上海市浦东新区 2024届高三第二学期综合练习数学试卷+答案（浦东新区三模）

这是一份上海市浦东新区 2024届高三第二学期综合练习数学试卷+答案（浦东新区三模），共13页。

考生注意：1、本试卷共 21 道试题，满分 150 分，答题时间 120 分钟； 2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分.
一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题. 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6 题每个空格填对得 4 分，7-12 题每个空格填对得 5 分，否则一律得零分.
已知全集U  R ，集合 A  x∣x2  3x  2  0，则 A  .
已知复数 z  2  i （ i 为虚数单位），则 z .
i
若正数a 、b 满足 a  2b  1 ，则 1  1 的最小值为.
8
ab
已知数列an  为等比数列， a5  8, a8  1 ，则 ai  .
i1
有3 名男生与 2 名女生排成一队照相， 2 名女生互不相邻的概率为.
若(1 x)6  a
 a x  a x2    a x6 ，求 a  a    a
的值为.
0126126
已知 a  lg 5 ，则lg 20  .（用 a 表示）.
x3  2x 1, x  0
已知 g(x)  
 f (x), x  0
为偶函数，若 f a   11 ，则 a  .
一袋中装有大小与质地相同的 2 个白球和3 个黑球，从中不放回地摸出 2 个球，记 2 球中白球的个数为 X ，则
D  X   .
如图，某体育公园广场放置着一块高为3 米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5 米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5 米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面米处观看？（精确到0.1 米）.
已知点 A , B 位于抛物线 y2  2 px  p  0 上， AB  20 ，点 M 为线段 AB 的中点，记点 M 到 y 轴的距离为 d .
2
若 d 的最小值为7 ，则当 d 取该最小值时，直线 AB 的斜率 k k  0 为.
已知实数 x , x , y , y 满足 x 2  y 2  1 ， x 2  y 2  3 ， x y
x y
，则 x x
 y y
 .
12121122
1 22 1
1 21 2
二、选择题（本大题满分 18 分）本大题共 4 题，每题有且只有一个正确答案. 考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14 题每题选对得 4 分，15-16 题每题选对得 5 分，否则一律得零分.
“ 2  x  2 ”是“ | x  2 |  | x  2 | 4 ”的（）条件
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分也不必要

给定平面上的一组向量e1 、e2 ，则以下四组向量中不能构成平面向量的基的是（）







2e1  e2 和e1  e2
e1  3e2 和e2  3e1
3e1  e2 和 2e2  6e2
e1 和e1  e2
边长都是为1的正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在的两个半平面所成的二面角为 2π ， P 、Q 分别是对角线
3
AC 、 BF 上的动点，且 AP  FQ . 则 PQ 的取值范围是（）.

A. 
2
2 ,1

B. 
3
2 , 2 

C. 
2
2 , 2 

D. 
3
2 ,1

有一袋子中装有大小、质地相同的白球 k 个，黑球 2024  k 个（ k  1 ， k  N ）.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜，但从第二局起，上一局的负者先摸球. 若第一
局中甲先摸球，记第 n 局甲获胜的概率为 pn ，则关于以下两个命题判断正确的是（）
① p1 
2024
4048  k
，且 p
n1  1 2 p1  pn
p1 ；②若第七局甲获胜的概率不小于0.9 , 则 k 不小于1992 .
①②都是真命题
C. ①是假命题，②是真命题
①是真命题，②是假命题
D. ①②都是假命题
三、解答题（本大题满分 78 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必要的步骤.
17.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
已知 f (x)  2 sin(x  ) ，其中 A  0,  0,|  |  .
2
（1）若  
4
，函数 y  f  x  的最小正周期T 为 4 ，求函数 y  f  x  的单调减区间；
 
