2023-2024学年广东省深圳市宝安区沙井中学八年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年广东省深圳市宝安区沙井中学八年级（下）期中数学试卷，共19页。
A．B．
C．D．
2．（3分）式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣1＝x•x﹣1B．x2+2xy+1＝x（x+2y）+1
C．a2b+ab3＝ab（a+b2）D．x（x+y）＝x2+xy
3．（3分）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2B．由a＞b，得a2＞b2
C．由a＞b，得|a|＞|b|D．由a＞b，得﹣2a＜﹣2b
4．（3分）一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜3B．﹣1＜x≤3C．﹣1≤x＜3D．﹣1≤x≤3
5．（3分）如果分式中的x、y都扩大到原来的2倍，那么下列说法中，正确的是（ ）
A．分式的值不变
B．分式的值缩小为原来的
C．分式的值扩大为原来的2倍
D．分式的值扩大为原来的4倍
6．（3分）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8cmB．13cm
C．8cm或13cmD．11cm或13cm
7．（3分）下列命题中正确的有（ ）个．
（1）等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合；（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（4）等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长为16．
A．1B．2C．3D．4
8．（3分）随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，则AA'的长为（ ）
A．B．4C．D．5
10．（3分）把一副三角尺按如图①所示位置放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝12，DC＝14，把三角尺DCE绕点C按顺时针方向旋转15°得到△D1CE1如图②），此时AB与CD1相交于点O，则线段AD1的长为（ ）
A．B．10C．12D．
二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解5a2﹣a＝ ．
12．（3分）由深圳到广州的一条铁路全程约为146千米，高铁全程运行时间为a小时，则高铁的速度是每小时 千米．
13．（3分）△ABC中，BC＝6，∠A＝∠B＝60°，那么△ABC的面积是 ．
14．（3分）如图，平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与直线y＝mx+2相交于点A（﹣3，﹣1），则不等式mx+2＜kx+b的解集为 ．
15．（3分）如图：△ABC是等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝4，PE＝1，则AD的长是 ．
三.解答题（共7小题）
16．（7分）解下列一元一次不等式（组）：
（1）5x≥3x+1；
（2）并把它的解集表示在数轴上．
17．（5分）解方程．
18．（7分）先化简，再求值：，其中x＝2．
19．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．其中A（1，1）、B（4，1）、C（5，3）．
（1）将△ABC向上平移1格，向左平移5格，得到△A′B′C′，请画出△A′B′C′；
（2）写出B′和C′的坐标；
（3）计算△A′B′C′的面积．
20．（8分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该商场节前最多购进多少千克A粽子？
21．（10分）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
①（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；
②（x﹣4）（x+1）＝x2﹣3x﹣4；
③（y﹣5）（y﹣3）＝y2﹣8y+15．
通过以上计算发现，形如（x+p）（x+q）的两个多项式相乘，其结果一定为x2+（p+q）x+pq．（p，q为整数）
因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，所以一定有x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q），即可将形如x2+（p+q）x+pq的多项式因式分解成（x+p）（x+q）（p、q为整数）．
例如：x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2＝（x+1）（x+2）．
【初步应用】（1）用上面的方法分解因式：x2+6x+8＝ ；
【类比应用】（2）规律应用：若x2+mx+8可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是 ；
【拓展应用】（3）分解因式：（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．
22．（10分）（一）问题探究
已知：在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，把线段AC绕点A沿逆时针方向旋转n°得到线段AD，把线段AB绕点A沿顺时针方向旋转n°得到线段AE，分别连结CD、BE、BD、CE．
（1）如图①，当0°＜n＜90°时，线段BD与CE的数量关系是 （直接写出结论，不说理由）；
（2）如图②，当n＝90°时，
①探究线段BD与CE的数量关系，并说明理由；
②若AB＝7，BC＝3，求BD的长；
（二）解决问题
如图③，在四边形ACBD中，AB＝7，BC＝3，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，请直接写出线段BD的长．（不说理由）
