2025年高考数学一轮复习专题7.3 求数列的通项公式-(原卷版+解析版)

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题型一观察法
例1．（2023春·高二课时练习）写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)；
(2)；
(3)7，77，777，7777.
例2．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成三角形数，如1，3，6，10，15.我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球）.若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛第10层球的个数为___________.

练习1．（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．数列1，0，，与数列，，0，1是相同的数列
B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为
D．数列，…的一个通项公式为
练习2．（2023春·江西·高三校联考期中）已知数列为1，，9，，25，，…，则数列的一个通项公式是（ ）
A．B．C．D．
练习3．（2023·广东·高三专题练习）已知无穷数列满足，，，写出满足条件的的一个通项公式：___________.（不能写成分段数列的形式）
练习4．（2023春·安徽·高三巢湖市第一中学校联考期中）传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把叫做三角形数；把叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．B．C．D．
练习5．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知数列， ，，，，…，则该数列的第100项为（ ）
A．B．C．D．
题型二周期数列
例3．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若数列满足，则（ ）
A．2B．C．D．
例4．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）在数列中，已知，当时，是的个位数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
练习6．（2023·全国·模拟预测）已知首项为的数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．1C．D．
练习7．（2023春·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）数列满足：，，，记数列的前n项和为，则______．
练习8．（2023·全国·高二专题练习）洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列为：、、、、、、、、、、，即，，且.则洛卡斯数列的第项除以的余数是（ ）
A．B．C．D．
练习9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则_______.
练习10．（2023·北京通州·统考三模）数列中，，则（ ）
A．B．C．2D．4
题型三累加法
例5．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，，求通项公式．
例6．（2023·全国·高三专题练习）设数列满足，.求的通项公式.
练习11．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，求的值．
练习12．（2023·全国·高三专题练习）古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数.那么把三角形数从小到大排列，第11个三角形数是______.
练习13．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
练习14．（2023春·江苏南京·高三南京大学附属中学校考阶段练习）在数列中，，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
练习15．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知数列的各项均不为零，且满足，（，），则的通项公式__________．
题型四累乘法
例7．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，，则的通项公式为___________．
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足．
(1)若，求的通项公式．
(2)若，求的通项公式．
练习16．（2022秋·重庆北碚·高三重庆市兼善中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，．
(1)求，；
(2)求数列的通项公式．
练习17．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）已知向量，，，则______，______．
练习18．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列中，，，，则______，______．
练习19．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
练习20．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．
题型五待定系数法
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an} 满足a1 = 1，an+1 = 3an + 1.求{an}的通项公式.
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是首项为.
(1)求通项公式；
(2)求数列的前项和.
练习21．（2023·全国·高三专题练习）数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为___________.
练习22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为_____________.
练习23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为_____________.
练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，且，则数列的通项公式为_____________.
练习25．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足：，（），数列满足：．求数列的通项公式．
题型六取倒数法、取对数法
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求的通项公式.
例12．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）（多选）已知数列满足，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列
B．的通项公式为
C．为递增数列
D．的前n项和
练习26．（2023春·高三课时练习）数列中，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列的通项公式为
B．数列为等比数列
C．数列为等比数列
D．数列为等差数列
练习27．（2023·全国·高三专题练习）已知为正项数列的前项的乘积，且
(1)求数列的通项公式
(2)令，求数列的前项和.
练习28．（2022秋·湖南娄底·高三湖南省新化县第一中学校考期末）（多选）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（ ）
A．为等比数列B．的通项公式为
C．为递增数列D．的前项和为
练习29．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列的前n项和.
练习30．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知各项均为正数的数列满足，，，．
(1)当时，求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
题型七已知求通项公式
例13．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，若，且，则__________.
例14．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知数列的前n项和为，且
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设 求数列的前n项和.
练习31．（2023·浙江绍兴·统考二模）设数列的前项和为，数列是首项为1，公差为1的等差数列，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
练习32．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求；
(3)若，求数列前项和．
练习33．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足．
(1)证明：是一个等差数列；
(2)已知，求数列的前项和．
练习34．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列前项和，证明：.
练习35．（2023·山西吕梁·统考三模）已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
题型八已知或者求通项公式
例15．（2023·四川凉山·三模）数列的前n项和为，若，，则______．
例16．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）设数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
练习36．（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知在数列中，，，则_____ .
练习37．（2023·全国·长郡中学校联考二模）已知正项数列的前项和为，且，（且）.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：.
练习38．（2023·云南·校联考二模）正项数列的前n项和为，已知．
(1)求证：数列为等差数列，并求出，；
(2)若，求数列的前2023项和．
练习39．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，设（表示不超过的最大整数），则数列的前2023项和（ ）
A．B．C．D．
练习40．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前n项和为，已知，，则______
题型九因式分解型求通项
例17．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设正项数列的前n项和为，已知，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
例18．（2023春·江苏南京·高三江苏省溧水高级中学校考期中）正项数列的前和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
练习41．（2023·全国·高二专题练习）已知数列各项均为正数且满足，数列满足，且．求的通项公式.
练习42．（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期5月质量检测数学试题）已知递增数列满足．
(1)求；
(2)设数列满足，求的前项和．
练习43．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）在数列中，，且递增，则___________．
练习44．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列满足.求的通项公式；
练习45．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知正数数列，，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
题型一
观察法
题型二
周期数列
题型三
累加法
题型四
累乘法
题型五
待定系数法
题型六
取倒数法、取对数法
题型七
已知求通项公式
题型八
已知或者求通项公式
题型九
因式分解型求通项