（2）设函数 y  f  x  的部分图像如图所示，其中 AB  AC  12, D(0, 
y  f  x  的解析式.
3) ，求函数的最小正周期T ，并求
18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
如图，在圆柱中，底面直径 AB 等于母线 AD ，点 E 在底面的圆周上，且 AF  DE ， F 是垂足．
（１）求证： AF  DB ；
（２）若圆柱与三棱锥 D  ABE 的体积的比等于3 ，求直线 DE 与平面 ABD 所成角的大小．
19.（本题满分 14 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 10 分.
男生
女生
合计
同意
70
50
120
不同意
30
50
80
合计
100
100
200
某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了 200 名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人）
能否有95% 的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关？
假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择．
①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种，假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件 A 为“学生甲选择足球”，事件 B 为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求 P(B∣A) ，并判断事件 A 、 B 是否独立，请说明理由．
②若该校所有学生每分钟跳绳个数 X ~ N (185,169) ．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明
显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10 个，若该校有1000 名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169 个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）．
参考公式和数据：  2
n(ad  bc)2
(a  b)(c  d )(a  c)(b  d )
，其中 n  a  b  c  d , P  2
 3.841 0.05 .
若 X ~ N , 2  ，则 P(| X   |  )  0.6827, P(| X   | 2 )  0.9545, P(| X   | 3 )  0.9973 ．
20.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.
2y2
已知双曲线C : x  1 ，点 F1 、 F2 分别为双曲线的左、右焦点， A x1 , y1 , B x2 , y2  为双曲线上的点.
3
求右焦点 F2 到双曲线的渐近线的距离；
  
若 AF2  3F2 B ，求直线 AB 的方程；
若 AF1 / /BF2 ，其中 A 、 B 两点均在 x 轴上方,且分别位于双曲线的左、右两支,求四边形 AF1F2 B 的面积的取值范围.
分
21.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满 6 分，第 3 小题满分 8 分.
已知函数 y 
f  x ，其中 f (x)  1 x3  kx2 , k  R .若点 A 在函数 y 
3
f  x 的图像上，且经过点 A 的切线与
函数 y 
f  x 图像的另一个交点为点 B ，则称点 B 为点 A 的一个“上位点”.现有函数 y 
f  x 图像上的点列 M1 ，
M 2 ，…， Mn ，…，使得对任意正整数 n ，点 Mn 都是点 Mn1 的一个“上位点”.
若 k  0 ，请判断原点O 是否存在“上位点”，并说明理由；
若点 M1 的坐标为3k, 0 ，请分别求出点 M 2 、 M 3 的坐标；
若 M1 的坐标为3, 0 ，记点 Mn 到直线 y  m 的距离为 dn .问是否存在实数 m 和正整数T ，使得无穷数列 dT ， dT 1 ，…， dT n ，…严格减？若存在，求出实数 m 的所有可能值；若不存在，请说明理由.
浦东新区 2023 学年度第二学期综合练习卷高三数学
考生注意：1、本试卷共 21 道试题，满分 150 分，答题时间 120 分钟； 2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分.
一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题. 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6 题每个空格填对得 4 分，7-12 题每个空格填对得 5 分，否则一律得零分.
已知全集U  R ，集合 A  x∣x2  3x  2  0，则 A  .
【答案】： 1, 2
已知复数 z  2  i （ i 为虚数单位），则 z .
i
【答案】： 1 2i
若正数a 、b 满足 a  2b  1 ，则 1  1 的最小值为.
ab
8
2
【答案】： 3  2
已知数列an  为等比数列， a5  8, a8  1 ，则 ai  .
i1
【答案】： 255
有3 名男生与 2 名女生排成一队照相， 2 名女生互不相邻的概率为.
3
【答案】：
5
若(1 x)6  a
 a x  a x2    a x6 ，求 a  a
   a
的值为.
【答案】： 1
0126
126
已知 a  lg 5 ，则lg 20  .（用 a 表示）.
【答案】： 2  a
x3  2x 1, x  0
已知 g(x)  
 f (x), x  0
【答案】： 2
为偶函数，若 f a   11 ，则 a  .
一袋中装有大小与质地相同的 2 个白球和3 个黑球，从中不放回地摸出 2 个球，记 2 球中白球的个数为 X ，则
D  X   .
9
【答案】：
25
如图，某体育公园广场放置着一块高为3 米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5 米，若
小明同学的眼睛离地面高度1.5 米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面米处观看？（精确到0.1 米）.
【答案】： 3.2
已知点 A , B 位于抛物线 y2  2 px  p  0 上， AB  20 ，点 M 为线段 AB 的中点，记点 M 到 y 轴的距离为 d .
若 d 的最小值为7 ，则当 d 取该最小值时，直线 AB 的斜率 k k  0 为.
6
【答案】：
2
2
已知实数 x , x , y , y 满足 x 2  y 2  1 ， x 2  y 2  3 ， x y
x y
，则 x x
 y y
 .
12121122
【答案】：1
1 22 1
1 21 2
二、选择题（本大题满分 18 分）本大题共 4 题，每题有且只有一个正确答案. 考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14 题每题选对得 4 分，15-16 题每题选对得 5 分，否则一律得零分.
“ 2  x  2 ”是“ | x  2 |  | x  2 | 4 ”的（）条件
充分不必要
【答案】： A
必要不充分
充要
既不充分也不必要

