2024年中考押题预测卷02（浙江卷）-数学（全解全析）

这是一份2024年中考押题预测卷02（浙江卷）-数学（全解全析），共25页。

数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各数中，绝对值最大的数是（ ）
A．－3B．－2C．0D．2
【答案】A
【分析】先求出每个数的绝对值，再根据实数的大小比较法则比较即可．
【详解】解：∵3、-2、0、2的绝对值依次为3、2、0、2，
∴绝对值最大的数是-3．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较和绝对值，能比较有理数的大小是解此题的关键．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；
C、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意；
D、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意．
故选：C．
3．下列运算中，正确的是（ ）.
A．3x3+2x2=5x5B．a⋅a2=a3
C．3a6÷a3=3a2D．xy3=xy3
【答案】B
【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、单项式除以单项式、积的乘方，根据合并同类项、同底数幂的乘法、单项式除以单项式、积的乘方的运算法则逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：A、3x3和2x2不是同类项，不能直接合并，故原选项计算错误，不符合题意；
B、a⋅a2=a3，原选项计算正确，符合题意；
C、3a6÷a3=3a3，原选项计算错误，不符合题意；
D、xy3=x3y3，原选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
4．已知一次函数y＝kx＋b，其中k从1，－2，5中随机抽取一个值，b从－2，－1，0中随机抽取一个值，则该一次函数的图象经过第二、三、四象限的概率是（ ）．
A．13B．29C．16D．49
【答案】B
【分析】先根据题意画出树状图，再结合一次函数图象性质找出符合要求的情况数，然后根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有9种情况，其中满足一次函数y＝kx＋b经过第二、三、四象限，即k＜0，b＜0的情况有2种，则该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为29，故B正确．
故选：B．
【点睛】此题考查了画树状图或列表求概率及其一次函数图象的性质，一次函数y＝kx＋b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx＋b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．
5．已知a，b是一元二次方程x2−3x−m3−1=0的两个根，则a2+3b+ab的值等于（ ）
A．8B．9C．10D．与m的值有关
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出“a2−3a=m2+1，a+b=3，ab=−m2−1”是解题的关键．利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2−3a=m2+1，a+b=3，ab=−m2−1，再将其代入a2+3b+ab=a2−3a+3(a+b)+ab中即可求出结论．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程x2−3x−m2−1=0的两个根，
∴a2−3a=m2+1，a+b=3，ab=−m2−1，
∴a2+3b+ab=a2−3a+3a+3b+ab=a2−3a+3(a+b)+ab=m2+1+3×3−m2−1=9．
故选：B．
6．如图，在直角△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝70°，AD是∠CAB的平分线，交边BC于点D，过点C作△ACD中AD边上的高线CE，则∠ECD的度数为（ ）
A．35°B．30°C．25°D．20°
【答案】C
【分析】先根据角平分线定义求出∠CAD＝∠BAD＝12∠CAB＝45°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠ACB及∠ACE，再通过∠ECD＝∠ACE﹣∠BCA求解．
【详解】解：∵∠CAB＝90°，AD是∠CAB的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝12∠CAB＝45°，
∵CE⊥AD，
∴∠ECA＝∠CEA﹣∠CAE＝45°，
∵∠BCA＝∠CAB﹣∠B＝20°，
∴∠ECD＝∠ACE﹣∠BCA＝25°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，角平分线有关知识，解题关键掌握角平分线的性质及直角三角形两个锐角互余.
