2023-2024学年陕西省西安市碑林区西北工大附中八年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年陕西省西安市碑林区西北工大附中八年级（下）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）在﹣3x、、、、、中，分式的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（3分）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ayB．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3D．a2+1＝a（a+）
4．（3分）已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x+5＜y+2B．﹣2x+5＜﹣2y+5
C．D．2x﹣3＜2y﹣3
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．±1
7．（3分）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．不能确定
8．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，以大于的线段长为半径画弧，两弧分别相交于AB两侧的M，N两点，直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接AE，AE平分∠BAC．若AC＝7，DE＝4，则△AEC的面积为（ ）
A．7B．8C．14D．28
9．（3分）如图，直线y＝﹣2x+1与直线y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）相交于点A（n，5），则关于x的不等式﹣2x+1＜kx+b的解集为（ ）
A．x＞﹣1B．x＜﹣2C．x＜﹣1D．x＞﹣2
10．（3分）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝54°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′），连接CA′，若在整个平移过程中，∠ACA′和∠CA′B′的度数之间存在2倍关系，则∠ACA′不可能的值为（ ）
A．18°B．36°C．72°D．108°
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若多项式4x2﹣mxy+9y2能因式分解为（a+b）2的形式，则m的值为 ．
12．（3分）如图，小明用电脑制作了正方形的“丰”字卡片，正方形卡片的边长为10厘米，“丰”字每一笔的宽度都是1厘米，则卡片上剩余部分（空白区域）的面积是 厘米2．
13．（3分）已知a+b＝5，ab＝6，则a2b+ab2的值为 ．
14．（3分）如图，将△ABC沿BC方向平移得到对应的△A′B′C′，若B′C＝2cm，BC′＝4cm，则平移距离为 cm．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，若点C′在AB上，则AA′的长为 ．
16．（3分）如图，点P是矩形ABCD内部一点，若点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为，，则这个矩形面积的最小值是 ．
三、解答题（共7小题，共52分．解答应写出过程）
17．（8分）因式分解：
（1）﹣3a3+6a2b﹣3ab2；
（2）x2（m﹣n）+4y2（n﹣m）．
18．（5分）解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
19．（6分）先化简，再从不等式组﹣1≤x＜3中选择一个适当的整数，代入求值．
20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为1个单位长度．
（1）画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并写出A1，C1的坐标；
（2）求出△ABC的面积．
21．（8分）阅读理解学习：
将多项式x2+3x﹣10分解因式得x2+3x﹣10＝（x﹣2）（x+5），说明多项式x2+3x﹣10有一个因式为x﹣2，还可知，当x﹣2＝0时x2+3x﹣10＝0．
请你学习上述阅读材料解答以下问题：
（1）若多项式x2+kx﹣6有一个因式为x﹣3，求k的值；
（2）若x+2，x﹣1是多项式2x3+ax2+5x﹣b的两个因式，求a，b的值．
22．（8分）某文具商店购买了两种类型文具A和文具B销售，若购A文具3个，B文具4个，需要211元；若购进A文具5个，B文具2个，需要165元．
（1）求文具A，文具B的进价分别是多少元？
（2）若每个文具A的售价为25元，每个文具B的售价为45元．结合市场需求，该商店决定购进文具A和文具B共70个，且购进文具B的数量不少于文具A的数量的，若文具A和文具B全部销售完，求销售的最大利润及相应的进货方案．
23．（10分）问题探究：
（1）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝α，点D在AC边上，点E是射线BC上一动点，将线段DE绕点D逆时针旋转，旋转角为α，得到线段DF，连接EF，DG∥AB交BC于点G．
