江西省五市九校协作体2024届高三下学期第二次联考数学试卷

这是一份江西省五市九校协作体2024届高三下学期第二次联考数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知是实系数方程的一个根.则( )
A. 4B. C. 0D. 2
2.设集合，则( )
A. B. C. D.
3.设是等差数列的前n项和，且，则( )
A. 17B. 34C. 51D. 68
4.若抛物线上一点到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍.则( )
A. B. 1C. D. 2
5.将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知函数图象的对称轴方程为，则( )
A. B. C. D.
7.已知正四面体棱长为4，半径为的球与侧面SAB、SAC、BAC都相切，则该球心到棱AB的距离为( )
A. B. C. D.
8.若点P既在直线上，又在椭圆上，C的左、右焦点分别为，，，且的平分线与l垂直，则C的长轴长为( )
A. B. C. 或D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知、是夹角为的单位向量，下列结论正确的有( )
A. B.
C. ，D. 在方向上的投影数量为
10.在平面直角坐标系xOy中，，点P满足设点P的轨迹为下列结论正确的是( )
A. C的方程
B. 在x轴上存在异于A、B的两定点D、E，使
C. 当A、B、P三点不共线时，射线PO是的平分线
D. 在C上不存在点M，使
11.已知定义在R上的连续函数，其导函数为，且，，函数为奇函数，当时，，则( )
A. B.
C. ，D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为__________.
13.记的内角A、B、C的对边分别为a、b、若则的最小值为__________.
14.若实数a，b，c满足条件：，则的最大值是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
从集合的所有非空子集中，等可能地取出m个
若，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率;
若，记所取子集的元素个数之差的绝对值为，求的分布列及数学期望
16.本小题15分
已知函数，其中
若，求函数的增区间;
若在上的最大值为求a的取值范围.
17.本小题15分
如图，三棱柱中，侧面为菱形，，
求证：平面
若，，求二面角的余弦值.
18.本小题17分
我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点.
求双曲线的方程;
设过点的动直线l交双曲线右支于A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，
试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值;若不是定值，请说明理由;
求的取值范围.
19.本小题17分
若存在常数t，使得数列满足，则称数列为“数列”.
判断数列：1，2，3，8，49是否为“数列”，并说明理由;
若数列是首项为2的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求t的值和数列的通项公式;
若数列是“数列”，为数列的前n项和，，，试比较与的大小，并证明
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了复数的四则运算与共轭复数以及实系数的一元二次方程的虚根成对原理，属于基础题．
利用实系数的一元二次方程的虚根成对原理即可得出．
【解答】
解：是关于x的方程 的一个根，
也是关于x的方程 的一个根．
所以，，
解得，，
所以
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查交集运算，属于基础题.
化简M，N，由交集运算即可求解.
【解答】
解：，，
则
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等差数列的求和公式，属于基础题.
利用等差数列的求和公式即可求解.
【解答】
解：设公差为d，
则，即，
则
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查抛物线的概念与方程、性质，属基础题．
根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的交点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点到焦点的距离，根据题意得到关于的方程，求解即可．
【解答】
解：已知拋物线的方程为，可得
所以焦点为，准线为
抛物线上一点到焦点F的距离等于到准线l的距离，
即，
又到x轴的距离为，
由已知得，解得
故选
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查古典概型，属于一般题.
利用古典概型的概率公式即可求解.
【解答】
解：将1个0，2个1，2个2随机排成一行，共有种，
其中，2个1不相邻的情况有种，
故所求概率为
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查三角函数图象的周期与对称性、辅助角公式，函数的对称性，属于中档题.
由函数的对称轴可得即可求得，利用函数的对称性可得，则，即可求得a的值，得到函数解析式，代入即可求解.
【解答】
解：，其中
由函数图象的对称轴方程为，得的最小正周期，所以，
所以
由函数图象的对称轴方程为，得，
令，得，即，得，
所以，则
故选
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了球的切接问题，几何体的结构特征，属于中档题.
取的中心为点Q，连接SQ并延长交BC于点D，可知球心O在线段AQ上，记球O与平面ABC的切点为点M，解三角形求得AO，在平面SAD内，过点O作于点N，再求得ON，即可得到结果.