7．如图，在▱ABCD中，P是AD边上的一个点，连接PB，PC，M，N分别是PB，PC的中点．若S四边形BMNC=6，则S▱ABCD的值是（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，由三角形中位线性质可得MN∥BC，MNBC=12，进而得到△PMN∽△PBC，即可得S△PMNS△PBC=14，得到S四边形BMNC=34S△PBC，可得S△PBC=8，又由S△PBC=12S▱ABCD即可求解，由相似三角形得到S四边形BMNC=34S△PBC是解题的关键．
【详解】解：∵M，N分别是PB，PC的中点，
∴MN∥BC，MNBC=12，
∴△PMN∽△PBC，
∴S△PMNS△PBC=MNBC2=122=14，
∴S四边形BMNC=34S△PBC，
∴S△PBC=43S四边形BMNC=43×6=8，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S△PBC=12S▱ABCD，
∴S▱ABCD=2S△PBC=2×8=16，
故选：C．
8．成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子的食量分早晚两次投喂，早上的粮食是晚上的34，猴子们对于这个安排很不满意，于是老翁进行调整，从晚上的粮食中取2千克放在早上投喂，这样早上的粮食是晚上的43，猴子们对这样的安排非常满意．设调整前早上的粮食是x千克，晚上的粮食是y千克，则可列方程组为（ ）
A．x=43yx+2=34(y−2)B．x=34yx+2=43(y−2)
C．x=34yx−2=43yD．x=43yx−2=34(y+2)
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据设调整前早上的粮食是x千克，晚上的粮食是y千克，根据早上的粮食是晚上的34，调整后，从晚上的粮食中取2千克放在早上投喂，这样早上的粮食是晚上的43，列出方程组即可．
【详解】解：∵调整前早上的粮食是x千克，晚上的粮食是y千克，且早上的粮食是晚上的34，
∴x=34y，
∵老翁从晚上的粮食中取2千克放在早上投喂后，
∴早上粮食为x+2千克，晚上粮食为y−2千克，
∵调整后早上的粮食是晚上的43，
∴x+2=43(y−2)，
∴可列方程组x=34yx+2=43y−2 ，
故选：B．
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上，若∠ACB=35°，则∠BPC的度数是（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角．
根据直径所对的圆周角是直角得∠ABC=90°，然后利用互余计算∠CAB的度数，然后根据圆周角定理解答即可．
【详解】∵ AC是⊙O的直径，
∴ ∠ABC=90°，
∴∠ACB+∠CAB=90°，
∵ ∠ACB=35°，
∴ ∠CAB=90°−35°=55°，
由圆周角定理得：
∠BPC=∠CAB=55°
故选：C．
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=12，且经过点2,0．下列说法∶①abc>0；②4a+2b+c=0；③2a+c=0；④ 若−14,y1，1,y2是抛物线上的两点，则y1>y2；⑤14b≥mam+b．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据二次函数的图像与性质判断a、b、c的正负，即可判断①；根据函数图象经过点2,0，代入计算即可判断②；根据对称轴为直线x=12，得出b=−a，代入4a+2b+c=0整理即可判断③；根据二次函数的图象与性质，对称轴为直线x=12，明白自变量离12越远，则函数值越小，即可判断④；推出b=−a，c=−2a=2b，用含b的代数式表示出函数最大值，再得出am2+bm+2b≤94b整理，即可判断⑤．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=12，且经过点2,0，
∴a<0，c>0，
−b2a=12，即b=−a，
4a+2b+c=0，
∴b>0，
abc<0，
∴①错误，②正确，
∴4a+2×−a+c=2a+c=0，
∴③正确，c=−2a=2b，
∴y=ax2+bx+c=−bx2+bx+2b，
∵对称轴为直线x=12，图象开口向下，
∴当x=12，函数取最大值=−b×122+b×12+2b=−14b+12b+2b=94b，即离顶点越远函数值越小，
∴am2+bm+c=am2+bm+2b，
am2+bm+2b≤94b，
am2+bm≤14b，即14b≥mam+b，故⑤正确，
∵−14,y1，1,y2是抛物线上的两点，
∴1,y2离顶点更近，
∴y2>y1，故④错误，
∴正确的结论有②③⑤这3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握根据二次函数的图象与性质列式计算判断是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．若 x−1+y+9=0，则x+y的立方根是 ．