2023-2024学年广东省深圳市宝安区沙井中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
2．（3分）式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣1＝x•x﹣1B．x2+2xy+1＝x（x+2y）+1
C．a2b+ab3＝ab（a+b2）D．x（x+y）＝x2+xy
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、不符合因式分解的定义，不是因式分解，，故本选项不符合题意；
B、不符合因式分解的定义，不是因式分解，，故本选项不符合题意；
C、符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
D、是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．（3分）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2B．由a＞b，得a2＞b2
C．由a＞b，得|a|＞|b|D．由a＞b，得﹣2a＜﹣2b
【分析】根据不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】解：A、由a＞b，根据不等式的性质1，两边同时减去2可得a﹣2＞b﹣2，故此变形错误；
B、由a＞b，得a2＞b2，错误，两边所乘的整式不相同，也不相等，故此变形错误；
C、由a＞b，得|a|＞|b|，错误，例如：﹣2＞﹣5，但是|﹣2|＜|﹣5|，故此变形错误；
D、由a＞b，得﹣2a＜﹣2b正确；
故选：D．
4．（3分）一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜3B．﹣1＜x≤3C．﹣1≤x＜3D．﹣1≤x≤3
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可．
【解答】解：∵﹣1处是实心圆点且折线向右，3处是空心圆点且折线向左，
∴﹣1≤x＜3．
故选：C．
5．（3分）如果分式中的x、y都扩大到原来的2倍，那么下列说法中，正确的是（ ）
A．分式的值不变
B．分式的值缩小为原来的
C．分式的值扩大为原来的2倍
D．分式的值扩大为原来的4倍
【分析】直接利用分式的性质化简得出答案．
【解答】解：把分式中的x、y都扩大到原来的2倍，
则原式可变为：＝＝，
故分式的值扩大为原来的2倍．
故选：C．
6．（3分）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8cmB．13cm
C．8cm或13cmD．11cm或13cm
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，
当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．
则三角形的周长为11cm或13cm．
故选：D．
7．（3分）下列命题中正确的有（ ）个．
（1）等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合；（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（4）等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长为16．
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用等腰三角形的性质、角平分线的判定、等边三角形的判定等知识分别判断后即可确定答案．
【解答】解：（1）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，故原命题错误，不符合题意；
（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，符合题意；
（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，正确，符合题意；
（4）等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长为16或17，故原命题错误，不符合题意，
正确的有2个，
故选：B．
8．（3分）随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据乘电动汽车与乘公交车速度间的关系，可得出乘电动汽车平均每小时走2.5x千米，利用时间＝路程÷速度，结合乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，乘公交车平均每小时走x千米，
∴乘电动汽车平均每小时走2.5x千米．
依题意得：＝+，
即＝+．
故选：D．
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，则AA'的长为（ ）
A．B．4C．D．5
【分析】连接AA'，由旋转的性质得出AC'、A'C'的长度，利用勾股定理即可得出答案．
【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，
∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝3，AB＝A'B，
根据勾股定理得：
AB＝＝5，
∴A'B＝AB＝5，
∴AC'＝AB﹣BC'＝1，
在Rt△AA'C'中，由勾股定理得：
AA'＝＝，
故选：A．
10．（3分）把一副三角尺按如图①所示位置放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝12，DC＝14，把三角尺DCE绕点C按顺时针方向旋转15°得到△D1CE1如图②），此时AB与CD1相交于点O，则线段AD1的长为（ ）
A．B．10C．12D．