①如图1，当α＝60°时，点D为线段AC的中点，则线段CF与GE的数量关系是 ．
②如图2，当α＝90°时，点D为线段AC的中点，AB＝4，当AF的长度最小时，CF的长度为 ．
综合运用：
（2）如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，若D是AC边上一点，AB＝8，且AD：DC＝1：3，E是BC边上的动点，若点E绕点D顺时针旋转30°的对应点是F，连接BF，EF，求BF长度的最小值．
2023-2024学年陕西省西安市碑林区西北工大附中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
2．（3分）在﹣3x、、、、、中，分式的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：﹣3x、、、的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
、的分母中含有字母，因此是分式．
故选：B．
3．（3分）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ayB．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3D．a2+1＝a（a+）
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、是因式分解，故本选项符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．（3分）已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x+5＜y+2B．﹣2x+5＜﹣2y+5
C．D．2x﹣3＜2y﹣3
【分析】根据x＜y，应用不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵x＜y，
∴x+5＜y+5，但是x+5不一定小于x+2，x+5有可能等于或大于x+2，
∴选项A不符合题意；
∵x＜y，
∴﹣2x＞﹣2y，
∴﹣2x+5＞﹣2y+5，
∴选项B不符合题意；
∵x＜y，
∴＜，
∴选项C不符合题意；
∵x＜y，
∴2x＜2y，
∴2x﹣3＜2y﹣3，
∴选项D符合题意．
故选：D．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出各个不等式的解集，再寻找公共解集即可．
【解答】解：，
由①得，x≥﹣2，
由②得，x＜1，
∴﹣2≤x＜1，
．
故选：A．
6．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．±1
【分析】根据分式为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴，解得x＝1．
故选：B．
7．（3分）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．不能确定
【分析】先将原式变形为（a﹣b）（a﹣b+c）＝0，根据a，b，c分别是△ABC的三边长，a+c﹣b＞0，因此a﹣b＝0，即a＝b，即可得出结果．
【解答】解：∵ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2，
∴a2﹣2ab+b2＝c（b﹣a），
∴（a﹣b）2＝﹣c（a﹣b），
∴（a﹣b）2+c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a﹣b+c）＝0，
∵a，b，c分别是△ABC的三边长，a+c﹣b＞0，
∴a﹣b＝0，即a＝b，
∴△ABC是等腰三角形，
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，以大于的线段长为半径画弧，两弧分别相交于AB两侧的M，N两点，直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接AE，AE平分∠BAC．若AC＝7，DE＝4，则△AEC的面积为（ ）
A．7B．8C．14D．28
【分析】过E作EF⊥AC于F，由作图知，DE⊥AB，根据角平分线的性质得到EF＝DE＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过E作EF⊥AC于F，
由作图知，DE⊥AB，
∵AE平分∠BAC．
∴EF＝DE＝4，
∵AC＝7，
∴△AEC的面积＝＝，
故选：C．
9．（3分）如图，直线y＝﹣2x+1与直线y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）相交于点A（n，5），则关于x的不等式﹣2x+1＜kx+b的解集为（ ）
A．x＞﹣1B．x＜﹣2C．x＜﹣1D．x＞﹣2
【分析】先求出m的值，结合图象，可求解．
【解答】解：∵直线y＝﹣2x+1与直线y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）相交于点A（n，5），
∴5＝﹣2n+1，
∴m＝﹣2，
∴当x＞﹣2时，﹣2x+1＜kx+b，
∴不等式﹣2x+1＜kx+b的解集为x＞﹣2，
