以当时，取得极小值无极大值.
练习31．（2023·云南·校联考二模）函数的单调递增区间为____________．
【答案】/
【分析】通过二次求导，证明当时，，即得解.
【详解】由题得函数定义域为，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，
故的单调递增区间为（或）．
故答案为：
练习32．（2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知函数，为函数的导函数．
(1)讨论函数的单调性；
【详解】（1）的定义域是，
，
令，则，
当时，恒成立，单调递减，
也即在区间上单调递减；
当时，在区间单调递减；在区间递增.
练习33．（2023春·河南郑州·高二郑州十九中校联考期中）已知函数．
(1)求的单调区间；
【详解】（1），
，
当时，，所以函数在上递增，
当时，时，单调递减，
时，单调递增，
综上所述，当时，的单调增区间为，无单调减区间；
当时，的单调增区间为，单调减区间为；
练习34．（2023·江苏·统考二模）已知函数，.
(1)若，求函数的单调区间；
【详解】（1），，
，恒成立，
所以在递增.
所以当，；
，
所以函数的单调减区间是，单调增区间是.
练习35．（2023·湖北·统考二模）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
【详解】（1）解法一：因为，
所以
易知，设，
则当时，，，所以，
则在单调递减；
当时，，，所以，
则在单调递增；
所以当时，即，即，
所以在单调递减，在单调递增.
解法二：
当时，
则
当时，令，则
所以在单调递增，，
又关于单调递增且，
所以关于单调递增，关于单调递增，
所以单调递增，则，
所以在单调递增.
当时，，
，
令，易知在单调递增，，
所以，所以在单调递减.
综上，在单调递减，在单调递增.
题型一
求导后为一次函数型
题型二
求导后为指数型
题型三
求导后为对数型
题型四
求导后为二次可因式分解型
题型五
求导后为二次不可分解型
题型六
求导后为二次指数型
题型七
二次求导
-
0
+
↘
极小值
↗
x
0
1
2
0