【分析】由旋转的性质可得CD＝C1D＝14，∠BCE1＝15°，由等腰直角三角形的性质可求AO＝BO＝6＝CO，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，
∴∠DCE＝60°，△ACB是等腰直角三角形，
∵把三角尺DCE绕点C按顺时针方向旋转15°得到△D1CE1，
∴CD＝C1D＝14，∠BCE1＝15°，
∴∠BCO＝45°＝∠ABC，
∴∠BOC＝90°，
即CO⊥AB，
又∵△ACB是等腰直角三角形，
∴AO＝BO＝6＝CO，
∴OD1＝8，
∴AD1＝＝＝10，
故选：B．
二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解5a2﹣a＝ a（5a﹣1） ．
【分析】直接提取公因式a即可．
【解答】解：原式＝a（5a﹣1）．
故答案为：a（5a﹣1）．
12．（3分）由深圳到广州的一条铁路全程约为146千米，高铁全程运行时间为a小时，则高铁的速度是每小时 千米．
【分析】根据“路程＝速度×时间”进行变式、求解．
【解答】解：∵路程＝速度×时间，
∴高铁的速度是每小时千米，
故答案为：．
13．（3分）△ABC中，BC＝6，∠A＝∠B＝60°，那么△ABC的面积是 ．
【分析】过点A作AD⊥BC于D，先证明△ABC是等边三角形，得到，再由勾股定理得到，据此利用三角形面积计算公式求解即可．
【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于D，
在△ABC，∠A＝∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．（3分）如图，平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与直线y＝mx+2相交于点A（﹣3，﹣1），则不等式mx+2＜kx+b的解集为 x＜﹣3 ．
【分析】不等式mx+2＜kx+b的解集就是y＝mx+2的图象在y＝kx+b的图象的下边的部分对应的自变量的取值范围．
【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝mx+2相交于点A（﹣3，﹣1），
∴不等式mx+2＜kx+b的解集为x＜﹣3．
故答案为：x＜﹣3．
15．（3分）如图：△ABC是等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝4，PE＝1，则AD的长是 9 ．
【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，根据全等三角形的判定得出△ABE≌△CAD，根据全等三角形的性质得出AD＝BE，∠CAD＝∠ABE，求出∠BPQ＝∠BAC＝60°，求出∠PBQ＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BP，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，
在△ABE和△CAD中
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AD＝BE，∠CAD＝∠ABE，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP＝90°，
∵在Rt△BQP中，∠BQP＝90°，PQ＝4，∠PBQ＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴BP＝2PQ＝2×4＝8，
∵PE＝1，
∴AD＝BE＝BP+PE＝8+1＝9，
故答案为：9．
三.解答题（共7小题）
16．（7分）解下列一元一次不等式（组）：
（1）5x≥3x+1；
（2）并把它的解集表示在数轴上．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）∵5x≥3x+1，
∴5x﹣3x≥1，
则2x≥1，
∴x≥；
（2）由2x﹣1＜﹣x+2，得：x＜1，
由＜，得：x＞﹣5，
则不等式组的解集为﹣5＜x＜1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
17．（5分）解方程．
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：x+2（x﹣3）＝﹣3，
整理得：3x﹣6＝﹣3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣3＝1﹣3＝﹣2≠0，
故原分式方程的解为x＝1．
18．（7分）先化简，再求值：，其中x＝2．
【分析】先计算分式的除法，再算分式的减法，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：
＝•﹣
＝﹣
＝
＝
＝，
当x＝2时，原式＝＝．
19．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．其中A（1，1）、B（4，1）、C（5，3）．
（1）将△ABC向上平移1格，向左平移5格，得到△A′B′C′，请画出△A′B′C′；
（2）写出B′和C′的坐标；
（3）计算△A′B′C′的面积．
【分析】（1）根据平移的性质确定点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）结合图象即可获得答案；
（3）根据三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）如下图，△ABC即为所求；
（2）由图象可知，B′（﹣1，2）、C′（0，4）；
（3）△A′B′C′的面积．
20．（8分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该商场节前最多购进多少千克A粽子？
【分析】（1）设该商场节后每千克A粽子的进价是x元，则节前每千克A粽子的进价是（x+2）元，根据节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进A粽子（400﹣m）千克，根据总费用不超过4600元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设该商场节后每千克A粽子的进价是x元，则节前每千克A粽子的进价是（x+2）元，
