湖南省郴州市2024届高三下学期5月模拟数学试题

这是一份湖南省郴州市2024届高三下学期5月模拟数学试题，文件包含高三数学试卷学生版docx、高三数学参考答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
(本试卷共 19 题, 考试用时 120 分钟, 全卷满分 150 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 某台机器每天生产 10000 个零件, 现连续 12 天检测, 得到每天的次品零件个数 依次为: 8,12,9,18,16,17,15,9,18,20,13,11 ,则这组样本数据的中位 数与第 60 百分位数之和是
A. 29 B. 30 C. 30.5 D. 31
2. 双曲线 C:y2a2−x2=1a>0 的上焦点 F2 到双曲线一条渐近线的距离为 a2 ,则双曲线 两条渐近线的斜率之积为
A. -4 B. 4 C. -2 D. 2
3. 已知 m,n 是两条不重合的直线, α,β 是两个不重合的平面,下列命题正确的是
A. 若 m//α,n//β,α//β ,则 m//n
B. 若 m⊂α,n⊂α,m//β,n//β ,则 α//βC. 若 m⊥α,m//n,α⊥β ,则 n⊥β
D. 若 m⊥α,n⊥β,m⊥n ,则 α⊥β
4. 已知函数 fx 的导函数是 f′x ,且 f′x=x3,p=ln3,q=lg113 ,则下列命题正确 的是
A. f−pf2q
C. f1p>f1q D. f1p+1>f1q
5. 若 5cs2α−sin2α=1cs22α−tan22α ,则 tanα=
A. 23 B. -1 C. 1 D. -1 或 23
6. 已知一个多边形的周长等于 207 cm ,所有各边的长成等差数列,最大的边长为 42 cm , 公差为 3 cm ,则这个多边形的边数为
A. 4 B. 6 C. 23 D. 6 或 23
7. 某大学一宿舍 4 名同学参加 2024 年研究生招生考试, 其中两人顺利上初试线, 还 有两人差几分上线, 这两名学生准备从 A, B, C, D, E, F 这 6 所大学中任选三所 大学申请调剂, 则这两名学生在选择了相同大学的条件下, 恰好选择了两所相同大学的概率为
A. 1819 B. 1019 C. 919 D. 119
8. 已知 F1,F2 是椭圆 C:xa2+yb2=1a>b>0 的左、右焦点, O 是坐标原点,过 F1 作直线与 C 交于 A,B 两点,若 AF2=AB ,且 △OAF2 的面积为 36b2 ,则椭圆 C的离心率为
A. 312 B. 36 C. 33 D. 32
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 已知 fx=Asinωx+φA>0,ω>0,00 ,定义向量集合 Ω={a∣a=m,n,m , n∈A} ,若对任意 a1∈Ω ,存在 a2∈Ω ,使得 a2⊥a1 ,则 x+y=______________.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分 ) 阳春三月, 油菜花进人最佳观赏期, 长沙县江背镇、望城光明村彭家老屋、 浏阳达浒油菜花田、岳麓区含泰社区油菜花田都免费向市民、游客开放, 长沙某三 所高级中学 A,B,C 组织学生去这四个景区春游,已知 A,B 两所学校去每个景区 春游的可能性都相同, C 学校去岳麓区含泰社区春游的可能性为 12 ,去其它三个景 区春游的可能性相同.
(1) 求望城光明村彭家老屋迎来三所学校春游的概率;
(2) 长沙县江背镇迎来学校所数的分布列及数学期望.
16. (15 分) 如图,四棱雉 P−ABCD 的底面 ABCD 是梯形,
BC//AD,PA=AB=BC=1,AD=2,PC=3,PA⊥ 平面 ABCD.
(1) 求证: 平面 PBC⊥ 平面 PAB ;
(2) 在棱 PD 上是否存在一点 E ,使得二面角 E−AC−P 的余弦值为 63 . 若存在, 求出 PE:ED 的值; 若不存在,请说明理由.
17.(15分）已知抛物线E ：y2=2px（p>0）的焦点为F，过F斜率为2的直线与E交于 A,B 两点, AB=10 .
(1) 求 E 的方程;
(2) 直线 l:x=−4 ,过 l 上一点 P 作 E 的两条切线 PM,PN ,切点分别为 M,N . 求 证: 直线 MN 过定点,并求出该定点坐标.
18. (17 分) 已知函数 fx=ae2x−ax+2−aex+12x2 .
(1) 讨论 fx 的单调性;
(2) 若 fx 有两个零点,求 a 的取值范围.
19. (17 分) 角谷猜想,也称为 “ 3n+1 ” 猜想. 其内容是: 任取一个正整数,如果是 偶数, 将它除以 2 ; 如果是奇数, 则将它乘以 3 再加上 1 , 如此反复运算, 该数最 终将变为 1 . 这就是对一个正整数运算时 “万数归 1 ” 现象的猜想. 假如对任意正整 数 a0a0≥2 ,按照上述规则实施第 1 次运算后的结果记为 a1 ,实施第 2 次运算后的 结果记为 a2,⋯ ,实施第 n−1 次运算后的结果记为 an−1 ,实施第 n 次运算后得到数 1,停止运算,便可以得到有穷数列 an:a1,a2,⋯,an−1,1 ,其递推关系式为:
ak+1=3ak+1 ak为奇数ak2 ak为偶数k=0,1,2,⋯,n−1,a0 叫做数列 an 的原始项. 将
此递推关系式推广为: ak+1=λak+1ak为奇数ak2ak为偶数(k=0,1,2,⋯,n−1;λ∈Z ,
且 λ≠0 ),其它规则不变,得到的数列记作 λ∼an 数列,试解答以下问题:
(1) 若 a0=5 ,则数列 3∼an 的项数为
(2) 求 −1∼an 数列的原始项 a0 的所有可能取值构成的集合;
(3) 若对任意的 1∼an 数列,均有 n≤2lg2a1+d ,求 d 的最小值.