2021-2022学年湖南省长沙市长沙县八年级(下)期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年湖南省长沙市长沙县八年级(下)期中数学试卷,共25页。
A.B.C.D.
2.(3分)不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A.AB∥CD,AD=BCB.AD=BC,AB=CD
C.AD∥BC,AD=BCD.∠A=∠C,∠B=∠D
3.(3分)陈师傅应客户要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件.在交付客户之前,陈师傅需要对4个零件进行检测.根据零件的检测结果,图中有可能不合格的零件是( )
A.
B.
C.
D.
4.(3分)下列关于一次函数y=﹣3x+2的图象性质的说法中,不正确的是( )
A.直线与y轴交点的坐标是(0,2)
B.直线经过第一、二、四象限
C.y随x的增大而减小
D.与坐标轴围成的三角形面积为2
5.(3分)下列说法中,是正方形具有而矩形不具有的性质是( )
A.两组对边分别平行B.对角线互相垂直
C.四个角都为直角D.对角线互相平分
6.(3分)如图,长方形OABC的边OA长为2,AB长为1,OA在数轴上,以原点O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是( )
A.2.5B.C.D.3
7.(3分)如图,公路AC,BC互相垂直,点M为公路AB的中点,为测量湖泊两侧C、M两点间的距离,若测得AB的长为5m,则M,C两点间的距离为( )
A.2.5cmB.3cmC.4.5cmD.5cm
8.(3分)如图,顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH,要使四边形EFGH为矩形,应添加的条件是( )
A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB=DC
9.(3分)已知一次函数y=kx+b,函数值y随自变量x的增大而增大,且kb<0,则函数y=kx+b的图象大致是( )
A.B.
C.D.
10.(3分)如图,菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上,∠AOC=60°,OA=4,则点C的坐标为( )
A.B.C.D.(2,2)
11.(3分)直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k1x+b<k2x+c的解集为( )
A.x>1B.x<1C.x>﹣2D.x<﹣2
12.(3分)如图,A(1,0),B(3,0),M(4,3),动点P从点A出发,以每秒2个单位长的速度向右移动,且经过点P的直线l:y=﹣x+b也随之移动,设移动时间为t秒,若直线l与线段BM有公共点,则t的取值范围为( )
A.1≤t≤3B.2≤t≤4C.1≤t≤4D.2≤t≤3
二.填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.(3分)函数y=的自变量x的取值范围是 .
14.(3分)已知y与x成正比例,且x=1时,y=﹣2,则当x=﹣1时,y= .
15.(3分)点(x1,y1),(x2,y2)是一次函数y=﹣2x+m上的点,如果x1<x2,则y1 y2(填“>”、“=”、“<”).
16.(3分)如图,菱形ABCD中,E、F分别是AB、AC的中点,若EF=6,则菱形ABCD的周长为 .
17.(3分)如图,矩形OABC的顶点B的坐标为(4,3),则对角线AC的长等于 .
18.(3分)我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题:今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问:葭长几何?(1丈=10尺)•意思是:有一个长方体池子,底面是边长为1丈的正方形,中间有芦苇,把高出水面1尺的芦苇拉向池边(芦苇没有折断),刚好贴在池边上,问:芦苇长多少尺?答:芦苇长 尺.
三.解答题(本大题共8小题,共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
19.(6分)计算:
(1);
(2).
20.(6分)如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,AC=12,AB=13,点D是Rt△ABC外一点,连接DC,DB,且CD=2,.
(1)求BC的长;
(2)求证:△BCD是直角三角形.
21.(8分)一次函数y=(2m+1)x+m﹣3.
(1)若函数图象经过原点,求m的值;
(2)若函数图象平行于直线y=3x﹣3,求该函数解析式,并在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象;
(3)在(1)的条件下,将正比例函数的图象向下平移4个单位,求出平移后的直线解析式.
22.(8分)如图,在▱ABCD中,F是BC的中点,连接AF并延长,交DC的延长线于点E,连接AC,BE.求证:四边形ABEC是平行四边形.
23.(9分)4月23日是“世界读书日”,甲书店在这一天举行了购书优惠活动.
甲书店:“与书相伴,遇见更好地为自己”,一次购书中标价总额不超过80元的按原价计费超过80元的部分5折.以x(单位:元)表示标价总额,y(单位:元)表示应支付金额.
