2024年中考押题预测卷（江苏无锡卷）-数学（全解全析）

这是一份2024年中考押题预测卷（江苏无锡卷）-数学（全解全析），共25页。

数 学
（本卷共28小题，考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．的值等于（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知算术平方根的定义．
根据算术平方根的概念分析求解．
【详解】解：，
故选：A．
2．函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件，进行求解即可．掌握二次根式的被开方数大于等于0，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选D．
3．《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一，容三斛；大器一、小器五，容二斛． 问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？若大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查列二元一次方程组，理解题意，根据题中等量关系列出方程组即可．
【详解】解：根据题意，得，
故选：B．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的运算，根据幂的运算法则和合并同类项法则逐项判断即可．
【详解】解：A. ，原选项计算错误不符合题意；
B. ，原选项计算错误不符合题意；
C. ，原选项计算错误不符合题意；原选项符合题意；
D. ，原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
5．已知一次函数的图象（如图），当时，y的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解．
【详解】解：由图象可知：当时，y的取值范围是；
故选：A．
6．已知一组数据：这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．7，7B．7，6.5C．6.5，7D．5.5，7
【答案】C
【分析】本题考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【详解】解：将这组数据重新排列为、、、、、，
所以这组数据的中位数为，众数为．
故选：C．
7．如图，已知矩形的边，，为边上一点．将沿所在的直线翻折，点恰好落在边上的点处，过点作，垂足为点，取的中点，连接，则的长为( )
A．3B．C．-1D．
【答案】D
【分析】连接，，可求得为的中点，根据中位线的性质可得，勾股定理求得即可．
【详解】解：连接，
由折叠的性质可得，
又∵
∴点在线段上，
又∵
∴
∴
又∵的中点N
∴为的中位线
∴
在中，
∴
故选：D．
8．下列四个命题：
①一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是8．
②气象局调查了甲、乙两个城市近10年的降水量，它们的平均降水量都是800毫米，方差分别是，，则这两个城市年降水量最稳定的是乙城市．
③在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等．
④对角线互相平分且相等的四边形是菱形．
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】本题考查了判断命题的真假，根据内角和公式以及外角和定理、方差判断稳定性、同弦或等弦所对的圆周角相等或互补、对角线互相平分且相等的四边形是矩形可逐个判断，掌握各个知识点是解题的关键．
【详解】解：①内角和为，任意凸多边形的外角和都为，即，解得，即这个多边形的边数是8，故①正确；
②在平均数一样的情况下，方差越小则数据越稳定，即这两个城市年降水量最稳定的是甲城市，故②错误；
③在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，故③错误；
④对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故④错误；
其中真命题的个数是1个，
故选：A．
9．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，D是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段的中点，连接，则线段最小值是（ ）

A．2B．C．D．3
【答案】A
【分析】本题考查了抛物线与x轴交点坐标的计算，三角形三边不等式，三角形中位线定理，先计算交点坐标，再确定点B、D、C共线时，就最小，计算即可．
【详解】解：抛物线与x轴交于A，B两点，
时，
解得，
∴，，
∴，
∵D是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，
∴，
根据勾股定理，得
，
∵E是线段的中点，，O是中点，
∴是三角形的中位线，
∴，
当最小时，取得最小值，
即点B、D、C共线时，最小，此时就最小．
如图，连接交圆于点，

