2024南宁二中高一下学期4月期中考试数学含解析

这是一份2024南宁二中高一下学期4月期中考试数学含解析，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题．，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间120分钟，共150分）
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项．）
1. 已知是虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线a，b和平面，，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 如图所示，中，点D是线段BC中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ）
A B. C. D.
4. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ）
A. B. C. D. 1
5. 已知一个圆柱和一个圆锥底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
7. 如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）

A. B. C. D.
8. 在中，已知，则的形状一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错或不选得0分．）
9. 下列说法错误的是（ ）．
A. 过三个点有且只有一个平面
B. 已知直线，平面，，，，，则
C. 已知直线，平面，，，则
D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
10. 复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. B. z的共轭复数为
C. z的实部与虚部之和为2D. z在复平面内的对应点位于第一象限
11. 把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为B. 在区间上的最大值为
C. 图像的一个对称中心为D. 图像的一条对称轴为直线
12. 如图，在长方体中，，，是棱上的一点，点在棱上，则下列结论正确的是（ ）
A 若，，，四点共面，则
B. 存在点，使得平面
C. 若，，，四点共面，则四棱锥的体积为定值
D. 若为的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
三、填空题（每小题5分，共20分）．
13. 半径为2cm，圆心角为的扇形面积为 .
14. 已知向量，，，若B，C，D三点共线，则______．
15. 在中，若，，，三角形有唯一解，则整数______．
16. 如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为__________．

四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知平面向量满足，，与夹角为．
（1）求；
（2）当实数为何值时，．
18. 已知中，角所对的边分别为，且．
（1）证明：；
（2）若，求角的大小．
19. 如图，在正方体中，是的中点，分别是BC、DC、SC的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若正方体棱长为1，过A、E、三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线（不必说明画法与理由，但要说明点在棱的位置），并求出截面的面积.
20. 如图，现有一直径百米的半圆形广场，AB所在直线上存在两点C，D，满足百米（O为AB的中点），市政规划要求，从广场的半圆弧AB上选取一点E，各修建一条地下管道EC和ED通往C、D两点．
（1）设，试将管道总长（即线段）表示为变量θ的函数；
（2）求管道总长的最大值．
21. 已知锐角三角形的内角的对边分别为且．
（1）求角的大小；
（2）若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围．
22. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
（1）设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由．
（2）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．南宁二中2023-2024学年度下学期高一期中考试
数学
（时间120分钟，共150分）
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项．）
1. 已知是虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的四则运算法则即可得出结论.
【详解】.
故选：B.
2. 已知直线a，b和平面，，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由空间中的线面关系，即可判断.
【详解】根据线面平行的判定定理可得，若，则，即必要性成立，
若，则不一定成立，故充分性不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3. 如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件求解即可
【详解】因为点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，
所以
,
故选：A
4. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】利用在上的投影向量的定义求解.
【详解】解：由已知可得，在上的投影向量为，
又在上的投影向量，所以.
所以，D正确．
故选：D.
5. 已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出底面半径，由题意可得高，即可计算圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，即可得解.
【详解】设这个圆柱和圆锥的底面半径为，
由圆柱的轴截面是一个正方形，故其高，
则圆柱的侧面积，
圆锥的侧面积，
则.
故选：B.
6. 已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由是关于的方程的一个根，则是关于的方程的一个根，结合根与系数的关系求解即可.
【详解】由是关于的方程的一个根，
则是关于的方程的一个根，
则，，
即，，则，
故选：D.
7. 如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件及极化恒等式，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】取的中点，连接，如图所示，