【解答】
解：取的中心为点Q，连接AQ，则平面SBC，
连接SQ并延长交BC于点D，连接AD，
可知点D为BC的中点，
因为球与侧面SAB、SAC、BAC都相切，
所以球心O在线段AQ上，记球O与平面ABC的切点为点M，
可知点M在线段AD上，，
由正四面体棱长为4，球的半径为，
可得，，，，
由，可得，
在平面SAD内，过点O作于点N，
可知球心O到棱SA的距离即为ON的长，
球心O到棱AB的距离等于球心O到棱SA的距离，
由，可得，
则该球心到棱AB的距离为
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查椭圆的性质及几何意义，属于中档题.
根据已知条件直线的方程为，与联立得P，由即可得答案
【解答】
解：由，得，，
因为的平分线与l垂直，所以直线，关于l对称，
点关于直线的对称点为，
所以直线的方程为，
与联立得，
故选
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的运算，向量的模、夹角，投影数量，属于中档题.
根据向量的计算求，判断选项利用数量积的运算，判断选项B；求出，求解，判断选项根据投影数量计算公式，判断选项
【解答】
解：对于选项A，是夹角为的单位向量，
则，
故，故选项A正确；
对于选项B，，
故选项B错误；
对于选项C，，
所以⟨⟩，
又，所以，故选项C错误；
对于选项D，在上的投影数量为，故选项D正确.
故选：
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了余弦定理，圆有关的轨迹问题，两点间的距离公式和分析法与综合法，考查了学生的运算能力和逻辑思维能力，属于拔高题.
设，利用圆有关的轨迹问题得轨迹C的方程，对A进行判断，再利用阿波罗尼斯圆的对称性对B进行判断，再利用分析法，结合余弦定理得 ，只要，再利用点P是轨迹C上的点，计算得成立，从而对C进行判断，设，由得，再利用点M在轨迹C上得，最后由方程组无解，对D进行判断，从而得结论.
【解答】
解：设
因为，，，
所以，化简整理得，
即轨迹C的方程为，因此A不正确；
因为与x轴交于和，，
所以由对称性可知，当，时，，
即，因此B正确；
对于C、如图：
当A，B，P三点不共线时，
因为，，，
所以要，只要，
因此只要，
即只要，
所以只要
又因为，
所以，
，
即成立，因此C正确；
对于D、设，
由得，
即
又因为点M在轨迹C上，所以，
因此，
即，解得，
把代入得无实数解，
因此在C上不存在点M，使得，因此D正确.
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查利用导数的单调性比较大小，属于难题.
A项，根据是奇函数得出函数的奇偶性，进而得出函数的对称轴，即可求出；B项，构造函数，通过求导得出当时的单调性，即可得出结论；C项，求出的单调性，即可得出结论；D项，利用导数证得与的差大于与的差，结合的对称性与单调性即可得出结论.
【解答】
解：A项，在中，，函数为奇函数，
所以函数为偶函数，则，
所以函数关于对称，
所以，故A正确；
B项，令，
因为当时，
所以当时，，函数单调递增，
所以，
所以，B正确；
C项，当时，，
所以，函数单调递增，
所以当时，函数单调递减，
则在取得最小值为1，
所以不存在，C错误；
D项，由函数关于对称，
当时，令，，函数单调递增，
所以，则，
所以，，
令，，
所以函数单调递减，，
所以，
所以，，
所以与的差大于与的差，
因为函数关于对称，当时，函数单调递增，
所以，D正确；
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二项式展开式中指定项的系数，属于中档题.
根据，而二项式的展开式的通项，所以分别计算，最后合并即可求出答案.
【解答】
解：因为，
而二项式的展开式的通项，
所以的展开式中的项为，
其系数为，
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用正弦的和角差角公式以及二倍角公式，对三角函数式作恒等变形，考查正弦定理以及基本不等式的应用，属于较难题.
首先利用利用正弦的和角差角公式以及二倍角公式，将条件等式变形为，然后利用正弦定理可得纯边的关系：，即，再注意到，最后利用基本不等式可求出最小值.
【解答】
解：因为，，所以
于是，
所以由，得，
由正弦定理得：，于是，
，
因为，所以，，
当且仅当时，“=”成立，
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式和导数求最值问题，属于较难题.
