2024年中考数学热点探究九 特殊三角形中的分类讨论、存在性问题练习附解析

这是一份2024年中考数学热点探究九 特殊三角形中的分类讨论、存在性问题练习附解析，共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm
2．在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'=30°,AB=A'B'=6,AC=A'C'=4.已知∠C=n°，则∠C'=（ ）
A．30°B．n°
C．n°或180°−n°D．30°或150°
3．已知m，n，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程.x2−6x+k+2=0的两个根，则k的值为（ ）
A．7B．7或6C．6或-7D．6
4．如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB的顶点O(0,0)，B(1,0)，已知△OA'B'与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA'B'的面积是△OAB面积的16倍，则点A对应点A'的坐标为（ ）
A．(12,32)B．(23,2)或(−23,−2)
C．(4,43)D．(2,23)或(−2,−23)
5．已知直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是第一象限内的点.若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（ ）
A．（1，1）
B．（1，1）或（1，2）
C．（1，1）或（1，2）或（2，1）
D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）
6．已知等腰△ABC，AD为BC边上的高，且AD=12BC.则等腰△ABC的底角的度数为（ ）
A．45°B．75°或60°C．45°或75°D．以上都不对
7．如图，BD是▱ABCD的对角线，BD⊥AD，AB=2AD=6，点E是CD的中点，点F、P分别是线段AB、BD上的动点，若△ABD∽△PBF，且△PDE是等腰三角形，则PF的长为（ ）
A．33−32或233B．3−1或3C．3或33−32D．233或3−1
8．如图，在矩形 ABCD 中， AB=4，BC=6， 点 E 是 AD 的中点，点 F 在 DC 上，且 CF=1， 若在此矩形上存在一点 P ，使得 △PEF 是等腰三角形，则点 P 的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．如图，在矩形ABCD中，AD=3AB=310，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN的值为（ ）
A．6或2B．3或158C．2或3D．6或158
二、填空题（每题2分，共18分）
10．一个等腰三角形的顶角为140°，则它一腰上的高与另一腰的夹角为 °．
11．如图，在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90°，∠CBA=30°，AC=1 ，D是 AB 上一点（点D与点A不重合）.若在 Rt△ABC 的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则 AD 长的取值范围是 .
12．在△ABC中，∠ACB=90°,BC=2cm，AC=23cm，点D是AB边上一动点，将△ACD沿直线CD翻折，使点A落在点E处，连接CE交AB于点F（所给图形仅仅是示意图）．当△DEF是直角三角形时，AD= ．
13．如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为
14．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为： ．
15．平面直角坐标系xOy中，直线y=12(x+3)分别与函数y=kx(k>0)的图象交于A、B，若y轴负半轴上存在点C使得△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，则k为 ．
16．已知，一次函数y=−x+1与反比例函数y=−2x的图象交于点A、B，在x轴上存在点P（n，0），使△ABP为直角三角形，则P点的坐标是 ．
17．如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，P是边AB上的一个动点，过点P作PE⊥AB，交BC于点E，连接DP，DE.若AB＝8，△PDE是等腰三角形，则BP的长是 .
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，记x＝AC，y＝BC-AC，在平面直角坐标系xOy中，定义（x，y）为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点（x，y）对应的直角三角形．有下列结论：①在x轴正半轴上的任意点（x，y）对应的直角三角形均满足AB＝2BC；②在函数y＝2019x（x＞0）的图象上存在两点P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；③对于函数y＝（x-2020）2-1（x＞0）的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数y＝-2x+2020（x＞0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等．所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共8题，共84分）
19．对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△PQR使得S△PQR=PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ的“等幂点”．
（1）已知A(2，0)，若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；
（2）已知点C的坐标为C(2，−1)，点D在直线y=x−3上，记图形M为以点T(1，0)为圆心，2为半径的⊙T位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形”△CDE为锐角三角形，直接写出点D的横坐标xD的取值范围．
20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，AB=4.动点P从点C出发，沿CA以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作CA的垂线交射线CB于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于AB的对称点N.设点P的运动时间为t秒(t>0)．
（1）BC= ；
（2）求MN的长．(用含t的代数式表示)
（3）取PC的中点Q．
①连结MQ、PN，当点M在边BC上，且MQ//PN时，求MN的长．
②连结NQ，当∠CNQ=∠A时，直接写出t的值．
21．在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=3，BC=4.点Q在线段AC上运动，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．
图1 图2 备用图
（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；
（2）当点P与点B重合时，求AQ的长；
（3）若点Q从点A以每秒2个单位长的速度向点C运动，求点P与点B的距离不大于1的时长；
（4）当△BPQ为等腰三角形时，直接写出AP的长．
22．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥CB，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21 ，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形；
（3）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?