【答案】−2
【分析】此题考查非负数的性质，立方根和绝对值，解题关键在于掌握非负数的性质．根据非负数的性质，求出x，y的值，代入即可得出结果．
【详解】解：∵ x−1+y+9=0，
∴ x−1=0，y+9=0，
解得：x=1，y=−9，
∴ x+y=1+−9=−8，
∴ x+y 的立方根是−2，
故答案为：−2．
12．分解因式9−4x2= ．
【答案】3−2x3+2x
【分析】利用平方差公式进行因式分解即可得出．
【详解】9−4x2=32−(2x)2=(3−2x)(3+2x)
【点睛】此题考查了因式分解的方法，熟练应用平方差公式进行因式分解是解决本题的关键．
13．一组数据为：5，﹣2，3，x，3，﹣2，若每个数据都是这组数据的众数，则这组数据的中位数是 ．
【答案】3
【分析】由于每个数据都是这组数据的众数，根据众数定义可知m=5，再根据中位数的计算方法进行计算即可．
【详解】解：∵-2出现2次，3出现2次且每个数据都是这组数据的众数
∴x＝5，
∴这组数据从小到大排列为：-2，-2，3，3，5，5，
∴中位数＝3+32＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了众数、中位数，解题的关键是掌握众数、中位数的计算方法．
14．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若AB=3，BC=4，则BD的长为 ．
【答案】2.5
【分析】先由勾股定理求出AC的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得BD的长．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
由勾股定理得：AC=AB2+BC2=32+42=5，
∵D是AC中点，
∴BD=12AC=2.5．
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记性质是解题的关键
15．如图，已知△ABC在边长为1的小正方形的格点上，△ABC的外接圆的一部分和△ABC的边AB、BC组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为 ．
【答案】5π4−72
【分析】本题考查了网格知识，勾股定理，弓形面积的求解，取格点O，则点O为△ABC的外接圆的圆心，先求出OA=5，再根据S阴影=S扇形OAC−S△OAC−S△ABC求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解 ：取格点O，则点O为△ABC的外接圆的圆心，如图：
由网格可知，∠AOC=90°，
OA=22+12=5，
∵S阴影=S扇形OAC−S△OAC−S△ABC
=90°×π×52360°−12×5×5−12×2×1
=5π4−52−1
=5π4−72，
故答案为：5π4−72．
16．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG=4，CG=3，则CE的长为 ．
【答案】5611
【分析】
连接EG，根据AG垂直平分EF，即可得出EG=FG，设CE=x，则DE=7−x=BF，FG=EG=11−x，再根据RtΔCEG中，CE2+CG2=EG2，即可得到CE的长．
【详解】
解：连接EG，如图所示：
由旋转可得，△ADE≌△ABF，∠ABF=∠D=90°，
∴AE=AF，DE=BF，
∴∠ABG+∠ABF=180°，
∴F、B、G三点共线，
又∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG=FG，
设CE=x，则DE=7−x=BF，FG=CF−CG=11−x，
∴EG=11−x，
∵∠C=90°，
∴Rt△CEG中，CE2+CG2=EG2，即x2+32=11−x2，解得x=5611，
∴CE的长为5611，
故答案为：5611．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（本题满分6分）（1）先化简，再求值：2a−1a−1−a2−3a，其中a=1−2．
（2）解方程组：−4x+y=−32x−5y=−3
【答案】解：（1）2a−1a−1−a2−3a
=2a2−3a+1−a2+3a
=a2+1
∵a=1−2
∴原式=a2+1=1−22+1=4−22
（2） −4x+y=−3①2x−5y=−3②
由①得：y=4x−3③，
把③代入②得：2x−54x−3=−3，
解得：x=1，
把x=1代入③得y=4×1−3=1，
∴方程组的解为x=1y=1．
【分析】本题主要考查二元一次方程组的求解及二次根式的运算：
（1）先计算平方差，再进行去括号，合并同类项即可，然后把a的值代入化简以后的式子中求值即可．