给定平面上的一组向量e1 、e2 ，则以下四组向量中不能构成平面向量的基的是（）







2e1  e2 和e1  e2
【答案】： C
e1  3e2 和e2  3e1
3e1  e2 和 2e2  6e2
e1 和e1  e2
边长都是为1的正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在的两个半平面所成的二面角为 2π ， P 、Q 分别是对角线
3
AC 、 BF 上的动点，且 AP  FQ . 则 PQ 的取值范围是（）.

A. 
2
2 ,1

B. 
3
2 , 2 

C. 
2
2 , 2 

D. 
3
2 ,1

【答案】： D

有一袋子中装有大小、质地相同的白球 k 个，黑球 2024  k 个（ k  1 ， k  N ）.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜，但从第二局起，上一局的负者先摸球. 若第一
局中甲先摸球，记第 n 局甲获胜的概率为 pn ，则关于以下两个命题判断正确的是（）
① p1 
2024
4048  k
，且 p
n1  1 2 p1  pn
p1 ；②若第七局甲获胜的概率不小于0.9 , 则 k 不小于1992 .
①②都是真命题
C. ①是假命题，②是真命题
①是真命题，②是假命题
D. ①②都是假命题
【答案】： A
三、解答题（本大题满分 78 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必要的步骤.
17.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
已知 f (x)  2 sin(x  ) ，其中 A  0,  0,|  |  .
2
（1）若  
4
，函数 y  f  x  的最小正周期T 为 4 ，求函数 y  f  x  的单调减区间；
 
（2）设函数 y  f  x  的部分图像如图所示，其中 AB  AC  12, D(0, 
y  f  x  的解析式.
3) ，求函数的最小正周期T ，并求
5   

【答案】：（1） 4k  2 , 4k  2  (k  Z ) ；（2） T  4 ， f (x)  2 sin  2 x  3  .
【详解】：（1）由题， T  2

 4 ，解得  1 ，………1 分
2
 24 
故 f (x)  2 sin  1 x   2 分

令 2k
  1
 2k  3
(k  Z ) ，4 分
x
2242
5 
解得单调减区间为 4k  2 , 4k  2  (k  Z )6 分
T  T
22
（2）由题，可得 AB   , 4, AC  , 4 ，3 分