23．对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，则称点C为图形G的“友好点”．
（1）已知点O(0，0)，M(4，0)，在点C1(0，4)，C2(1，4)，C3(2，−1)中，线段OM的“友好点”是 ；
（2）直线y=−x+b分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点C(2，1)为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；
（3）已知直线y=x+d(d>0)分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的⊙O的“友好点”，直接写出d的取值范围．
24．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(t，0)，B(t+2，0)，C(n，1) ，若射线 OC 上存在点P，使得 △ABP 是以 AB 为腰的等腰三角形，就称点P为线段 AB 关于射线 OC 的等腰点.
（1）如图， t=0 ，
①若 n=0 ，则线段 AB 关于射线 OC 的等腰点的坐标是 ▲ ；
②若 n4 ．
∴△PEF 是等腰三角形，存在三种情况：
①当 EF 为腰， E 为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在 BC 上存在两个点P，在 AB 上存在一个点P，共 3 个，使 △PEF 是等腰三角形；
②当 EF 为腰， F 为顶角顶点时，
∵180)的图象交于A、B ，
∴12(x+3)=kx.
即x2+3x－2k=0.
设点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1>0>x2.
∴x1+x2=－3.
∴y1+y2=12x1+x2+6=32
过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，
∵△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形 ，
∴∠BCA=90°，BC=AC.
∵∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+∠ACD.
∴∠CBE=∠ACD.
又∵∠BEC=∠CDA=90°，
∴△BCE≌△CAD(AAS).
∴CE=AD=x1，BE=DC=－x2.
∴DC=DE+CE=y1－y2+x1.
∴y1－y2+x1=－x2.
故y1－y2=－（x2+x1）=3.
又y1+y2=12x1+x2=32
解得：y1=94，y2=−34
∵y1=94=12x1+3，
∴x1=32.
∴k=94×32=278.
故答案为：278.
【分析】联立y=12(x+3)和y=kx(k>0)得x2+3x－2k=0，表示出x1+x2和y1+y2.过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，利用等腰直角三角形的性质和AAS证明△BCE≌△CAD，得到CE=AD=x1，BE=DC=－x2.表示出DC的长，根据BE=DC得y1－y2+x1=－x2.从而可求出y1－y2，根据y1+y2和y1－y2的值求出y1，再代入求出x1，即可得到k值.
16．【答案】（3，0）或（-3，0）或(1+172，0)或(1−172，0)
【解析】【解答】解：∵一次函数y=−x+1与反比例函数y=−2x 的图象交于点A、B，
∴y=−x+1y=−2x的解是点A、B的坐标，
解这个方程组得：x1=−1y1=2，x2=2y2=−1，
∴A（-1，2），B（2，-1），
设P（n，0），
∵A（-1，2），B（2，-1），P（n，0），
∴AB2=（2+1）2+（1+2）2=18，BP2=（n-2）2+1，AP2=（n+1）2+4，
∵△ABP为直角三角形，
∴①当∠ABP=90°
AB2+BP2=AP2
∴18+(n-2)2+1=(n+1)2 +4，
∴n= 3，
∴ P(3， 0)，
②当∠BAP= 90°时，
AB2+ AP2= BP2，
∴18+(n+1)2 +4=(n-2)2+1，
∴n= -3，
∴P(-3，0)，
③当∠APB= 90°时，
AP2+ BP2= AB2，
∴(n+1)2+4+(n-2)2+1= 18，
∴n=1±172
∴P(1+172，0)或P(1−172，0)，
故答案为：P点的坐标(3，0)、 (-3，0)、(1+172，0)或(1−172，0)．
【分析】根据一次函数y=−x+1与反比例函数y=−2x 的图象交于点A、B，得出点A、B的坐标，设P（n，0），根据A（-1，2），B（2，-1），P（n，0），得出△ABP为直角三角形，①当∠ABP=90°，②当∠BAP= 90°，③当∠APB= 90°，分类讨论即可。
17．【答案】12﹣4 6 或 33 ﹣3或4
【解析】【解答】解：如图，作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N.
∴∠AMD＝∠DNC＝90°，
则△AMD、△DNC都是直角三角形.
∵△ABC是等边三角形，且AB＝8，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵D为AC中点，
∴AD＝CD＝ 12 AC＝4.