（2）按照代入消元法解方程组即可．
18．（本题满分6分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹．
(1)在图①中以AB为边画一个面积为3的等腰三角形ABC；
(2)在图②中以AB为边画一个面积为3的钝角三角形ABD；
(3)在图③中在线段CD上找一点E，画一个面积为4的△ABE．
【答案】（1）解：如图①中，△ABC即为所求；
；
（2）解：如图②中，△ABD即为所求；
（3）解：如图③中，△ABE即为所求．
．
【分析】本题考查作图−应用与设计作图，等腰三角形的定义，平移的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）画一个底为2，高为3的等腰三角形即可；
（2）画一个底为2，高为3的钝角三角形即可；
（3）利用分割法作出一个面积为4的△ABF再平移AB，使点B和点F重合，平移的线段交CD于点E，△ABE即为所作．
19．（本题满分6分）如图，直线y=32x−2分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y=kxk≠0的图象在第一象限内的交点为C，CD⊥y轴于点D，且CD=4．
(1)写出k值_____；
(2)设点P是双曲线上的一点，且△POB的面积是△AOB的面积的4倍，求出点P的坐标．
【答案】（1）∵CD⊥y轴，CD=4，
∴xC=4，
∴yC=32xC−2=4，
∴C4,4，
∵C4,4在反比例函数y=kxk≠0上，
∴4=k4，
∴k=16，即反比例函数解析式为y=16x，
故答案为：16；
（2）当x=0时，y=−2，
当y=0时，32x−2=0，解得x=43，
∴A43,0，B0,−2，
∴AO=43，BO=2，
∴S△AOB=12×OA×OB=43，
∵△POB的面积是△AOB的面积的4倍，
∴S△POB=4×43=163，
如图，
即有：S△POB=12×OB×xP，
∴S△POB=12×2×xP=xP，
∵S△POB=4×43=163，
∴xP=163，
∴xP=±163，
∵点P是双曲线上的一点，反比例函数解析式为y=16x，
∴yP=16xP=±3，
∴点P是的坐标为：163,3或者−163,−3．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的图象与性质的知识，由CD⊥y轴，CD=4，得出xC=4，是解答本题的关键．
【分析】（1）根据CD⊥y轴，CD=4，可得xC=4，进而可得C4,4，结合C4,4在反比例函数y=kxk≠0上，问题得解；
（2）先利用一次函数求出A43,0，B0,−2，即有S△AOB=12×OA×OB=43，进而可得S△POB=4×43=163，又根据S△POB=12×OB×xP，可得xP=163，即xP=±163，结合点P是双曲线上的一点，反比例函数解析式为y=16x，问题得解．
20．（本题满分8分）为了激发学生参与劳动的热情，某校开设了以“端午”为主题的手工课程：制熏香、制糕点、做香囊和包粽子．要求每位学生选择一门进行学习，数学兴趣社同学随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的条形和扇形统计图如下．四门课修完后，学校开展包粽子大赛，七、八、九年级各选10人参加比赛，得分情况如下所示．
参赛选手的得分（满分10分）记录如下：
七年级：6，7，8，8，8，9，10，10，10，10
八年级：7，7，8，8，8，8，9，9，10，10
九年级：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10
请根据上面的信息回答下列问题：
(1)本次被调查的学生有______人，并补全条形统计图；
(2)参赛的30名同学得分的众数是______，______年级参赛选手得分的中位数最大，九年级参赛10名同学得分的方差是______；
(3)本校共有900名学生，“制糕点”课周三下午安排在食堂中，食堂的每张餐桌可安排6人学习制作，试估计上“制糕点”课大约需要安排多少张餐桌？
【答案】（1）解：调查学生的人数为12÷20%=60（人），
包粽子的人数为60×35%=21（人），
制糕点的人数为60−9−21−12=18（人），
故答案为：60，
补全条形统计图如下：
（2）解：观察这30人的得分，得分为8的次数最多，有11次，
∴这30个数据的众数为8；
∵七年级参赛选手得分的中位数为8.5，八、九年级参赛选手得分的中位数为8，
∴七年级参赛选手的中位数最大；
∵九年级参赛选手的得分的平均数为x=110×6+7+7+⋅⋅⋅+10=8，
∴方差为s2=1106−82+7−82+7−82+⋅⋅⋅+10−82=1.2，
故答案为:8，七，1.2；
（3）解：900×1860÷6=45，
答：“制糕点”课大约需要安排45张餐桌．
【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图用样本估计总体的知识，此题综合性较强，难度适中．