（得到 x
A  xB
 T 给 2 分）
2
 T 2
因此， AB  AC   16 ，4 分
4
 
又 AB  AC  12 ，得T  45 分
由T  2
3

 4 ，得  
2
.6 分
再将 D(0, 
3) 代入 y  f  x  ，即 2 sin   7 分
由|  |  ，解得    .
23
  
23
因此 y  f  x  的解析式为 f (x)  2 sin x 8 分

18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
如图，在圆柱中，底面直径 AB 等于母线 AD ，点 E 在底面的圆周上，且 AF  DE ， F 是垂足．
（１）求证： AF  DB ；
（２）若圆柱与三棱锥 D  ABE 的体积的比等于3 ，求直线 DE 与平面 ABD 所成角的大小．
5
【答案】：（1）证明见详解；（2） arctan.
5
【详解】：（1）由题， AD  底面，得 AD  BE ，1 分
又点 E 在底面的圆周上，得 AE  BE ，2 分
因此， BE  面 ADE3 分
又 AF  面 ADE ，得到 BE  AF4 分
由题， AF  DE ，所以 AF  面 BDE ,5 分
因此， AF  DB6 分
（2）设圆柱的底面半径为 r ，则 AB  AD  2r .
作 EH  AB 于 H ，连接 DH ，1 分
又 AD  底面，得 AD  EH ，
所以， EH  面 ABD2 分
故EDH 即直线 DE 与平面 ABD 所成角3 分
V r 2l2
1
则 圆柱  3 ，得 S r ，4 分
VD ABE
 S△ABE  l
△ABE
又 S△ABE
 1  2r  EH ，得 EH  r ,即 H 为圆柱底面的圆心5 分
2
(2r )2  r 2
所以 DH 5r ，6 分
5r
5
EHr
得tan EDH 7 分
DH5
因此，直线 DE 与平面 ABD 所成角的大小为arctan
5
…8 分
5
19.（本题满分 14 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 10 分.
某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了 200 名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人）
能否有95% 的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关？
假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择．
①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种，假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件 A 为“学生甲选择足球”，事件 B 为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求 P(B∣A) ，并判断事件 A 、 B 是否独立，请说明理由．
②若该校所有学生每分钟跳绳个数 X ~ N (185,169) ．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明
显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10 个，若该校有1000 名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169 个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）．
男生
女生
合计
同意
70
50
120
不同意
30
50
80
合计
100
100
200
参考公式和数据：  2
n(ad  bc)2
(a  b)(c  d )(a  c)(b  d )
，其中 n  a  b  c  d , P  2
 3.841 0.05 .
若 X ~ N , 2  ，则 P(| X   |  )  0.6827, P(| X   | 2 )  0.9545, P(| X   | 3 )  0.9973 ．
2
【答案】：（1）有95% 的把握认为，理由见详解；（2）① P B A ，事件 A 、B 不独立，理由见详解，② 977
3
人.
【详解】：（1）提出原假设 H0 ：学生对该问题的态度与性别无关．1 分
200  70  50  50  30 225
根据列联表中的数据可求得，  2  8.333 ………2 分.
120  80 100 1003
统计决断，  2  8.333  3.841 ，拒绝 H03 分
所以有95% 的把握认为，学生对该观点的态度与性别有关．4 分
（2）①经计算，得 P B A 
P  A I B
P  A
又则 P  B  4 ，3 分
9
2
3 ，2 分
显然， P B A  P  B4 分
即事件 A 、 B 不独立．5 分
②记经过训练后每人每分钟跳绳个数为 X1 ，6 分
由题意可知，经过训练后每人每分钟跳绳个数 X1～N 195,169 ．7 分
因为169  195  26 ，所以 P  X1  169  P  X1    2  ．8 分
11
 0.9545  0.977259 分
22
所以0.97725 1000  977.25  977 （人）．
所以经过训练后该校学生每分钟跳169 个以上人数约为977 人．10 分
20.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.
2y2
已知双曲线C : x  1 ，点 F1 、 F2 分别为双曲线的左、右焦点， A x1 , y1 , B x2 , y2  为双曲线上的点.
3
求右焦点 F2 到双曲线的渐近线的距离；
  
若 AF2  3F2 B ，求直线 AB 的方程；
若 AF1 / /BF2 ，其中 A 、 B 两点均在 x 轴上方,且分别位于双曲线的左、右两支,求四边形 AF1F2 B 的面积
的取值范围.
【答案】：（1）
；（2） x  
3
15
y  2 ；（3） 12,  .
15
【详解】：（1）由题，右焦点 F2 2, 0 ，1 分
渐近线方程为 3x  y  0 ，2 分
2 3
2
3
因此焦点 F2 到渐近线的距离为 d 4 分
显然,直线 AB 不与 x 轴重合，设直线 AB 方程为 x  my  2 ,1 分
  
由 AF2  3F2 B ，得 y1  3y2 ,2 分
x  my  2

联列方程
y2，得3m
2 1 y2
12my  9  0 ，3 分
x2  1
3
其中，   36m2  36  0 恒成立，
y  y
 12m ,
y  y 
9
，4 分
123m2 1123m2 1
代入 y  3y ，消元得 y 
6m, y 2 
3
，5 分
122
3m2 12
3m2 1
36m215