故选：D．
10．（3分）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝54°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′），连接CA′，若在整个平移过程中，∠ACA′和∠CA′B′的度数之间存在2倍关系，则∠ACA′不可能的值为（ ）
A．18°B．36°C．72°D．108°
【分析】根据△ABC的平移过程，分点B在BC上和点B在BC外两种情况，根据平移的性质得到AB∥A′B′，根据平行线的性质得到∠ACA′和∠CA′B′和∠BAC之间的等量关系，列出方程求解即可．
【解答】解：第一种情况：如图，当点B′在BC上时，过点C作CG∥AB，
∵△A′B′C′由△ABC平移得到，
∴AB∥A′B′，
∵CG∥AB，AB∥A′B′，
∴CG∥A′B′，
①当∠ACA′＝2∠CA′B′时，
∴设∠CA′B′＝x，则∠ACA′＝2x，
∴∠ACG＝∠BAC＝54°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x，
∵∠ACA′＝∠ACA′+∠A′CG，
∴2x+x＝54°，
解得：x＝18°，
∴∠ACA′＝2x＝36°，
②当∠CA′B′＝2∠ACA′时，
∴设∠CA′B′＝x，则∠ACA′＝x，
∴∠ACG＝∠BAC＝54°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x，
∵∠ACA′＝∠ACA′+∠A′CG，
∴x+x＝54°，
解得：x＝36°，
∴∠ACA′＝x＝18°，
第二种情况：当点B′在△ABC外时，过点C作CG∥AB，
∵△A′B′C′由△ABC平移得到，
∴AB∥A′B′，
∵CG∥AB，AB∥A′B′，
∴CG∥A′B′，
①当∠ACA′＝2∠CA′B′时，
设∠CA′B′＝x，则∠ACA′＝2x，
∴∠ACG＝∠BAC＝54°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x，
∵∠ACA′＝∠ACG+∠A′1CG，
∴2x＝x+54°，
解得：x＝54°，
∴∠ACA′＝2x＝108°，
②当∠CA′B′＝2∠ACA′时，由图可知，∠CA′B′＜∠ACA′，故不存在这种情况，
综上所述，∠ACA′＝18°或36°或108°，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若多项式4x2﹣mxy+9y2能因式分解为（a+b）2的形式，则m的值为 ±12 ．
【分析】根据完全平方公式先确定a，再确定m即可．
【解答】解：因为多项式4x2﹣mxy+9y2能因式分解为（a+b）2，
所以m＝±（2×2×3）＝±12．
故答案为：±12．
12．（3分）如图，小明用电脑制作了正方形的“丰”字卡片，正方形卡片的边长为10厘米，“丰”字每一笔的宽度都是1厘米，则卡片上剩余部分（空白区域）的面积是 63 厘米2．
【分析】根据平移的性质，将所求部分转换为长为9厘米，宽为7厘米的长方形，进而求出面积即可》
【解答】解：由平移的性质可得，
卡片上剩余部分（空白区域）可以转换为长为10﹣3＝7（厘米），宽为10﹣1＝9（厘米），
因此面积为9×7＝63（平方厘米），
故答案为：63．
13．（3分）已知a+b＝5，ab＝6，则a2b+ab2的值为 30 ．
【分析】先把代数式分解因式，再整体代入求值．
【解答】解：∵a+b＝5，ab＝6，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝6×5
＝30，
故答案为：30．
14．（3分）如图，将△ABC沿BC方向平移得到对应的△A′B′C′，若B′C＝2cm，BC′＝4cm，则平移距离为 1 cm．
【分析】根据平移的性质得到BB'＝CC'，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：由平移的性质可知：BB'＝CC'，
∵BC'＝4cm，CB'＝2cm，
∴BB'+CC'＝4﹣2＝2（cm），
∴BB'＝CC'＝1cm，
即平移的距离为1cm，
故答案为：1．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，若点C′在AB上，则AA′的长为 ．
【分析】连接AA'，由旋转的性质得出AC'、A'C'的长度，利用勾股定理即可得出答案．
【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，
∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝3，AB＝A'B，
根据勾股定理得：
AB＝＝5，
∴A'B＝AB＝5，
∴AC'＝AB﹣BC'＝1，
在Rt△AA'C'中，由勾股定理得：
AA'＝＝，
故答案为：．
16．（3分）如图，点P是矩形ABCD内部一点，若点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为，，则这个矩形面积的最小值是 4 ．
【分析】将△BCP绕点B逆时针旋转60°得到△TBG，连接PG，AT，过点T作TH⊥AB交AB的延长线于H．当T，G，P，A共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段AT的长，构建不等式求出BC，AB的最小值，可得结论．