（1）总人数为做香囊的人数÷占比即可，拿总人数乘以占比算出包粽子的人数，再拿总人数减去包粽子，制熏香，做香囊的人数就是制糕点的人数了，即可画出条形统计图；
（2）依据众数，中位数定义，以及方差计算公式求解；
（3）先计算制糕点的占比，再用900乘以占比得人数，再由每张餐桌可安排6人学习制作，即除以6即可．
21．（本题满分8分）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF．
(1)求证：AF=CE；
(2)若AC=8，BC=6，∠ACB=30°，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∴∠ACB=∠CAD，
又∵BE∥DF，
∴∠BEC=∠DFA，
在△BEC和△DFA中，∠BEC=∠DFA∠ECB=∠FADBC=DA，
∴△BEC≌△DFAAAS，
∴AF=CE；
（2）解：如图所示，过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，

在Rt△AGC中，AC=8，∠ACG=30°，
∴AG=12AC=4，
∵BC=6，
∴平行四边形ABCD的面积=BC⋅AG=4×6=24．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定：
（1）根据平行四边形的性质可证△BEC≌△DFAAAS，可得AF=CE；
（2）过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，根据含30°角的直角三角形的性质可求出AG的长，根据平行四边形面积的计算方法即可求解．
22．（本题满分10分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，根据图中的数据求：
(1)坡角α和β；
(2)坡底BC和斜坡AB的长；（精确到0.1m）
(3)若拦水坝总长500米，修筑这样的拦水坝至少需要多少立方米的泥土？
【答案】（1）解：由题意，得：tanα=11.5=23,tanβ=13，
∴α≈33.7°，β≈18.4°；
（2）作AF⊥BC,DE⊥BC，
则四边形AFED是矩形，
由题意，得：AD=EF=1m,AF=DE=6m,AFBF=11.5,DECE=13，
∴BF=1.5AF=9,CE=3DE=18，
∴BC=BF+EF+CE=9+1+18=28m，AB=AF2+BF2=117≈10.8m；
（3）由题意可得：500×12×1+28×6=43500（立方米），
答：修筑这样的拦水坝至少需要40500立方米的泥土．
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用：
（1）根据坡度等于坡角的正切值，求出坡角α和β即可；
（2）利用坡度分别求出BF,CE，进而利用线段的和差关系求出BC的长，勾股定理求出AB的长即可；
（3）求出梯形的面积乘以水坝总长进行求解即可．
23．（本题满分10分）【发现问题】
某景观公园内圆形人工湖中心有一喷泉，在人工湖中央垂直于水面安装一个柱子，安置在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．爱思考的小敏发现，如果设距喷水柱子的水平距离为d米，喷出的抛物线形水线距离湖面高度为h米，h与d的数量变化有一定规律．
【提出问题】
喷出的抛物线形水线距离湖面高度为h米与距喷水的柱子的水平距离d米，h与d之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小敏对某个方向喷水的路径测量和计算得出如下数据：
【解决问题】
(1)在建立如图1所示的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
(2)结合表中所给数据和所画出的图象，验证前面的抛物线形状的判断，并求出h与d之间的函数关系式；
(3)现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目，使公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过．如果游船宽度为2.4米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米，问游船在能否顺利通过？说明理由．
【答案】（1）
描点、连线、图象如图1；
；
（2）
该函数是二次函数，由(1,2)和(3,2)可知，抛物线的对称轴为直线d=2，
当d=2时，ℎ=94，
∴水柱最高点距离湖面的高度是94米；
由图象可得，顶点(2,94)，
设二次函数的关系式为ℎ=a(d−2)2+94，
把(0,54)代入可得a=−14，
∴ ℎ=−14(d−2)2+94；
将(0,54)和(1,94)代入抛物线关系式，左边等于右边，所有的点都在二次函数图象上，
∴可以确认该函数是二次函数；
（3）
