2025年高考数学一轮复习专题9.6 直线与圆锥曲线-(原卷版+解析版)

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题型一直线与圆锥曲线的位置关系
例1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023春·上海浦东新·高三统考期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
练习1．（2022秋·黑龙江绥化·高三海伦市第一中学校考期中）直线：与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相切或相交
练习2．（2023秋·高二课时练习）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条
D．1条、2条或3条
练习3．（2021秋·高三单元测试）讨论直线与双曲线的公共点的个数．
练习4．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过左焦点作斜率为的直线与双曲线交于，两点（在第一象限），是的中点，若是等边三角形，则直线的斜率为______．
练习5．（2023·全国·高三对口高考）已知实数x，y满足：，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．5
题型二弦长问题
例3．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
例4．（2023·全国·高三对口高考）过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
练习6．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为_________．
练习7．（2023·北京·人大附中校考三模）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则_____________．
练习8．（2023春·广东·高三统考开学考试）设抛物线的焦点为，过点的直线与相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
练习9．（2023·山东·模拟预测）过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
练习10．（2023春·上海奉贤·高三校考阶段练习）已知焦点在y轴上的椭圆C，过点，离心率直线l:被椭圆C所截得的弦长为，
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求实数的值.
题型三三角形（四边形）问题
例5．（2023秋·高二课时练习）正方形ABCD的边AB在直线上，C、D两点在抛物线上，则正方形ABCD的面积为__________．
例6．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A．B．C．D．
练习11．（2023秋·高二课时练习）已知经过椭圆的右焦点的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，是椭圆的左焦点，求的周长和面积．
练习12．（2023·全国·模拟预测）如图，双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于，，，四点.若，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
练习13．（2023·全国·模拟预测）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，且的延长线交轴于点，且，的内切圆半径为4，的面积为9，则（ ）

A．18B．32C．50D．14
练习14．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线，，且直线，分别与抛物线C交于A，B和D，E，则四边形ADBE面积的最小值是______________.
练习15．（2023秋·高二单元测试）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于P，Q两点，O为坐标原点，则的面积等于__________．
题型四中点弦问题
例7．（2023·全国·高三对口高考）直线截椭圆所得弦的中点M与椭圆中心连线的斜率为_________．
例8．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
练习16．（2023秋·陕西西安·高三长安一中校考期末）设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
练习17．（2022秋·高三课时练习）椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则等于（ ）
A．B．C．D．
练习18．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的实轴长为4，离心率为，直线与交于两点，是线段的中点，为坐标原点．若点的横坐标为，则的取值范围为______．
练习19．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为_________.
练习20．（2023·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为_________．
题型五求参数范围及最值问题
例9．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知双曲线的左焦点为，左顶点为，为左准线上动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例10．（2023秋·高三课时练习）已知抛物线上三点A，B，C，且当点B移动时，点C的横坐标的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
练习21．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考期中）已知抛物线C的焦点为F，点A，B在抛物线上，过线段AB的中点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，以AB为直径的圆过点F，则的最大值为________．
练习22．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）已知是平面向量，，若非零向量满足，向量满足，则的轨迹方程为__________；的最小值为__________.
练习23．（2023秋·重庆·高三校联考期末）若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，. 若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为__________.
练习24．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设、是椭圆的左、右焦点，点P是直线上一点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
练习25．（2023春·四川德阳·高三德阳五中校考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，曲线按照伸缩变换后得到曲线方程
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于相异的两点，且，求实数的取值范围
题型六定点问题
例11．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为坐标原点，，，和交点为.
(1)求点的轨迹；
(2)直线和曲线交与两点，试判断是否存在定点使？如果存在，求出点坐标，不存在请说明理由.
例12．（2023·全国·高三对口高考）已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若所在直线l的方程为．
(1)求抛物线S的方程；
(2)若O是坐标原点，P，Q是抛物线S上两动点，且满足．试说明动直线是否过定点．
练习26．（2023·全国·高三对口高考）在平面直角坐标中，设，，以线段为直径的圆经过原点O．
(1)求动点P的轨迹W的方程；
(2)过点作直线l与轨迹W交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为，试判断直线是否恒过定点．
练习27．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知点M到点的距离比它到直线l：的距离小，记动点M的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)若过点F的直线交E于，两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.
练习28．（2023·安徽淮南·统考二模）双曲线的离心率为，分别是的左，右顶点，是上异于的一动点，直线分别与轴交于点，请写出所有满足条件的定点的坐标______________.
练习29．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为_____________.
练习30．（2023·全国·高三对口高考）在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线和分别与直线交于点M，N,问：是否存在点P使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
题型七定值问题
例13．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）椭圆的焦距为为椭圆右焦点，.