(1)文文购买标价总额50元的书需付款 元;购买标价总额100元书需付款 元;
(2)求支付金额y关于x的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
(3)当天,隔壁的乙书店:“阅读改变生活,共创文明长沙”活动:同样标价的书籍均按标价7折出售;若文文需买250元书,选择哪家书店去购书更省钱?说明你的理由.
24.(9分)如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=DC,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若,BD=2,求CE的长.
25.(10分)如图,在平面直角坐标系中,函数y=2x+8的图象分别交x轴、y轴于A、B两点,过点A的直线交y轴正半轴于点M,且点M为线段OB的中点.
(1)求直线AM的函数解析式.
(2)试在直线AM上找一点P,使得S△ABP=S△AOB,请直接写出点P的坐标.
(3)若点H为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点H,使以A、B、M、H为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有点H的坐标;若不存在,请说明理由.
26.(10分)在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点M(x1,y1),N(x2,y2),定义如下:点M与点N的“直角距离”为|x1﹣x2|+|y1﹣y2|,记作dMN.
例如:点M(1,5)与N(7,2)的“直角距离”dMN=|1﹣7|+|5﹣2|=9.
(1)两点P1(﹣1,0)、P2(1,1)中,与原点O的“直角距离”等于1的点是 ;
(2)如图,已知点A(1,0),B(0,1),根据定义可知线段AB上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1.若点P(x,y)与原点O的“直角距离”dOP=1,即|x﹣0|+|y﹣0|=1.则当x=时,点P的坐标为 ,请你在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全;
(3)已知直线y=kx+3和点C(2,0),若直线y=kx+3上存在点D,满足dCD=1,求k的取值范围.
2021-2022学年湖南省长沙市长沙县八年级(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)
1.(3分)下列二次根式中的最简二次根式是( )
A.B.C.D.
【分析】根据最简二次根式的概念:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,结合选项求解即可.
【解答】解:A、=2,故不是最简二次根式,本选项错误;
B、=2,故不是最简二次根式,本选项错误;
C、=,故不是最简二次根式,本选项错误;
D、是最简二次根式,本选项正确.
故选:D.
2.(3分)不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A.AB∥CD,AD=BCB.AD=BC,AB=CD
C.AD∥BC,AD=BCD.∠A=∠C,∠B=∠D
【分析】由平行四边形的判定方法对各个选项进行判断即可.
【解答】解:A、由AB∥CD,AD=BC,不能判定四边形ABCD是平行四边形,故本选项符合题意;
B、∵AD=BC,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,故本选项不符合题意;
C、∵AD∥BC,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,故本选项不符合题意;
D、∵∠A=∠C,∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形,故本选项不符合题意;
故选:A.
3.(3分)陈师傅应客户要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件.在交付客户之前,陈师傅需要对4个零件进行检测.根据零件的检测结果,图中有可能不合格的零件是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据矩形的判定定理有:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;(2)有三个角是直角的四边形是矩形;(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
【解答】解:A、有一个角是直角的平行四边形是矩形,能判定矩形,不符合题意;
B、其中四边形中三个角都为直角,能判定矩形,不符合题意;
C、对角相等的四边形不一定是矩形,不能判定形状,符合题意;
D、一组对边平行且相等,能判定平行四边形,有一个角是直角的平行四边形是矩形,则能判定矩形,不符合题意.
故选:C.
4.(3分)下列关于一次函数y=﹣3x+2的图象性质的说法中,不正确的是( )
A.直线与y轴交点的坐标是(0,2)
B.直线经过第一、二、四象限
C.y随x的增大而减小
D.与坐标轴围成的三角形面积为2
【分析】A、代入y=0求出与之对应的x值,进而可得出直线与x轴的交点坐标;
B、由k=﹣1<0,b=2>0,利用一次函数图象与系数的关系可得出直线经过第一、二、四象限;
C、由k=﹣1<0,利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小;
D、代入x=0求出与之对应的y值,进而可得出直线与y轴的交点坐标,再利用面积公式即可求出直线与坐标轴围成的三角形面积.
【解答】解:A、∵当x=0时,﹣3x+2=2,
∴直线与y轴交点的坐标是(0,2);
B、∵k=﹣3<0,b=2>0,
∴直线经过第一、二、四象限;
C、∵k=﹣1<0,
∴y随x的增大而减小;
D、当x=0时,y=﹣1×0+2=2,
∴直线与y轴交点的坐标为(0,2),
∴直线与坐标轴围成的三角形面积=×2×=.