根据题意得：，
解得 x＝10，
经检验，x＝10 是原分式方程的解，且符合题意，
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
（2）由（1）可知，x+2＝12，
设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进A粽子（400﹣m）千克，
根据题意得：12m+10（400﹣m）≤4600，
解得：m≤300，
答：该商场节前最多购进300千克A粽子．
21．（10分）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
①（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；
②（x﹣4）（x+1）＝x2﹣3x﹣4；
③（y﹣5）（y﹣3）＝y2﹣8y+15．
通过以上计算发现，形如（x+p）（x+q）的两个多项式相乘，其结果一定为x2+（p+q）x+pq．（p，q为整数）
因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，所以一定有x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q），即可将形如x2+（p+q）x+pq的多项式因式分解成（x+p）（x+q）（p、q为整数）．
例如：x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2＝（x+1）（x+2）．
【初步应用】（1）用上面的方法分解因式：x2+6x+8＝ （x+2）（x+4） ；
【类比应用】（2）规律应用：若x2+mx+8可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是 ±6或±9 ；
【拓展应用】（3）分解因式：（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．
【分析】（1）按照已知条件中方法进行分解因式即可；
（2）先找出乘积为8的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出m的值即可；
（3）按照已知条件中的方法，先把﹣15分解成﹣5×3，然后把多项式进行第一次分解因式，再把﹣5分解成﹣5×1，3分解成﹣3×（﹣1），进行第二次分解因式即可．
【解答】解：（1）x2+6x+8
＝x2+（2+4）x+2×4
＝（x+2）（x+4），
故答案为：（x+2）（x+4）；
（2）∵8＝1×8＝2×4＝（﹣1）×（﹣8）＝（﹣2）×（﹣4），
∴x2+（8+1）x+8＝（x+8）（x+1），
x2+（2+4）x+8＝（x+2）（x+4），
x2+（﹣1﹣8）x+8＝（x﹣1）（x﹣8），
x2+（﹣2﹣4）x+8＝（x﹣2）（x﹣4），
∴m＝8+1＝9或2+4＝6或﹣1﹣8＝﹣9或﹣2﹣4＝﹣6，
∴整数m的值可能是±6或±9，
故答案为：±6或±9；
（3）（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15
＝（x2﹣4x）2+（﹣5+3）（x2﹣4x）+（﹣5）×3
＝（x2﹣4x﹣5）（x2﹣4x+3）
＝[x2+（﹣5+1）x+（﹣5）×1][x2+（﹣3﹣1）x+（﹣3）×（﹣1）]
＝（x﹣5）（x+1）（x﹣3）（x﹣1）．
22．（10分）（一）问题探究
已知：在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，把线段AC绕点A沿逆时针方向旋转n°得到线段AD，把线段AB绕点A沿顺时针方向旋转n°得到线段AE，分别连结CD、BE、BD、CE．
（1）如图①，当0°＜n＜90°时，线段BD与CE的数量关系是 BD＝CE （直接写出结论，不说理由）；
（2）如图②，当n＝90°时，
①探究线段BD与CE的数量关系，并说明理由；
②若AB＝7，BC＝3，求BD的长；
（二）解决问题
如图③，在四边形ACBD中，AB＝7，BC＝3，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，请直接写出线段BD的长．（不说理由）
【分析】（1）由“SAS”可证△AEC≌△ABD，可得BD＝CE；
（2）①由“SAS”可证△AEC≌△ABD，可得BD＝CE；
②由勾股定理可求解．
（3）由“SAS”可证△ADB≌△ACH，可得BD＝CH＝7﹣3．
【解答】解：（1）∵把线段AC绕点A沿逆时针方向旋转n°得到线段AD，把线段AB绕点A沿顺时针方向旋转n°得到线段AE，
∴AB＝AE，AC＝AD，∠CAD＝∠BAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△AEC≌△ABD（SAS），
∴BD＝CE，
故答案为：BD＝CE；
（2）①BD＝CE，理由如下：
∵把线段AC绕点A沿逆时针方向旋转n°得到线段AD，把线段AB绕点A沿顺时针方向旋转n°得到线段AE，
∴AB＝AE，AC＝AD，∠CAD＝∠BAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△AEC≌△ABD（SAS），
∴BD＝CE；
②∵AB＝AE，∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，BE＝AB＝7，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝90°，
∴EC＝＝＝，
∴BD＝；
（3）如图③，过点A作AH⊥AB，交BC的延长线于H，
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝AD，∠CAD＝90°，
∵∠ABC＝45°，AH⊥AB，
∴∠ABC＝∠H，
∴AB＝AH＝7，
∴BH＝7，
∴CH＝BH﹣BC＝7﹣3，
∵∠DAC＝∠BAH＝90°，
∴∠DAB＝∠CAH，
∴△ADB≌△ACH（SAS），
∴BD＝CH＝7﹣3．