【解答】解：将△BCP绕点B逆时针旋转60°得到△TBG，连接PG，AT，过点T作TH⊥AB交AB的延长线于H．当T，G，P，A共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段AT的长．
设AB＝m，则BC＝m，
∵BC＝BT＝m，∠ABC＝90°，∠CBT＝60°，
∴∠ABT＝150°，
∴TH＝BT＝m，BH＝BT•cs30°＝m，
∴AH＝m，
由题意得AT≥2，
∴＝≥2，
∵m＞0，
∴m≥2，
∴BC的最小值为2，AB的最小值为2，
∴此矩形菜地的面积的最小值为4，
故答案为：4．
三、解答题（共7小题，共52分．解答应写出过程）
17．（8分）因式分解：
（1）﹣3a3+6a2b﹣3ab2；
（2）x2（m﹣n）+4y2（n﹣m）．
【分析】（1）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；
（2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣3a（a2﹣2ab+b2）
＝﹣3a（a﹣b）2；
（2）原式＝x2（m﹣n）﹣4y2（m﹣n）
＝（m﹣n）（x2﹣4y2）
＝（m﹣n）（x+2y）（x﹣2y）．
18．（5分）解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
【分析】去原不等式去分母变形为4x﹣2﹣（9x+2）≤6，解该不等式得出x≥﹣2，将其在数轴上表示出来即可．
【解答】解：去分母得：4x﹣2﹣（9x+2）＜6，
解得：x＞﹣2．
把解集表示在数轴上如图所示．
19．（6分）先化简，再从不等式组﹣1≤x＜3中选择一个适当的整数，代入求值．
【分析】先把除法运算转化为乘法运算，再把分子分母因式分解，约分得到原式＝，然后根据分式有意义的条件取x＝0代入计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝﹣
＝，
∵满足不等式组﹣1≤x＜3的整数为﹣1、0、1、2，
而x﹣1≠0且x+1≠0且x﹣2≠0，
∴x只能取0，
当x＝0时，原式＝＝2．
20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为1个单位长度．
（1）画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并写出A1，C1的坐标；
（2）求出△ABC的面积．
【分析】（1）先作出A（﹣1，2）、B（﹣3，3）、C（﹣4，0）关于原点对称的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后顺次连接即可，最后写出的坐标；
（2）利用割补法求面积即可．
【解答】解：（1）作出A、B、C关于原点对称的坐标特征写出A1（1，﹣2）、B1（3，﹣3）、C1（4，0），连接A1B1，B1C1，A1C1，
，
如图，△A1B1C1即为所求，点A1（1，﹣2），C1（4，0）；
（2）S△ABC＝3×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×2×3＝3.5．
21．（8分）阅读理解学习：
将多项式x2+3x﹣10分解因式得x2+3x﹣10＝（x﹣2）（x+5），说明多项式x2+3x﹣10有一个因式为x﹣2，还可知，当x﹣2＝0时x2+3x﹣10＝0．
请你学习上述阅读材料解答以下问题：
（1）若多项式x2+kx﹣6有一个因式为x﹣3，求k的值；
（2）若x+2，x﹣1是多项式2x3+ax2+5x﹣b的两个因式，求a，b的值．
【分析】（1）根据多项式x2+kx﹣6有一个因式为x﹣3，得当x＝3时，x2+kx﹣6＝0，然后由将x＝3代入x2+kx﹣6＝0之中即可得出k的值；
（2）根据x+2，x﹣1是多项式2x3+ax2+5x﹣b的两个因式，得当x＝﹣2，x＝1时，2x3+ax2+5x﹣b＝0，再将x＝﹣2，x＝1分别代入2x3+ax2+5x﹣b＝0之中得出关于a，b的方程组，然后解这个关于a，b的方程组即可得出a，b的值．
【解答】解：（1）∵多项式x2+kx﹣6有一个因式为x﹣3，
∴当x＝3时，x2+kx﹣6＝0，
∴32+3k﹣6＝0，
∴k＝﹣1；
（2）∵x+2，x﹣1是多项式2x3+ax2+5x﹣b的两个因式，
∴当x＝﹣2，x＝1时，2x3+ax2+5x﹣b＝0，
即2×（﹣2）3+a×（﹣2）2+5×（﹣2）﹣b＝0①，2×13+a×12+5×1﹣b＝0②，
由①得：4a﹣b＝26③，
由②得：a﹣b＝﹣7④，
③﹣④得：3a＝33，
∴a＝11，
将a＝11代入④得：b＝18．
∴a＝11，b＝18．
22．（8分）某文具商店购买了两种类型文具A和文具B销售，若购A文具3个，B文具4个，需要211元；若购进A文具5个，B文具2个，需要165元．
（1）求文具A，文具B的进价分别是多少元？
（2）若每个文具A的售价为25元，每个文具B的售价为45元．结合市场需求，该商店决定购进文具A和文具B共70个，且购进文具B的数量不少于文具A的数量的，若文具A和文具B全部销售完，求销售的最大利润及相应的进货方案．
