2024年中考数学热点探究二十五 项目学习练习附解析

这是一份2024年中考数学热点探究二十五 项目学习练习附解析，共53页。试卷主要包含了实践探究题等内容，欢迎下载使用。
1．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量旗杆高度
问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？
组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，标杆，镜子，甚至还可以利用无人机…确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案：
根据上述方案及数据，请你选择一个方案，求出学校旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m）；
2．根据以下素材，探索完成任务．
问题解决：
（1）任务1：确定喷泉形状
结合素材1，求y关于x的表达式．
（2）任务2：探究喷头升降方案
为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值．
3．某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测最仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）.
任务一：两次测量，A，B之间的距离的平均值是 ▲ m.
任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度.
（参考数据：sin25.7°≈0.43，cs25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60）
任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？
4．根据以下素材，探索完成任务
5．根据以下素材，探索完成任务
6．根据以下素材，探究完成任务
7．根据以下素材，探索完成任务．
8．根据以下素材，探究完成任务．
9．根据以下素材，探索完成任务
问题解决
（1）任务1 确定桥拱形状
根据图2，求抛物线的函数表达式．
（2）任务2 拟定设计方案
求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
（3）任务3 探究救生绳长度
当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数）
10．根据以下素材，探索完成任务.
（1）【分析变量关系】根据以上信息，请确定m的值，并求出杨梅重量超过10千克时寄送费用y(元)关于杨梅重量x(千克)之间的函数关系式.
（2）【计算最省费用】若杨梅重量达到25千克，请求出最省的寄送费用.
（3）【探索最大重量】小聪想在当地梅企购买一批价格为50元/千克的杨梅并全部寄送给在A市的朋友们，若小聪能用来支配的钱有5000元，他最多可以购买多少千克的杨梅?
并写出一种寄送方式.
11．【项目式学习】
项目主题：守护生命，“数”说安全．
项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究．
（1）任务一：考察测量
如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为4m，则AB＝ m；
（2）任务二：模拟探究
如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过．
创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当CD＜2AB时（如图1），线段CD能通过直角弯道；
②当CD＝2AB时，必然存在线段CD的中点E与点B重合的情况，线段CD恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，∠ADC的度数是 ；③当CD＞2AB时，线段CD不能通过直角弯道．
（3）如图3，创新小组用矩形PQMN模拟汽车通过宽均为4m的直角弯道，发现当PQ的中点E与点B重合，且PQ⊥AB时，矩形PQMN恰好不能通过该弯道．若PQ＝am，PN＝2m，且矩形PQMN能通过该直角弯道，求a的最大整数值．
（4）任务三：成果迁移
如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数y＝kx（x＞0）的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线OA上，两边分别与x轴，y轴平行，OA＝2m，AB＝42m．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为bm，宽为2m的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为 ．（参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2，7≈2.6）
12．【项目化学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用。
实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据．
任务一：数据收集
记录的数据如下：
根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象：
（1）请在图（b）中画出v与x的函数图象：
（2）【任务二：观察分析】数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围）
（3）【任务三：问题解决】当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离：
（4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方ncm处有一辆电动小车，以2cm/s的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，则n的取值范围应为 ．
13．项目化学习：车轮的形状．
【问题提出】车轮为什么要做成圆形， 这里面有什么数学原理?
（1）【合作探究】
探究 A 组：如图1，圆形车轮半径为 4cm ，其车轮轴心 O 到地面的距离始终为 cm ．
探究 B 组：如图2，正方形车轮的轴心为 O ，若正方形的边长为 4cm ，求车轮轴心 O 最高点与最低点的高度差．
探究 C 组：如图3， 有一个破损的圆形车轮， 半径为 4cm ，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为 90∘ ，其车轮轴心为 O ，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点 O 经过的路程．
探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定．
（2）【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点 A，B，C 为圆心，以正三角形的边长为半径作 60∘ 圆弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”．
探究 D 组：使 “莱洛三角形” 沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有 “最高点”，“中心点” 也在不断移动位置，那么在 “莱洛三角形” 滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的图案大致是 ．
延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心 O 并不稳定．
14．完成项目化学习：《蔬菜大棚的设计》．
15．综合与实践
【项目学习】
配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．
例1：把代数式x2+8x+25进行配方．
解：原式=x2+8x+16+9=(x+4)2+9．
例2：求代数式−x2+4x−7的最大值．
解：原式=−(x2−4x+4)−3=−(x−2)2−3．
∵(x−2)2≥0，∴−(x−2)2≤0，
∴−(x−2)2−3≤−3，∴−x2+4x−7的最大值为−3．
【问题解决】
（1）若m，k，ℎ满足2m2−12m+11=2(m−k)2+ℎ，求k+ℎ的值．
（2）若等腰△ABC的三边长a，b，c均为整数，且满足a2+2b2−8a−20b=−66，求△ABC的周长．
（3）如图，这是美国总统加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中a，b，c是Rt△ABC和Rt△DEF的三边长，根据勾股定理可得AE=c2+c2=2c，我们把关于x的一元二次方程ax2+2cx+b=0称为“勾系一元二次方程”．已知实数p，q满足等式q−p2+15p−48=0，且p+q的最小值是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一个根．四边形ACDE的周长为62，试求△ABC的面积．
16．根据素材回答问题：
17．请根据素材，完成任务.