故选:D.
5.(3分)下列说法中,是正方形具有而矩形不具有的性质是( )
A.两组对边分别平行B.对角线互相垂直
C.四个角都为直角D.对角线互相平分
【分析】根据正方形、矩形的性质即可判断.
【解答】解:因为正方形的对角相等,对角线相等、垂直、且互相平分,矩形的对角相等,对角线相等,互相平分,
所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直.
故选:B.
6.(3分)如图,长方形OABC的边OA长为2,AB长为1,OA在数轴上,以原点O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是( )
A.2.5B.C.D.3
【分析】本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系(勾股定理)解答即可.
【解答】解:由勾股定理可知,
∵OB==,
∴这个点表示的实数是.
故选:C.
7.(3分)如图,公路AC,BC互相垂直,点M为公路AB的中点,为测量湖泊两侧C、M两点间的距离,若测得AB的长为5m,则M,C两点间的距离为( )
A.2.5cmB.3cmC.4.5cmD.5cm
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=AB,再求出答案即可.
【解答】解:∵公路AC,BC互相垂直,
∴∠ACB=90°,
∵M为AB的中点,
∴CM=AB,
∵AB=5m,
∴CM=2.5(m),
即M,C两点间的距离为2.5m,
故选:A.
8.(3分)如图,顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH,要使四边形EFGH为矩形,应添加的条件是( )
A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB=DC
【分析】根据矩形的判定定理(有一个角为直角的平行四边形是矩形).先证四边形EFGH是平行四边形,要使四边形EFGH为矩形,需要∠EFG=90度.由此推出AC⊥BD.
【解答】解:依题意得,四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成,
连接AC、BD,故EF∥AC∥HG,EH∥BD∥FG,
所以四边形EFGH是平行四边形,
要使四边形EFGH为矩形,
根据矩形的判定(有一个角为直角的平行四边形是矩形)
故当AC⊥BD时,∠EFG=∠EHG=90度.四边形EFGH为矩形.
故选:C.
9.(3分)已知一次函数y=kx+b,函数值y随自变量x的增大而增大,且kb<0,则函数y=kx+b的图象大致是( )
A.B.
C.D.
【分析】根据一次函数y=kx+b的图象与k和b之间的关系即可解决问题.
【解答】解:因为一次函数y=kx+b,函数值y随自变量x的增大而增大,
所以k>0,
又因为kb<0,
所以b<0,
则一次函数y=kx+b的图象与y轴交于负半轴.
所以D选项符合题意.
故选:D.
10.(3分)如图,菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上,∠AOC=60°,OA=4,则点C的坐标为( )
A.B.C.D.(2,2)
【分析】过C作CD⊥OA于D,由菱形的性质得OC=OA=4,再由含30°角的直角三角形的性质得OD=OC=2,然后由勾股定理得CD=2,即可得出点C的坐标.
【解答】解:过C作CD⊥OA于D,如图:
则∠ODC=90°,
∵四边形OABC是菱形,
∴OC=OA=4,
∵∠AOC=60°,
∴∠OCD=90°﹣∠AOC=30°,
∴OD=OC=2,
∴CD===2,
∴点C的坐标为(2,2),
故选:A.
11.(3分)直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k1x+b<k2x+c的解集为( )
A.x>1B.x<1C.x>﹣2D.x<﹣2
【分析】y=k1x+b与直线l2:y=k2x+c在同一平面直角坐标系中的交点是(1,﹣2),根据图象得到x<1时不等式k1x+b<k2x+c成立.
【解答】解:由图可得:l1与直线l2在同一平面直角坐标系中的交点是(1,﹣2),且x<1时,直线l1的图象在直线l2的图象下方,故不等式k1x+b<k2x+c的解集为:x<1.
故选:B.
12.(3分)如图,A(1,0),B(3,0),M(4,3),动点P从点A出发,以每秒2个单位长的速度向右移动,且经过点P的直线l:y=﹣x+b也随之移动,设移动时间为t秒,若直线l与线段BM有公共点,则t的取值范围为( )
A.1≤t≤3B.2≤t≤4C.1≤t≤4D.2≤t≤3
【分析】分别求出直线l经过点B、点M时的t值,即可得到t的取值范围.
【解答】解:当直线y=﹣x+b过点B(3,0)时,
0=﹣3+b,
解得:b=3,
0=﹣(1+2t)+3,
解得t=1.