首先利用基本不等式找出能使，成立的实数实数a，b，c的更简易的关系式，利用导数可证明，所以可判断，，所以再次利用基本不等式即可求出的最大值.
【解答】
解：因为，所以由已知可得，
即①，当且仅当，即时，“=”成立.
又因为对于函数，，
当时，，函数递减，当时，，函数递增，
所以，即对一切，都有，于是②，
由①②知，，
所以，当且仅当，
即时，“=”成立，因此的最大值是
故答案为：
15.【答案】解当时，记事件A：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”．
则集合的非空子集数为，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为，全为偶数的子集数为，
所以
当时，的所有可能取值为0，1，2，3，4，
则，
，
，
，
，
所以的概率分布为
所以的数学期望

【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望以及古典概型的计算与应用，属于一般题.
根据题中所给条件分别求出集合中所有非空子集的个数以及所取子集的元素既有奇数又有偶数的个数，即可推出结果.
由题设可知的所有可能取值为0，1，2，3，4，再结合计数原理以及古典概型中概率的计算方法分别求出相应的概率，即可推出结果.
16.【答案】解：当时，，
其定义域为，，
令，解得
函数的增区间为
①由，得，
若，则，单调递增;
若，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减;
当时，单调递增，时，，满足题意;
当时，在时，，满足题意;
当时，即，在
令，则，
当时，，单调递增，
，即，不满足题意，
综上，a的取值范围是
【解析】本题主要考查了利用导数求函数的单调性，最值，属于中档题.
由已知对函数求导，令导数大于0即可求解；
由已知利用导数求得函数的最值即可求解.
17.【答案】解：设，连接OA，
侧面为菱形，
，且O为及的中点，
又，，
又，≌，
，即，
而OA，平面，，
平面
，，，AB、平面ABO，
平面ABO，
平面ABO，
，即，
从而OA，OB，两两互相垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长度，建立如图的空间直角坐标系
，为等边三角形，
，，
，
设是平面的法向量，
则，即，取，得，
设是平面的法向量，
则，同理可取，
，
二面角的余弦值为
【解析】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．设，连接OA，推导出，，，由此能证明平面
，OB，两两互相垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
18.【答案】解：由题意可设双曲线
则，
解得
所以双曲线的方程为
设，，直线AB的方程为，
由消元得
则，，且
或由韦达定理可得，即
即与的比值定值为
设直线，代入双曲线方程并整理得，
由于点M为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为
由韦达定理得：，解得
因为点A在双曲线的右支上，所以，
解得，即
同理可得
由中结论可知，得
所以
故
【解析】本题考查双曲线标准方程，圆锥曲线中的定点定值问题，属于较难题.
利用椭圆与双曲线离心率之间的关系，求出双曲线的离心率，进而得到双曲线方程；
设，，设直线AB的方程，与双曲线联立，利用，表示与的比值，再由韦达定理化简，进而得到结果；
将直线AM与双曲线联立，求出A点坐标，进而求出直线AM的斜率的一个范围.再结合中结论以及BN的斜率范围，得到AM的斜率范围，将转化为，由AM斜率的范围，求出w的取值范围即可.
19.【答案】解：根据“ 数列”的定义，则 ，
故 ，
成立， 成立，
不成立，
不是“ 数列”.
是首项为2的“ 数列”，
，
由 是等比数列，设公比为 q ，
，
，
两式作差可得 ，
即 ，
是“ 数列”，
，对于 恒成立，
，
即 对于 恒成立，
则 ，
即 ，解得 ，
又由 ，
则 ， ，
数列 的通项公式 .
证明：设函数 ，
则 ，
当 时， ，
则 在区间 单调递减，且 ，
又由 是“ 数列”，即 ，对于 恒成立，
因为 ，则 ，
反复利用 ，可得对于任意的 ，
则 ，即 ，则 ，
即 ，
相加可得 ，
则 ，
所以，
又 ，
所以 ，
即 ，
故 .

【解析】本题考查数列的新定义问题，数列的通项公式，数列与不等式，属于较难题.
由新定义判断即可；
根据定义与等比数列性质可得关于t的方程，求解t，进而可得；
利用导数证得时，恒成立，故可得，进而累加可得…，化简代入即可证得关于t的不等式.0
1
2
3
4
P