∴，
∴．
所以线段的最小值为2．
故选：A．
10．如图，在正方形中，点E在边上，点H在边上，，交于点F，交于点G，连接．下列结论：
①；②；③；④当E是的中点时，；
⑤当时，．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③④B．①②③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤
【答案】A
【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．根据正方形的性质证明，可以判断①；然后证明，可以判断②；由，，根据正方形对角线上的点到，边上的距离相等，即可判定③；设正方形的边长为，当是的中点时，，根据相似三角形的判定与性质和勾股定理分别表示出，，进而可以判断④；设，则，，得，所以，当时，，证得，进而可以判断⑤．
【详解】在正方形中，，，
，
，
，，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
在正方形对角线上，
到，的距离相等，
，
，
，故③正确；
设正方形的边长为，
，
当是的中点时，．
由勾股定理得：
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当是的中点时，，故④正确，
当时，，
，，
，
，
，
中边上的高与中边上的高相等，，
，
设，则，，
，
，
当时，，
，
，
，
，故⑤不正确，
综上所述：正确结论的序号是①②③④，
故选：A．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位，将2800000000000用科学记数法表示 ．
【答案】
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，计算出a和n的值即可．
【详解】解：，
故答案为：．
13．若关于的分式方程 有增根，则的值为 ．
【答案】1
【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可．
【详解】解：去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得：，
解得：．
故答案为：1．
14．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径r为 ．

【答案】2
【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得圆锥的底面圆的半径r．
【详解】解：由题意得：母线长l为，，
，
∴，
故答案为：2．
15．已知点、、、，若一条抛物线经过其中三个点，则不在该抛物线上的点是点 ．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标特征即可判断．
【详解】解：点、、的纵坐标相同，故三点中有一点不在同一条抛物线，
、的横坐标相同，故两点中有一点不在同一条抛物线，
所以，不在该抛物线上的点是点B．
故答案为：B．
16．如图，中，，，以为一边作正方形，使，两点落在直线的两侧．当时，则的长为
【答案】
【分析】本题主要考查图形旋转的性质、正方形的性质、解直角三角形，以点为旋转中心，将顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，且点与点重合，可知，，采用勾股定理解直角三角形即可求得答案．
【详解】如图所示，以点为旋转中心，将顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，且点与点重合，连接．
根据图形旋转的性质可知，，．
∴，．
∴．
∴．
∴．
故答案为：
17．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 ．
【答案】
【分析】过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可；
【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示：
则，
∴四边形是矩形，
，
把代入反比例函数的解析式得，
，
双曲线图像在第一象限，
，
，
，，
，
，
双曲线经过B，
整理得：，
解得：（舍），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键；
18．已知：抛物线的顶点为P，以P为圆心，为半径作，A为圆上一动点，，则的最小值为 ．
【答案】//
【分析】利用二次函数求出点P点的坐标，再判断点B与的位置关系，再根据点到圆上的最短距离即可求解．
【详解】解：，
，
以P为圆心，为半径作，A为圆上一动点，
点A到点P的距离恒等于，即
点到点的距离为：，
，
，
点在外，
的最小值为，
当点三点共线，且有最小值时，有最小值，最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查点到圆上的最短距离，点圆的位置，二次函数的性质，两点间距离，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：；
（2）化简：．
【解析】（1）
；
（2）
20．（1）解方程：；
（2）解不等式组：
【解析】（1），，，
，
∴，
∴，；
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
21．如图，点E，F是平行四边形对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若．求线段的长．
【解析】（1）证明：如图，连接交于点O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴
22．在物理实验中，当电流通过电子元件时，每个元件的状态有两种可能：通过或断开，并且这两种状态的可能性相等．
(1)如图1，当两个电子元件a、b并联时，请用树状图或列表法表示图中P、Q之间电流能否通过的所有可能情况，并求出P、Q之间电流通过的概率；
(2)如图2，当有三个电子元件并联时，请直接写出P、Q之间电流通过的概率为______．
【解析】（1）解：用树状图表示为：
由图可知，共有4种等可能结果，其中P、Q间没有电流通过的只有1种，有电流通过的有3种，
∴之间电流通过的概率是；
（2）画树状图得：
由图可知，共有8种等可能结果，其中没有电流通过的只有1种，有电流通过的有7种，
∴之间电流通过的概率是．
故答案为：．
23．学校为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：
不完整的统计表：
不完整的统计图

阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，45，55，45，40结合以上信息回答下列问题：
(1)统计表中的______．
(2)统计图中B组对应扇形的圆心角为______°．
(3)阅读时间在范围内的数据的众数是______，调查的20名同学课外阅读时间的中位数是______．
(4)根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数．
【解析】（1）解：由题意得，，
．
故答案为：5；
（2）解：统计图中B组对应扇形的圆心角为，
故答案为：144；
（3）解：由题意可知，阅读时间在范围内的数据的众数是45，调查的20名同学课外阅读时间的中位数是．
故答案为：45，；
（4）解：（人），
答：估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数大约为480人．
24．如图，已知平分，点M是上的一个定点．

(1)尺规作图：请在图1中作，使得圆心O在射线上，并与射线相切于点M，切点为M，求证：射线与相切；（作图保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，设与相切于点N，若，则劣弧与所围成的图形的面积为______．
【解析】（1）证明：如图所示，过点M作的垂线，交于O，以点O为圆心，为半径画圆，则圆O即为所求；
如图所示，过点O作于N，
∵平分，，
∴，
∴射线与相切；

（2）解：∵和为的切线，
∴，，，
∴，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，即，
∴的劣弧与所围成图形的面积
．
故答案为：．
25．如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求、的长．
【解析】（1）证明：连接，如图，
是的平分线，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
为的半径，
直线是的切线；
（2）解：为的直径，
，，
，，，
，
的平分线交于点，
，
，
，
过点作于点，
，
，
，
．
26．水果店购进某品种榴莲，榴莲的保质期为天，平均每颗榴莲的售价为元，由于榴莲需要冷藏保存，因此成本也会逐日增加，设第天的销售量，每颗榴莲的成本为元．与的函数关系如图所示．
与之间的关系如表：
(1)求与的函数表达式．
(2)若每天的销售利润为元，求与的函数表达式，并求出第几天时当天的销售利润最大？最大销售利润是多少元？
【解析】（1）解：设与的函数表达式为，
把和分别代入得：
，
解得：，
∴与的函数表达式为；
（2）解：当时，，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，；
当时，，
∵不在范围内，当时，随的增大而减小，
∴当时，；
综上述，第天时，当天的销售利润最大，最大销售利润是元．
27．如图，矩形中，，．为边上的一个动点，沿翻折，点落在点处．
(1)如图1，若，且点与点重合时，交于点．
①求的长；
②若点在射线上，且，求的值．
(2)连接，在边上存在两个不同位置的点，使得，则的取值范围是____．
【解析】（1）①四边形是矩形，
，，
由折叠知，，，
，，
在和中，
，
，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
则；
②如图，连接交于点，过点作于点，
，
（对顶角），
，
，
，，
则，
，（对顶角），
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）当落在直线上面时，如图，过作于，
，，
，
，
又，
，
由翻折可知，
在中，，
，
又，
在中，，
此时只要，点在边上，
；
当落在直线下面时，如图，过作于，
同理可得，，
在中，，，，
，
，
，
在中，，
此时要在边上，则即可，即，
综上，．
28．已知，是抛物线：（为常数）上的两点，当时，总有．
(1)求的值；
(2)将抛物线平移后得到抛物线：．
当时，探究下列问题：
①若抛物线与抛物线有一个交点，求的取值范围；
②设抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，外接圆的圆心为点．如果对抛物线上的任意一点，在抛物线上总存在一点，使得点的纵坐标相等．求长的取值范围．
【解析】（1）解：由题可得：，，
当时，总有，
，
整理得：，
，
，
，
；
（2）解：①注意到抛物线最大值和开口大小不变，只影响图象左右平移，
下面考虑满足题意的两种临界情况：
当抛物线过点时，如图1所示，
，
此时，，，解得或（舍去）；
当抛物线过点时，如图2所示，
，
此时，，，
解得：或（舍去），
综上所述，；
②同①考虑满足题意的临界情形：
当抛物线过点时，如图3所示，
，
此时，，，解得：或（舍去），
当抛物线过点时，如图4所示，
，
此时，，，解得或（舍去），
综上所述，，
如图，由圆的性质可得，点在线段的垂直平分线上，
，
，
解得：，，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，即，
，
，即，
，
．
课外阅读时间x（min）
等级
D
C
B
A
人数
3
a
8
b
第天
销售量颗