2024年中考数学热点探究十三 格点图中的作图与计算问题练习附解析

这是一份2024年中考数学热点探究十三 格点图中的作图与计算问题练习附解析，共26页。试卷主要包含了作图题等内容，欢迎下载使用。
1． 如图在的网格中，的顶点都在格点上.仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图.（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
（1）在图1中，画出的重心G；
（2）在图2中，画线段，点E在上，使得；
（3）图3中，在内寻找一格点N，使∠ANB=2∠C。并标注点N的位置。
2．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）
（1）在图①中画出一个△ABD，使S△ABD=S△ABC，D为格点（点D不在点C处）：
（2）在图②中的边BC上找一点E，连接AE，使AE⊥BC；
（3）在图③中的边BC上找一点F，使点F到AB和AC所在直线的距离相等．
3．如图，在由边长为1的小正方形构成的6×8的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
（1）如图1，在线段AC上找一点D，使得ADCD=34.
（2）如图2，画出△ABC的角平分线BE．
4．如图①，图②，图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上．在图①，图②，图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中，找一个格点C，使AC＝BC．
（2）在图②中，以AB为直角边画等腰直角三角形ABD（画出一个即可）．
（3）在图③中，画锐角三角形ABE，使∠AEB＝45°（画出一个即可）．
5．如图是由小正方形组成的6×7网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．格点A、B、C在同一个圆上，只用无刻度直尺在分别在给定网格中按照下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）图①中，先画出圆心O，然后在⊙O上画点D，使AC=AD．
（2）图②中，在弧BC上画点E，连接AE，使AE平分∠CAB．
6．如图，是由边长为1的小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A、B、C、D四个格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示，并用黑色水笔描黑）
（1）如图1，判断圆心O （填“是”或“不是”）在格点上，并在图1中标出格点O；
（2）在图1中画出⊙O的切线CG（G为格点）；
（3）在图2中画出BC的中点E；
7．如图，在6×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙P经过格点A，B，C，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图.（保留作图痕迹）
（1）在图1中，画出△ABC的中线CD.
（2）在图2中，标出圆心P，并画出△ABC的角平分线CE.
（3）在图3中，画出△ABC的AC边上的高线BF.
8．如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作∠ABC的角平分线；
（2）在图2中过点C作一条直线，使点A，B到直线的距离相等．
9．如图在5×5的网格中，△ABC的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图．（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
（1）在图1中，画出△ABC的重心G；
（2）在图2中，画线段CE，点E在AB上，使得S△ACE∶S△BCE=3∶4；
（3）图3中，在△ABC内寻找一格点N，使∠ANB=2∠C，并标注点N的位置．
10．如图，在6×6方格纸中，已知格点P和格点线段AC，请按要求画出以AC为对角线的格点四边形（顶点均在格点上），且点P在四边形内部（不包括边界上）．
（1）在图1中画出一个▱ABCD；
（2）在图2中画出一个四边形AECF，使得点P落在四边形某一边的中垂线上，且四边形中有且仅有两个内角为直角．
11．图①、图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1.线段AB、BC 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，使所画图形的顶点均在格点上，所画图形不全等.
（1）在图①中画一个四边形ABCD，∠ABC+∠DAB=180°；
（2）在图②中画一个四边形ABCE，使∠ABC=∠AEC；
（3）在图③中画一个四边形ABCF，使∠ABC+∠AFC=180°.
12．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
⑴以点A为位似中心，在网格中画出△AB1C1，使△AB1C1与△ABC的位似比为2：1；
⑵将△ABC向右平移7格，再向下平移2格，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
⑶借助网格，在AC上选一点D，使得BD平分△ABC的面积（保留确定关键点的画法），画出线段BD．
13．如图所示，在平面直角坐标系中△ABC三个顶点坐标分别为A（0，4），B（-4，1），C（2，0）．
⑴作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标 ▲ ．
⑵在（1）的条件下，若点P在x轴上，当B1P＋PA的值最小时，画出点P的位置，并直接写出B1P＋PA的最小值．
⑶在x轴上是否存在一点M，使△MAC是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格.在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数.阅读以下作图过程，并回答下列问题：
（1）分别求点P3，P4表示的度数.
（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）.
15．如图是由边长为1的小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图．画图过程用虚线表示．画图结果用实线表示，完成下列问题：
⑴tan∠FCA= ▲ ；
⑶将边BA绕点A顺时针旋转2∠FCA得到线段AD.则∠CAD= ▲ ；
⑶画出△ADC的外接圆的圆心O；
⑷在AD上确定一点G，使GF=GD．
16．如图是由小正方形组成的12×11网格，每个小正方形的顶点叫作格点，过格点A，B，C的圆交△ADE于点F，点G在DE上，其中D，G是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图，画图过程用虚线表示．
⑴在AD的下方画出正方形ADMN；
⑵画出圆心O；
⑶画出AF的中点P；
⑷画出线段AE绕点A逆时针旋转90°后的对应线段AQ．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：如图所示，中线和重心点G即为所作；
（2）解：如图所示，即为所作；
（3）解：如图，点O即为所作，
【解析】【分析】（1）找到三角形两条边AB和BC边上的中点，连接中点与对应顶点，其交点即为重心；
（2）两个三角形同高，根据三角形面积公式，可得面积之比等于底边AE：EB；取格点M、N，交AB与点E，连接EC即可；
（3）作线段AB的垂直平分线m，作线段AC的垂直平分线n，直线m、n交于点O，即为所求.