(1)求椭圆的方程与离心率；
(2)设为原点，为椭圆上一点，的中点为.直线与直线交于点，过且平行于的直线与直线交于点.求证：.
例14．（安徽省示范高中培优联盟2022-2023学年高二下学期春季联赛数学试题）已知双曲线的标准方程为，其中点为右焦点，过点作垂直于轴的垂线，在第一象限与双曲线相交于点，过点作双曲线渐近线的垂线，垂足为，若，.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点作的平行线，在直线上任取一点，连接与双曲线相交于点，求证点到直线的距离是定值.
练习31．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在椭圆：上，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，，若直线，的斜率分别为，，且．
(1)求圆的半径；
(2)探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
练习32．（2023秋·高三课时练习）如图，已知椭圆的右焦点为，上顶点为，右顶点为．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P是椭圆C上异于的一点，且直线PA、PB分别与y轴和x轴交于点，求证：为定值．
练习33．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知双曲线C：经过点，右焦点为，且，，成等差数列.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：上的射影为N，O为坐标原点，设的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为，，证明：是定值.
练习34．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（在同一直线上），满足.

(1)当时，求双曲线的标准方程；
(2)过且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，点是线段的中点，试探究是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值.
练习35．（2023·全国·高三对口高考）已知是抛物线上一点，经过点的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线分别交直线于点M，N．
(1)求抛物线方程及其焦点坐标；
(2)已知O为原点，求证：为定值．
题型八定直线问题
例15．（2023·广西·统考一模）已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过的焦点且与相切．
(1)求p的值：
(2)点M在的准线上，动点A在上，在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．
例16．（2023春·安徽滁州·高三安徽省定远中学校考阶段练习）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；
(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由
练习36．（2022·高三课时练习）如图，过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D．
(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，求的值；
(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．
练习37．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线E：（p>0），过点的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为时，
(1)求E的标准方程：
(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．
练习38．（2023春·黑龙江·高三校联考开学考试）已知双曲线Γ：，，为Γ的左、右顶点，为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为．过点且不垂直于x轴的直线l与Γ交于M，N两点．
(1)求Γ的方程；
(2)若点E，F为直线上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上．
练习39．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为，，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程．
(2)过点的直线l与椭圆E交于P，Q两点（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．
练习40．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知曲线．
(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．
(2)设，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
题型九圆锥曲线的切线问题
例17．（2023秋·四川凉山·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线在第一象限的交点为且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过直线上的点作抛物线的两条切线，设切点分别为，，求点到直线的距离的最大值.
例18．（2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）已知椭圆．
(1)求该椭圆的离心率；
(2)设点是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为；
(3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为，求△的面积的最小值．
练习41．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知A，B为抛物线上两点，以A，B为切点的抛物线的两条切线交于点P，过点A，B的直线斜率为，若点P的横坐标为，则______.
练习42．（2023秋·山东济南·高三统考期末）已知在平面直角坐标系中,动点到点的距离与它到直线的距离之比为2.记的轨迹为曲线.
(1)求的方程;
(2)若是曲线上一点,且点不在轴上.作于点,证明:曲线在点处的切线过的外心.
练习43．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）已知在平面直角坐标系xOy中，动点M到点的距离与它到直线的距离之比为2.记M的轨迹为曲线E.
(1)求E的方程；
(2)若P是曲线E上一点，且点P不在x轴上，作PQ⊥l于点Q，证明：曲线E在点P处的切线过△PQA的外心.
练习44．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）椭圆的左､右焦点分别为，过点作椭圆的切线，切点为，若点在线段上，且满足，则点的坐标为__________.
练习45．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）设抛物线C：的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
题型一
直线与圆锥曲线的位置关系
题型二
弦长问题
题型三
三角形（四边形）问题
题型四
中点弦问题
题型五
求参数范围及最值问题
题型六
定点问题
题型七
定值问题
题型八
定直线问题
题型九
圆锥曲线的切线问题