游船宽带2.4米，在抛物线的正下方通过，令d=2−1.2=0.8，
代入抛物线得−14(1.2−2)2+94=2.09，
由已知，顶棚到水面的高度为2米，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米，
∴2+0.8=2.8，
∴2.8>2.09，
∴不能正常通过．
【分析】
本题考查二次函数的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
（1）根据表格数据对应描点画图即可；
（2）根据表格数据和图象的对称性可得答案；
（3）根据二次函数的图象和性质可得答案．
24．（本题满分12分）如图1，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，P点为劣弧BC上一个动点，且A(−1,0)、E(1,0)．

(1)BC的度数为 °；
(2)如图2，连结PC，取PC中点G，则OG的最大值为 ；
(3)如图3，连接AC、AP、CP、CB．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，求AQ的长；
(4)如图4，连接PA、PD，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：PC+PDPA为定值，并求出这个定值．
【答案】（1）（1）连接AC，CE，
∵A(−1,0)、E(1,0)，
∴OA=OE=1，
∵OC⊥AE，
∴AC=CE，
∵AE=CE，
∴AC=CE=AE，
∴∠CAE=60°，
∴∠BEC=2∠CAB=120°，
∴ BC的度数为120°．
故答案为：120．
（2）由题可得，AB为⊙E直径，且AB⊥CD，

由垂径定理可得，CO=OD，
连接PD，如图2，
又∵G为PC的中点，
∴OG∥PD，且OG=12PD，
当D，E，P三点共线时，此时DP取得最大值，
且DP=AB=2AE=4，
∴OG的最大值为2，
故答案为：2．
（3）连接AC，BC，
∵直径AB⊥CD，
∴ AC=AD，
∴∠ACD=∠CPA，
∵CQ平分∠DCP，
∴∠DCQ=∠PCQ，
∴∠ACD+∠DCQ=∠CPA+∠PCQ，
∴∠ACQ=∠AQC，
∴AQ=AC，
∵∠CAO=60°，AO=1，
∴AC=2，
∴AQ=2．
（4）由题可得，直径AB⊥CD，
∴AB垂直平分CD，
如图4，连接AC，AD，则AC=AD，

由（1）得，∠DAC=120°，
将△ACP绕A点顺时针旋转120°至△ADM，
∴△ACP≌△ADM，
∴∠ACP=∠ADM，PC=DM，
∵四边形ACPD为圆内接四边形，
∴∠ACP+∠ADP=180°，
∴∠ADM+∠ADP=180°，
∴M、D、P三点共线，
∴PD+PC=PD+DM=PM，
过A作AG⊥PM于G，则PM=2PG，
⋅∠APM=∠ACD=30°，
在Rt△APG中，∠APM=30°，
设AG=x，则AP=2x，
∴ PG=AP2−AG2=3x，
∴ PM=2PG=23x
∴ PM=3AP，
∴ PC+PD=3AP
∴ PC+PDPA=3 为定值．
【分析】（1）由已知条件可以得到CD垂直平分AE，所以CA=CE，由于CE=AE，所以可以证得三角形ACE为等边三角形，得到∠CEB=120°；
（2）由于直径AB⊥CD，根据垂径定理，可以得到O是CD的中点，又G是CP的中点，连接PD，则OG∥PD，OG=12PD，要求OG最大值，只需要求PD最大值，由于P是劣弧BC上的一动点，故当P，E，D三点共线，即PD为直径时，PD最大，此时OG最大；
（3）由于直径AB⊥CD，根据垂径定理，可以得到AC=AD，所以∠ACD=∠CPA，又CQ平分∠DCP，所以∠PCQ=∠DCQ，可以证明∠ACQ=∠AQC，所以AC=AQ，由（1）可得，AC=AE=4，所以AQ=4；
（4）由直径AB⊥CD，可以得到AB垂直平分CD，所以AC=AD，∠CAD=2∠CAE=120°，将△ACP绕A点顺时针旋转120°至△ADM，可以证明M，D，P三点共线，所以PC+PD=PM，可以证明△PAM是顶角为120°的等腰三角形，过A做AG⊥PM于G，由于∠APM=30°，可以通过勾股定理或者三角函数证明PM=3PA，所以PC+PDPA=3．
【点睛】本题是一道圆的综合题，重点考查了垂径定理在圆中的应用，最后一问由“共顶点，等线段”联想到旋转，是此题的突破口，同时，要注意顶角为120度的等腰三角形腰和底边比是固定值．d（米）
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0
1
2
3
4
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h（米）
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54
2
94
2
54
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