即 3m2 1   3m2 1 
，解得m  ，
15
15
所以，直线 AB 的方程为 x  
15
y  26 分
延长 AF1 交双曲线于点 P ，延长 BF2 交双曲线于点Q .则由对称性得，四边形 APQB 为平行四边形，且面积为四边形 AF1F2 B 面积的2 倍.……1 分
由题，设Q  x3 , y3  ，直线 AP 程为 x  my  2 ，直线 BQ 方程 x  my  2 ，……2 分
由第（2）问，易得| BQ |
1  m2
y2  y3 
36m2  36
1  m2 
3m2 1
6 m2 1
3m2 1
，……3 分
2 3
因为 y y  0 ，得3m2 1  0 ，因而| BQ |
4
6 m2 1
1 3m2
，……4 分
1 m2
平行线 AP 与 BQ 之间的距离为 h 
…5 分
1112 1  m2
1 2
因此， SAF F B  2 SAPQB  2 | BQ | h 
1 3m2
…6 分
1 m2
令
 t ，则t  1, 2
3  ，
得 S
 3
12t12


在t  1, 2

3  上是严格增函数，7 分
AF1F2 B
 3t 2
4  3t t
 3
1 2
故 SAF F B  12 （等号当且仅当t  1时成立）
所以，四边形 AF1F2 B 面积的取值范围为12, 
.8 分
分
21.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满 6 分，第 3 小题满分 8 分.
已知函数 y 
f  x ，其中 f (x)  1 x3  kx2 , k  R .若点 A 在函数 y 
3
f  x 的图像上，且经过点 A 的切线与
函数 y 
f  x 图像的另一个交点为点 B ，则称点 B 为点 A 的一个“上位点”.现有函数 y 
f  x 图像上的点列 M1 ，
M 2 ，…， Mn ，…，使得对任意正整数 n ，点 Mn 都是点 Mn1 的一个“上位点”.
若 k  0 ，请判断原点O 是否存在“上位点”，并说明理由；
若点 M1 的坐标为3k, 0 ，请分别求出点 M 2 、 M 3 的坐标；
若 M1 的坐标为3, 0 ，记点 Mn 到直线 y  m 的距离为 dn .问是否存在实数 m 和正整数T ，使得无穷数列 dT ， dT 1 ，…， dT n ，…严格减？若存在，求出实数 m 的所有可能值；若不存在，请说明理由.
【答案】：（1）不存在，理由见详解；（2） M 0, 0 ， M  3k ,  9 k3  ；（3） m   2 .
23  283

【详解】：(1) 已知 f (x)  1 x3 ，则 f  (x)  x2 ，1 分
3
得 f  (0)  0 ，2 分
故函数经过点 A 的切线方程为 y  0 ，3 分
其与函数 f  x  1 x3 图像无其他交点，所以原点O 不存在“上位点”4 分
3
设点 Mn 的横坐标为tn ， n 为正整数，
则函数 y 
f  x 图像在点 Mn1 处的切线方程为 y  f tn1  
f tn1  x  tn1  ，……1 分
代入其“上位点” Mn tn , f tn  ，得 f tn   f tn1  
f tn1 tn  tn1  ，2 分
化简得 
n1
1 t 2  t t t
3 nn n1
2   k t
n  tn1
  t
n1
2  2kt
n1
，3 分
进一步化简得 2tn1  tn  3k （ * ），4 分
又点 M1 的坐标为3k, 0 ，
所以点 M 的坐标为0, 0 ，点 M 的坐标为 3k ,  9 k3 6 分
23 28

（或者没有写出递推公式，直接求出 M2 的坐标给 4 分， M3 的坐标给 2 分）.
将3, 0 代入 y  f  x ，解得k  11 分
由（*）得， 2tn1  tn  32 分
即tn1
1   1 t
2 n
1 ，所以tn
 1 (1)n1  22n ，3 分
dn 
f t   m .令u  t 1 ，则u  22n 严格减.
nnnn
因为3x  x3   3  3x2 ，所以函数 y  3x  x3 在区间(0,1) 上严格增4 分
当 m   2 时， d
 1 3u
 u 3 ，于是当 n  3 时， d  严格减，符合要求5 分
3n
2
当 m  时， d
3
 f t
nnn
  2   2  m  .
3nn
3 3
因为 n  3 时
f tn
 
 1 3u
2
3
2
3
2
3
2
3

3

nnn
 u 3   u
 22 n ，6 分
所以当 n  lg
m 
 2 时， d

 m 
f t

 2  m  1 3u  u 3  ，
2
n
n
33nn
2
3
从而当 n  lg2 m 
 2 时dn  严格增， 不存在正整数 T ， 使得无穷数列 dT ， dT 1 ，…， dT n ，… 严格
2
减7 分
综上， m  8 分
3