【分析】（1）设文具A的进价是x元，文具B的进价是y元，根据“购A文具3个，B文具4个，需要211元；购进A文具5个，B文具2个，需要165元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该商店购进m个文具A，则购进（70﹣m）个文件B，根据购进文具B的数量不少于文具A的数量的，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购进的两种文具全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每个文具A的销售利润×购进数量+每个文具B的销售利润×购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设文具A的进价是x元，文具B的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：文具A的进价是17元，文具B的进价是40元；
（2）设该商店购进m个文具A，则购进（70﹣m）个文件B，
根据题意得：70﹣m≥m，
解得：m≤42．
设购进的两种文具全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（25﹣17）m+（45﹣40）（70﹣m），
即w＝3m+350，
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝42时，w取得最大值，最大值为3×42+350＝476（元），此时70﹣m＝70﹣42＝28（个）．
答：当购进42个文具A，28个文件B时，销售利润最大，最大利润是476元．
23．（10分）问题探究：
（1）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝α，点D在AC边上，点E是射线BC上一动点，将线段DE绕点D逆时针旋转，旋转角为α，得到线段DF，连接EF，DG∥AB交BC于点G．
①如图1，当α＝60°时，点D为线段AC的中点，则线段CF与GE的数量关系是 EG＝CF ．
②如图2，当α＝90°时，点D为线段AC的中点，AB＝4，当AF的长度最小时，CF的长度为 2 ．
综合运用：
（2）如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，若D是AC边上一点，AB＝8，且AD：DC＝1：3，E是BC边上的动点，若点E绕点D顺时针旋转30°的对应点是F，连接BF，EF，求BF长度的最小值．
【分析】（1）①先证明△ABC是等边三角形，再证明△DGC是等边三角形，通过等边三角形的性质，利用边角边证明△GDE≌△CDF，即可解决问题；
②连接CF，并延长，同上可证明△GDE≌△CDF，利用全等三角形的性质得到∠GCF＝90°，即确定点F的轨迹，因此当AF⊥CF时，AF的值最小，最后由勾股定理即可求解；
（2）将DC绕点D顺时针旋转30°至DH，DH交BC于点O，连接FH交BC于点G，过点A作AN⊥BC，垂足为点N，先通过等腰三角形的性质及勾股定理求出，再证明△DFH≌△DEC，证明出FH∥AC，可以确定点F的轨迹，因此当BF⊥FH时，BF最短，由全等三角形的性质及平行线的性质证明出GC＝DH，则，最后由30°的直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）①结论：EG＝CF；
∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵DG∥AB，
∴∠DGC＝∠B＝60°，∠GDC＝∠A＝60°，
∴△DGC是等边三角形，
∴DG＝DC，
∵∠GDC＝∠EDF＝60°，
∴∠GDE＝∠CDF，
∵D E＝D F，
∴△GDE≌△CDF（SAS），
∴EG＝CF；
故答案为：EG＝CF；
②如图2中，连接CF，并延长，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵DG∥AB，
∴∠B＝∠DGC＝45°，∠CDG＝∠A＝90°，
∴△CDG是等腰直角三角形，
∴DG＝DC，
∵∠CDG＝∠EDF＝90°，
∴∠GDE＝∠CDF，
∵D E＝D F，
∴△GDE≌△CDF（SAS），
∴∠DGC＝∠DCF＝45°，
∴∠GCF＝90°，
∴CF⊥CB，
∴当AF⊥CF时，AF的值最小，
如图3，连接AF，

此时△AFC为等腰直角三角形，
设AF＝CF＝x，
在Rt△AFC中，由勾股定理得：x2+x2＝42，
解得，
即CF最小值为．
故答案为：2．
（2）如图4，将DC绕点D顺时针旋转30°至DH，DH交BC于点O，连接FH交BC于点G，过点A作AN⊥BC，垂足为点N，则DH＝DC，∠CDH＝30°，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴，
∵AB＝AC，AN⊥BC，
∴，
∴，
∴，
∵∠FDE＝∠CDH＝30°，
∴∠FDH＝∠EDC，
∵DF＝DE，DH＝DC，
∴△DFH≌△DEC（SAS），
∴∠DHF＝∠DCE＝30°，
∴∠DHF＝∠HDC，
∴FH∥AC，
∴当BF⊥FH时，BF最短，
∵∠C＝∠ODC＝30°，
∴OD＝OC，
∵FH∥AC，
∴∠OGH＝∠C＝30°，
∴∠DHF＝∠OGH＝∠FGB＝30°，
∴OG＝OH，
∴GC＝DH，
∵AD：CD＝1：3，AB＝AC＝8，
∴DC＝6，，
∵当BF⊥FH时，BF最短，而∠BGF＝30°，
∴，
∴BF最小值为．