所以的取值范围是，即，
又由，
所以.
故选：B.
8. 在中，已知，则的形状一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式、二倍角的正弦公式、正弦型函数的性质进行求解即可.
【详解】根据正弦定理，由
，
因为，所以，
所以有，或，或，
当时，有，此时有，
即，所以此时该三角形是等腰直角三角形；
当时，即，所以此时三角形是直角三角形；
当时，即，不符合三角形内角和定理，舍去，
综上所述：的形状一定是直角三角形，
故选：B
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错或不选得0分．）
9. 下列说法错误的是（ ）．
A. 过三个点有且只有一个平面
B. 已知直线，平面，，，，，则
C. 已知直线，平面，，，则
D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【答案】ABC
【解析】
【分析】由立体几何公理判断AD，由面面平行的判定及线面关系判断CD．
【详解】对于A，过不共线的三个点有且只有一个平面，故A错误；
对于B，如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，故B错误；
对于C，若，，则或，故C错误；
对于D，由平面相交公理，可知D正确；
故选：ABC．
10. 复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. B. z的共轭复数为
C. z的实部与虚部之和为2D. z在复平面内的对应点位于第一象限
【答案】CD
【解析】
【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.
【详解】由题得，复数，可得，则A不正确；的共轭复数为，则B不正确；的实部与虚部之和为，则C正确；在复平面内的对应点为，位于第一象限，则D正确.综上，正确结论是CD.
故选：CD
【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.
11. 把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为B. 在区间上的最大值为
C. 图像的一个对称中心为D. 图像的一条对称轴为直线
【答案】AD
【解析】
【分析】根据伸缩平移变换可得函数的解析式，进而判断各选项中图像性质.
【详解】的图像向左平移个单位长度得函数，
再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数，
其最小正周期为，A选项正确；
由，得，则当，即时，取最大值为，B选项错误；
令，，得，，所以函数的对称中心为，，所以不成立，C选项错误；
令，，解得，，所以函数的对称轴为，，当时，，D选项正确；
故选：AD.
12. 如图，在长方体中，，，是棱上的一点，点在棱上，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，，四点共面，则
B. 存在点，使得平面
C. 若，，，四点共面，则四棱锥的体积为定值
D. 若为的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用假设法即可判断A，利用线面平行判定即可判断B，利用棱锥体积公式即可判断C，求出外接球半径，找到球心位置即可判断D.
【详解】对A，由四点共面，得，则，
若不是棱的中点，则，故A错误.
对B，当是棱的中点时，取的中点，连接，则为的中点.
因为为的中点，则.
因为平面平面，所以平面，则B正确.
根据长方体性质知，且平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
则点，到平面的距离为定值，
又因为的面积为定值， 所以三棱锥和三棱锥的体积都为定值，
则四棱锥的体积为定值，故C正确.
取棱的中点，由题中数据可得，
则，所以为等腰直角三角形，所以是外接圆的圆心，
外接圆的半径.设三棱锥的外按球的球心为，
半径为，设，则，
即，解得，则，此时点位于中点，
从而三棱锥的外接球的表面积是，故D正确.
故选：BCD
三、填空题（每小题5分，共20分）．
13. 半径为2cm，圆心角为的扇形面积为 .
【答案】
【解析】
【分析】求出扇形的弧长,利用扇形面积公式求解即可.
【详解】因为半径为,圆心角为的扇形,弧长为,
所以扇形面积为:
故答案为.
【点睛】本题考查扇形的面积公式的应用,考查计算能力，属于基础题.
14. 已知向量，，，若B，C，D三点共线，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求，结合向量共线的坐标运算求解.
【详解】由题意可得：，
若B，C，D三点共线，可知，
则，解得.
故答案为：.
15. 在中，若，，，三角形有唯一解，则整数______．
【答案】1或4
【解析】
【分析】关键知道三角形有唯一解的充要条件是或，然后根据这个条件即可解得整数的值.
【详解】
如图：已知是边上的高，由三角形有唯一解的等价条件是或，
由，因为，所以，
又因为，根据唯一解的条件可知：或，解得或，
又因为为整数，,所以的值为1或4．
故答案为：1或4．
16. 如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为__________．

【答案】
【解析】
【分析】作出辅助线，找到球心的位置，求出外接球半径，得到外接球表面积.
【详解】连接，取的中点，连接，
则外接球球心在直线上，设球心为，如图所示，则，