在Rt△AMD中，
AM＝AD•cs∠A＝4×cs60°＝2，
DM＝AD•sin∠A＝4×sin60°＝2 3 ，
同理可得CN＝2，DN＝2 3 .
∴BM＝AB﹣AM＝6，
BN＝BC﹣CN＝6.
设BP＝a，
∵EP⊥AB
∴∠EPB＝90°.
在Rt△EPB中，
PE＝BP•tan∠B＝a•tan60°＝ 3 a，
BE＝ BPCOS∠B ＝ acs60° ＝2a.
∴MP＝BM﹣BP＝6﹣a，
EN＝BN﹣BE＝6﹣2a.
当△PDE为等腰三角形时，
①当PE＝DE时，
在Rt△DEN中，由勾股定理得：
EN2+DN2＝DE2.
即（6﹣2a）2+（2 3 ）2＝（ 3a ）2.
解得：a1＝12﹣4 6 ，a2＝12+4 6 ＞8（不合题意，舍去）.
即BP＝12﹣4 6 .
②当PE＝PD时，
在Rt△DMP中，由勾股定理得：
MP2+DM2＝PD2.
即（6﹣a）2+（2 3 ）2＝（ 3a ）2.
解得：a1＝ 33 ﹣3，a2＝﹣ 33 ﹣3（不合题意，舍去）.
即BP＝ 33 ﹣3.
③当PD＝DE时，E点在N点右侧时 才能成立，此时 EN＝a﹣6，因为DM＝DN，DP＝DE，都是直角三角形，所以MP＝EN，即6﹣a＝2a﹣6，解得a＝4.
综上所述，BP的长为12﹣4 6 或 33 ﹣3或4.
故答案为：12﹣4 6 或 33 ﹣3或4.
【分析】作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，解直角三角形求出AM，DM，CN，DN的长，从而得BM，BN的长，设BP＝a，求出MP和EN的长，分三种情况讨论：①当PE＝DE时，②当PE＝PD时，③当PD＝DE时，分别求出a的值，即可得出答案.
18．【答案】①③④
【解析】【解答】解：①∵点（x，y）在x轴的正半轴上，
∴y=0，
∴BC−AC=0，即AC=BC，
∵∠C=90°，
∴AB=AC2+BC2=2BC，故此说法符合题意；
②设P点坐标为（x1，2019x1），Q点坐标为（x2，2019x2），
∴P、Q两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：x1，x1+2019x1；x2，x2+2019x2，
若P、Q对应的两个三角形相似，
∴x1x1+2019x1=x2x2+2019x2或x1x1+2019x1=x2+2019x2x2
∴x12=x22或2019x2x1+2019x1x2+20192x1x2=0
∵x>0，
∴x1=x2，2019x2x1+2019x1x2+20192x1x2≠0，不符合题意，
∴在函数y=2019x上不存在两点P，Q，使得它们对应的直角三角形相似，故②不符合题意；
③设P点坐标为（x1，(x1−2020)2−1），Q点坐标为（x2，(x2−2020)2−1），
∴P、Q两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：x1，x1+(x1−2020)2−1；x2，x2+(x2−2020)2−1，
若P、Q对应的两个三角形相似，
∴x1x1+(x1−2020)2−1=x2x2+(x2−2020)2−1
∴(x1−x2)(x1x2+1−20202)=0
∵x>0，
∴x1x2+1−20202=0，
∴图像上的任意一点P都存在另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似，故③符合题意；
④设P点坐标为（x1，−2x1+2020），Q点坐标为（x2，−2x2+2020），
∴P、Q两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：x1，x1−2x1+2020=−x1+2020；x2，x2−2x2+2020=−x2+2020，
若P、Q对应的两个三角形全等，
∴x1=−x2+2020
∵x>0，
∴在函数y＝-2x+2020（x＞0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等，故④符合题意；
故答案为：①③④．
【分析】利用勾股定理、相似三角形的判定和性质，函数图象上点坐标的特征及全等三角形的性质逐项判断即可。
19．【答案】（1）解：∵A(2，0)，∴OA=2，
∵存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，
∴S△OAB=OA2=4，
设OA边上的高为h，则S△OAB=12OA⋅ℎ=12×2ℎ=4，∴ℎ=4，
∴点B的纵坐标为4或−4；
∵△OAB是等腰三角形”，
∴若OB=AB时，点B在OA的垂直平分线上，∴点B坐标为(1，4)或(1，−4)；
若OB=OA=2时，OB