18．阅读素材，完成任务．
19．根据以下材料，探索完成任务：
20．根据下列素材，完成相应任务
答案解析部分
1．【答案】解：方案一：过C作CH∥BD交EF于Q，交AB于H，
则四边形CDFQ，四边形CDBH都是矩形，
∴CQ＝DF＝1.35m，CH＝BD＝16.8m，
∵EQ∥AH，
∴∠CEQ=∠A
∵∠ACH=∠ECQ
∴△CEQ∽△CAH，
∴CQCH=EQAH，
即：−1.7AB−1.7，
解得：AB＝12.9m；
方案二：（1）∵∠ACG＝∠ACG，∠CGA＝∠AEF＝90°．
∴△CEF∽△CGA，
∴CECG=EFAG，
即：−1.7，
解得：AB＝12.9m；
【解析】【分析】方案一：过C作CH∥BD交EF于Q，交AB于H，四边形CDFQ，四边形CDBH都是矩形， 证明 △CEQ∽△CAH， 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.
方案二： 证明△CEF∽△CGA，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.
2．【答案】（1）解：分析表格数据可得该抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，2），
设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，将点（0，1）代入，得1＝4a+2，则a=−14，
∴该抛物线的解析式为y=14(x−2)2+2
（2）解：设调节后的水管喷出抛物线的解析式为y=14(x−2)2+c，
由题意，当x＝2+1.4＝3.4时，y≥2+0.4＝2.4，
∴−14(3.4−2)2+c≥2.4，解得c≥2.89，
喷头至少向上调节2.89﹣2＝0.89（米），
∴1+0.89＝1.89（米），
答：喷头距离湖面高度的最小值为1.89米．
【解析】【分析】（1）先根据表格推出抛物线的对称轴和顶点坐标，待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）根据题意设出函数解析式，将x=3.4代入求出函数值，根据题意列出不等式求解即可.
3．【答案】解：任务一：5.5
任务二：由题意可得，四边形ACDB，四边形ACEH都是矩形，
∴EH=AC=1.5，CD=AB=5.5，
设EG=xm，
在Rt△DEG中，∠DEG=90°，∠GDE=31°，
∵tan31°=EGDE，
∴DE=xtan31°，
在Rt△CEG中，∠CEG=90°，∠GCE=25.7°，
∵tan25.7°=EGCE，
∴CE=xtan25.7°，
∵CD=CE−DE，
∴xtan25.7°−xtan31°=5.5，
∴x=13.2，
∴GH=GE+EH=13.2+1.5=14.7（m），
答：旗杆GH的高度为14.7m.
任务三：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等.
【解析】【解答】解：任务一：平均值：(5.4+5.6)÷2=5.5m，
故答案为：5.5；
【分析】任务一：根据平均数公式x−=x1+x22可求解；
任务二：由矩形的性质可得EH=AC，CD=AB；设EG=xm，在直角三角形DEG中，根据锐角三角函数tan31°=EGDE可将DE用含x的代数式表示出来，在直角三角形CEG中，根据锐角三角函数tan26.7°=EGCE可将CE用含x的代数式表示出来，然后根据线段的构成CD=CE-DE可得关于x的方程，解方程求得x的值，于是GH=GE+EH可求解.
4．【答案】解：任务一：由题意得抛物线顶点坐标为(15,92)，
设抛物线解析式为y=a(x−15)2+92，
∵抛物线经过点A(0,0)，
∴225a+92=0，
解得a=−150，
∴y=−150(x−15)2+92,
∴足球运动轨迹抛物线的函数表达式为y=−150(x−15)2+92
任务二：当AC=24时，即x=24时，
y=−8150+92=2.88>2.5，
∴足球不能进入球门，
小梅带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为：y=−150(x−15+m)2+92
把点(24,2.5)代入得：2.5=−150(24−15+m)2+92，
解得m=−19(舍去)或m=1
∴向正后方移动1米射门
任务三：
如图构造三角形，
由题意可知：AF=25,CQ=6,AQ=18
∵△ACF~△AQP
∴APAF=AQAC
∴AP=754
当x=754时，y=13532>4，
∴能过拦网.
当x=25时，y=2.5
∴能在E处入网
【解析】【分析】任务一：根据题意，确定抛物线顶点坐标(15,92)，设抛物线的顶点式，再把A(0,0)代入，即可求出抛物线解析式.
任务二：根据题意，确定C点横坐标为24，代入抛物线解析式求得C点纵坐标，与CD比较，若小于CD长则可以进入球门，否则不能进入球门，利用函数图象的平移规律，设出移动后的抛物线解析式，再把点(24,2.5)代入，求出平移距离即可.
任务三，根据题意，构建数学模型，运用相似三角形性质，求出拦网处的横坐标，再由纵坐标判断是否可以过网，由于AF=25，故验证x=25时，纵坐标与2.5的大小，判断能否在点E处进入球门.
5．【答案】解：任务1：由题意可得：y=200+20(30−x)，故y关于x的函数表达式是y=−20x+800．
任务2：由题意可得：W=(x−10)y=(x−10)(−20x+800)，即W=−20(x−25)2+4500，
∴当x=25元时，W取到最大值，最大值为4500元．
任务3：由题意得：W−400=−20(x−25)2+4100=3040(10≤x≤19.5)，
解得：x1=25+53，x2=25−53，∴25−53≤x≤25+53，
∵764.
【分析】（1）直接在坐标系中描点，连线即可；
（2）利用待定系数法求解即可.
（3）令v=0，可得停下时滑行的时间x，把x值代入y=−14x2+10x，即可求出此时的滑行距离.
（4）设x秒能追上，得到关于x的一元二次方程，令∆