则⊥平面，
因为正四棱台中，，，
故，所以，
设四棱台的高为，
故，解得，
故，
设，则，
，
故，解得，
故半径，
故该棱台外接球的表面积为.
故答案：
【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知平面向量满足，，与夹角为．
（1）求；
（2）当实数为何值时，．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由代入计算即可；
（2）由题得列出方程，求解即可．
【小问1详解】
因为与的夹角为，
所以，
所以
．
【小问2详解】
因为，
所以
，
化为，解得．
18. 已知中，角所对的边分别为，且．
（1）证明：；
（2）若，求角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）借助正弦定理与余弦定理化简即可得；
（2）借助正弦定理与余弦定理化简后可得，结合（1）中所得可得间的关系，再借助余弦定理即可得解.
【小问1详解】
由正弦定理及条件可得，
由余弦定理可得，
化简得；
【小问2详解】
由得，化简得，
又，故，所以，
故．
所以角A为.
19. 如图，在正方体中，是的中点，分别是BC、DC、SC的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若正方体棱长为1，过A、E、三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线（不必说明画法与理由，但要说明点在棱的位置），并求出截面的面积.
【答案】（1）证明见解析
（2）作图见解析，截面面积
【解析】
【分析】（1）根据中位线得到线线平行，根据线面平行的判定定理得线面平行，再根据面面平行的判定定理可得面面平行.
（2）取的中点H，连，可证四边形为平行四边形，从而可得就是交线，求出和上的高，可得截面面积.
【小问1详解】
连，如图：

因为E、F分别是BC、DC的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
因为E、G分别是BC、SC的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
因为，且平面EFG，平面EFG，
所以平面平面.
【小问2详解】
取的中点H，连，
因为与HE交于正方体的中心，且互相平分，所以四边形为平行四边形，
则就是截面与正方体的交线，
过C作AE的延长线的垂线CM，垂足为M，连，
因为平面ABCD，面，所以，
因为且都在面内，所以平面，
又面，所以，
所以，
所以，
所以截面面积为.
20. 如图，现有一直径百米的半圆形广场，AB所在直线上存在两点C，D，满足百米（O为AB的中点），市政规划要求，从广场的半圆弧AB上选取一点E，各修建一条地下管道EC和ED通往C、D两点．
（1）设，试将管道总长（即线段）表示为变量θ的函数；
（2）求管道总长的最大值．
【答案】（1），，
（2）2百米
【解析】
【分析】（1）在和中，根据余弦定理即可求得；
（2）结合（1），对函数平方处理，可得，即可求得最值.
【小问1详解】
在中，由余弦定理得：
，
在中，由余弦定理得：
，
所以，，
∴将管道总长（即线段EC+ED）表示为变量θ的函数为：
，，
【小问2详解】
由（1）可得：
，因为，，所以，
（百米）
当且仅当，即时取等号，
因为，∴（百米）．
∴管道总长的最大值为2百米.
21. 已知锐角三角形的内角的对边分别为且．
（1）求角的大小；
（2）若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理，将等式中的边化为角，根据和角公式以及同角三角函数的商式公式，可得答案；
（2）法1：根据锐角三角形内角的性质，可得角的取值范围，利用正弦定理，用角表示边，将三角形的面积整理为三角函数，可得答案；法2：利用内切圆的性质得到内切圆半径关于角的表达式，利用三角恒等变换，结合锐角三角形内角的性质得到解的范围，从而得解.
【小问1详解】
，
由正弦定理，得，
，，
又，得，所以，即，
由，解得.
【小问2详解】
法1：
由题意可知，设，，
，又，，
在中，由正弦定理可得：．
即：，，
，
，，
，
所以三角形面积的取值范围为．
法2：
设内切圆半径为，由题知，D为内切圆的圆心，由面积公式，得
，所以①，
在中，由正弦定理可得：．
即：，所以，，
代入①式，结合积化和差，和差化积公式，得
，
由为锐角三角形，得，解得，
所以
，
，，
，
所以三角形面积的取值范围为.
22. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
（1）设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由．
（2）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．
【答案】（1）存在，或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用和差角公式化简函数，结合所给定义得到“相伴向量”，再求出与其共线的单位向量；
（2）依题意可得，再由辅助角公式化简，从而得到，再根据的范围求出的范围，最后根据二倍角公式及函数的性质计算可得.
【小问1详解】
存在，或.
因为
，
所以函数存在“相伴向量”，
所以与共线的单位向量为
或.
【小问2详解】
的“相伴函数”（其中），
因为在处取得最大值，
所以当，即时有最大值，
所以，，
所以，
因为，，
所以，
所以，
令，，则，
因为均为上的单调递减函数，
所以上单调递减，
所以，
所以，
所以的取值范围为．