当直线y=﹣x+b过点M(4,3)时,
3=﹣4+b,
解得:b=7,
0=﹣(1+2t)+7,
解得t=3.
故若l与线段BM有公共点,t的取值范围是:1≤t≤3,
故选:A.
二.填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.(3分)函数y=的自变量x的取值范围是 x≥﹣1 .
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式,解不等式得到答案.
【解答】解:由题意得:x+1≥0,
解得:x≥﹣1,
故答案为:x≥﹣1.
14.(3分)已知y与x成正比例,且x=1时,y=﹣2,则当x=﹣1时,y= 2 .
【分析】用待定系数法求正比例函数的解析式.
【解答】解:因为y与x成正比例,所以设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0),
把x=1时,y=﹣2代入得:k=﹣2,
故此正比例函数的解析式为:y=﹣2x,
当x=﹣1时,y=﹣2×(﹣1)=2.
故答案为:2.
15.(3分)点(x1,y1),(x2,y2)是一次函数y=﹣2x+m上的点,如果x1<x2,则y1 > y2(填“>”、“=”、“<”).
【分析】根据所给一次函数的性质即可解决问题.
【解答】解:因为一次函数解析式为y=﹣2x+m,且﹣2<0,
所以一次函数的函数值y随x的增大而减小.
又因为点(x1,y1),(x2,y2)是一次函数y=﹣2x+m上的点,且x1<x2,
所以y1>y2.
故答案为:>.
16.(3分)如图,菱形ABCD中,E、F分别是AB、AC的中点,若EF=6,则菱形ABCD的周长为 48 .
【分析】证明EF是△ABC的中位线,得BC=2EF=2×6=12,再由菱形的性质得AB=BC=CD=AD=12,即可得出结论.
【解答】解:∵E、F分别是AB、AC的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴BC=2EF=2×6=12,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD=12,
∴菱形ABCD的周长=4×12=48,
故答案为:48.
17.(3分)如图,矩形OABC的顶点B的坐标为(4,3),则对角线AC的长等于 5 .
【分析】先求出OB的长,由矩形的性质可得AC=BO=5.
【解答】解:如图,连接OB,
∵点B的坐标为(4,3),
∴OB==5,
∵四边形ABCO是矩形,
∴AC=BO=5,
故答案为:5.
18.(3分)我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题:今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问:葭长几何?(1丈=10尺)•意思是:有一个长方体池子,底面是边长为1丈的正方形,中间有芦苇,把高出水面1尺的芦苇拉向池边(芦苇没有折断),刚好贴在池边上,问:芦苇长多少尺?答:芦苇长 13 尺.
【分析】首先设芦苇长x尺,则为水深为(x﹣1)尺,根据勾股定理可得方程(x﹣1)2+52=x2,进而得出答案.
【解答】解:设芦苇长x尺,由题意得:
(x﹣1)2+52=x2,
解得:x=13,
故答案为:13.
三.解答题(本大题共8小题,共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
19.(6分)计算:
(1);
(2).
【分析】(1)先根据二次根式的乘法法则运算,然后化简二次根式即可;
(2)先把各二次根式化为最简二次根式,然后合并同类二次根式即可.
【解答】解:(1)原式=+
=3+;
(2)原式=3﹣2+
=.
20.(6分)如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,AC=12,AB=13,点D是Rt△ABC外一点,连接DC,DB,且CD=2,.
(1)求BC的长;
(2)求证:△BCD是直角三角形.
【分析】(1)在Rt△ABC中,根据勾股定理即可求得BC的长;
(2)利用勾股定理逆定理即可证明△BCD是直角三角形.
【解答】(1)解:∵Rt△ABC中,∠BCA=90°,AC=12,AB=13,
∴BC===5;
(2)证明:∵在△BCD中,CD=4,BD=3,BC=5,
∴CD2+BD2=42+32=52=BC2,
∴△BCD是直角三角形.
21.(8分)一次函数y=(2m+1)x+m﹣3.
(1)若函数图象经过原点,求m的值;
(2)若函数图象平行于直线y=3x﹣3,求该函数解析式,并在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象;
(3)在(1)的条件下,将正比例函数的图象向下平移4个单位,求出平移后的直线解析式.
【分析】(1)将(0,0)代入函数解析式即可解决问题.
(2)根据两个一次函数图象平行时,k值相等即可解决问题.
(3)根据“上加下减,左加右减”的平移法则即可解决问题.
【解答】解:(1)因为函数图象经过原点,
所以m﹣3=0,
解得m=3,
故m的值为3.
(2)因为函数图象平行于直线y=3x﹣3,
所以2m+1=3,
解得m=1,
所以一次函数解析式为y=3x﹣2.
函数图象如图所示,
(3)由(1)知,
正比例函数的解析式为y=7x,
所以此函数图象向下平移4个单位所得函数图象的解析式为y=7x﹣4.
22.(8分)如图,在▱ABCD中,F是BC的中点,连接AF并延长,交DC的延长线于点E,连接AC,BE.求证:四边形ABEC是平行四边形.
【分析】利用平行四边形的性质、中点的定义以及全等三角形的判定定理推知△ABF≌ECF,得出AF=EF,即可得出结论.
【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD,
∴∠BAF=∠CEF,∠B=∠ECF,
∵F是BC的中点,
∴BF=CF,
∴在△ABF与ECF中,,
∴△ABF≌ECF(AAS),
∴AF=EF,
∴四边形ABEC是平行四边形;
23.(9分)4月23日是“世界读书日”,甲书店在这一天举行了购书优惠活动.
甲书店:“与书相伴,遇见更好地为自己”,一次购书中标价总额不超过80元的按原价计费超过80元的部分5折.以x(单位:元)表示标价总额,y(单位:元)表示应支付金额.
(1)文文购买标价总额50元的书需付款 50 元;购买标价总额100元书需付款 90 元;
(2)求支付金额y关于x的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
(3)当天,隔壁的乙书店:“阅读改变生活,共创文明长沙”活动:同样标价的书籍均按标价7折出售;若文文需买250元书,选择哪家书店去购书更省钱?说明你的理由.
【分析】(1)根据题意直接作答即可;
(2)分别写出当0≤x≤80、x>80时y关于x的函数解析式并写成分段函数的形式即可;
(3)分别计算在甲、乙书店购买应支付的金额并比较大小即可.
【解答】解:(1)∵50<80,
∴文文购买标价总额50元的书需付款50元;
∵100>80,
∴购买标价总额100元书需付款80+0.5×(100﹣80)=90(元).
故答案为:50,90.
(2)当0≤x≤80时,y=x;
当x>80时,y=80+0.5(x﹣80)=0.5x+40;
∴y关于x的函数解析式为.
(3)选择甲书店去购书更省钱.理由如下:
在甲书店购买应支付的金额0.5×250+40=165(元),在乙书店购买应支付的金额0.7×250=175(元),
∵165<175,
∴选择甲书店去购书更省钱.
24.(9分)如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=DC,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若,BD=2,求CE的长.
【分析】(1)证四边形ABCD是平行四边形,∠BAC=∠DCA,再证∠DCA=∠DAC,则AD=CD,然后由菱形的判定即可得出结论;
(2)由菱形的性质得OA=OC,OB=OD=BD=1,AC⊥BD,再由勾股定理得OA=2,则AC=2OA=4,然后由菱形面积求出CE的长即可.
【解答】(1)证明:∵AB∥DC,AB=DC,
∴四边形ABCD是平行四边形,∠BAC=∠DCA,
∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC,
∴∠DCA=∠DAC,
∴AD=CD,
∴平行四边形ABCD是菱形;
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC,OB=OD=BD=1,AC⊥BD,
∴∠AOB=90°,
∴OA===2,
∴AC=2OA=4,
∵CE⊥AB,
∴S菱形ABCD=AB•CE=AC•BD,
即CE=×4×2,
解得:CE=,
即CE的长为.
25.(10分)如图,在平面直角坐标系中,函数y=2x+8的图象分别交x轴、y轴于A、B两点,过点A的直线交y轴正半轴于点M,且点M为线段OB的中点.
(1)求直线AM的函数解析式.
(2)试在直线AM上找一点P,使得S△ABP=S△AOB,请直接写出点P的坐标.
(3)若点H为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点H,使以A、B、M、H为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有点H的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A,B的坐标,由点M为线段OB的中点可得出点M的坐标,根据点A,M的坐标,利用待定系数法即可求出直线AM的函数解析式;
(2)设点P的坐标为(x,x+4),利用三角形的面积公式结合S△ABP=S△AOB,即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程,解之即可得出点P的坐标;
(3)设点H的坐标为(m,n),分别以△ABM的三边为对角线,利用平行四边形的性质(对角线互相平分),即可得出关于m,n的方程组,解之即可得出点H的坐标,此题得解.
【解答】解:(1)当x=0时,y=2x+8=8,
∴点B的坐标为(0,8);
当y=0时,2x+8=0,
解得:x=﹣4,
∴点A的坐标为(﹣4,0).
∵点M为线段OB的中点,
∴点M的坐标为(0,4).
设直线AM的函数解析式为y=kx+b(k≠0),
将A(﹣4,0),B(0,4)代入y=kx+b,得:,
解得:,
∴直线AM的函数解析式为y=x+4.
(2)设点P的坐标为(x,x+4),
∵S△ABP=S△AOB,
∴BM•|xP﹣xA|=OA•OB,即×4×|x+4|=×4×8,
解得:x1=﹣12,x2=4,
∴点P的坐标为(﹣12,﹣8)或(4,8).
(3)设点H的坐标为(m,n).
分三种情况考虑(如图所示):
①当AM为对角线时,,
解得:,
∴点H1的坐标为(﹣4,﹣4);
②当AB为对角线时,,
解得:,
∴点H2的坐标为(﹣4,4);
③当BM为对角线时,,
解得:,
∴点H3的坐标为(4,12).
综上所述:在坐标平面内存在点H,使以A、B、M、H为顶点的四边形是平行四边形,点H的坐标为(﹣4,﹣4),(﹣4,4)或(4,12).
26.(10分)在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点M(x1,y1),N(x2,y2),定义如下:点M与点N的“直角距离”为|x1﹣x2|+|y1﹣y2|,记作dMN.
例如:点M(1,5)与N(7,2)的“直角距离”dMN=|1﹣7|+|5﹣2|=9.
(1)两点P1(﹣1,0)、P2(1,1)中,与原点O的“直角距离”等于1的点是 P1 ;
(2)如图,已知点A(1,0),B(0,1),根据定义可知线段AB上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1.若点P(x,y)与原点O的“直角距离”dOP=1,即|x﹣0|+|y﹣0|=1.则当x=时,点P的坐标为 (﹣,)或(﹣,﹣) ,请你在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全;
(3)已知直线y=kx+3和点C(2,0),若直线y=kx+3上存在点D,满足dCD=1,求k的取值范围.
【分析】(1)根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离,即可判断;
(2)根据“直角距离”的定义得|x|+|y|=1,分四种情况可得四个函数关系式,分别画出即可;
(3)先根据题意可得点C的坐标为(3,0),根据dCD=1,并由(2)可得:点D在正方形EFMN边上,如图2,通过观察图2可得:k的最大值是过点E的直线,k的最小值是过F,M的直线,代入可得结论.
【解答】解:(1)∵点P1(﹣1,0),P2(1,1),
∴=|﹣1|+0=1,=|1|+|1|=2,
∴与原点O的“直角距离”等于1的点是P1,
故答案为:P1;
(2)设P(x,y),
∵点P与原点O的“直角距离”dOP=1,
∴|x|+|y|=1,
当x>0,y>0时,x+y=1,即y=﹣x+1,
当x>0,y<0时,x﹣y=1,即y=x﹣1,
当x<0,y>0时,﹣x+y=1,即y=x+1,
当x<0,y<0时,﹣x﹣y=1,即y=﹣x﹣1,
当x=﹣时,y=x+1=﹣+1=,
当x=﹣时,y=﹣x﹣1=﹣1=﹣,
∴点P的坐标为(﹣,)或(﹣,﹣),
如图1所示,
故答案为:(﹣,)或(﹣,﹣);
(3)∵点C的坐标为(2,0),
由(2)可得:dCD=1,则点D在正方形EFMN边上,如图2,
∴F(1,0),E(2,1),M(2,﹣1),N(3,0),
又∵点D在直线y=kx+3,又直线y=kx+3过点(0,3),
由图2可知:当直线y=kx+b过点E时,通过观察图2可得:k的最大值是过点E的直线,k的最小值是过F,M的直线,
把点E的坐标(2,1)代入y=kx+3中,2k+3=1,k=﹣1,
把点F的坐标(1,0)代入y=kx+3中,k+3=0,k=﹣3,
故k的取值范围是:﹣3≤k≤﹣1.
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