2．【答案】（1）解：△ABD就是所求的三角形；
（2）解：如图，点E就是所求的点；
（3）解：如图，点F就是所求的点；
【解析】【分析】（1）根据“同底等高面积相等”画出图形即可；
（2）通过构造全等三角形进行作图即可；
（3）利用勾股定理构造等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质作图即可．
3．【答案】（1）解：如图，点D就是所求的点，
（2）解：如图，BE就是所求的△ABC的角平分线，
【解析】【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可；
（2）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义即可得出结论.
4．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【解析】【分析】（1）利用网格的特点，找出线段AB垂直平分线上的格点即可；
（2）根据网格的特点，把AB绕着点A旋转90°即可；
（3）利用网格的特点，确定以∠AEB为一个内角构成等腰直角三角形即可．
5．【答案】（1）解：如图：
（2）解：如图：
【解析】【分析】（1）先连接AB，再过点C作出线段AB的垂线交⊙O于点D即可；
（2）先作出圆心，再过圆心作出AC的平行线交圆于点E即可.
6．【答案】（1）是
（2）解：如图：
CG即为所求；
（3）解：如图：
由方格的特征，取BC的中点K，连接并延长OK交⊙O于E，
点E即为所求．
【解析】【解答】解：（1）如图，
圆心O在弦AB、CD的垂直平分线上，
∴圆心O是在格点上，
故答案为：是.
【分析】（1）画出弦AB、CD的垂直平分线即可判断圆心是否在格点上；
（2）连接OC，取格点G，使CG⊥OC即可；
（3）由方格的特征，取BC的中点K，连接并延长OK交⊙O于E，取BC⏜的中点.
7．【答案】（1）解：根据题意，AB=22+42=25，
∴AB的中点在5的位置，如图所示，
∴CD即为所求△ABC的中线.
（2）解：根据题意，AB=25，AC=32+42=5，BC=1+22=5，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴⊙P的圆心在线段AC的中点上，如图所示，
∵点P，D分别是AC，AB的中点，连接PD并延长，交⊙P于点M，如图所示，
连接CM交AC于CE，
∵PD是△ABC的中位线，
∴PD∥BC，则∠DPA=∠BCA，
∵∠MCA是⊙P的圆周角，∠DPA是⊙P的圆心角，所对弧相同，
∴∠MCA=12∠DPA，
∴∠MCA=12∠BCA，
∴CE是∠BCA的角平分，即CE是△ABC的角平分线.
（3）解：由（2）可知△ABC是直角三角形，AB=25，AC=5，BC=5，
BF为△ABC的高，则点F在斜边AC上，
∵S△ABC=12BC•AB=12AC•BF，
∴BF=BC•ABAC=5×255=2，
在Rt△ABF中，AF=AB2−BF2=(25)2−22=4，
如图所示，过点A作AN=AC=5，连接BN交AC于F，
∵AN=5，AF=4，
∴NF=3，
∴△ANF为直角三角形，即NF⊥AC，
∴如图所示，BF即为所求△ABC的AC边上的高线.
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB的值，然后取其一半可得线段AB中点D的位置，再连接CD即可；
（2）根据勾股定理可得AB、AC、BC的值，由勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，则⊙P的圆心在线段AC的中点上，连接PD并延长，交⊙P于点M，连接CM交AB于点E，则PD为△ABC的中位线，PD∥BC，由平行线的性质可得∠DPA=∠BCA，由圆周角定理可得∠MCA=12∠DPA，则∠MCA=12∠BCA，推出CE为△ABC的角平分线；
（3）由（2）可知△ABC为直角三角形，根据等面积法可得BF的值，利用勾股定理求出AF，过点A作AN=AC=5，连接BN交AC于点F，则△ANF为直角三角形，BF即为△ABC的AC边上的高线.
8．【答案】（1）解：如图1，连接AC、HG，AC与HG交于点P，设小正方形的边长为1个单位，
∵线段AC和HG是矩形的两条对角线且交于点P，
∴AP=CP，
又∵AB=22+12=5，BC=22+12=5，
∴AB=BC，
∴BP平分∠ABC，
∴射线BP即为所作；
（2）如图2，连接AD、AB、BC、CD，直线经过点C和点D，设小正方形的边长为1个单位，
∴AB=22+12=5，AD=22+12=5，
BC=22+12=5，CD=22+12=5，
∴AB=AD=CD=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AE=DF=1，BE=AF=2，∠AEB=∠DFA=90°，
在△AEB和△DFA中，
AE=DF∠AEB=∠DFABE=AF
∴△AEB≌△DFA(SAS)，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠DAF+∠BAE=90°，
∴∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AD⊥l，BC⊥l，且AD=BC，
∴直线即为所作．
【解析】【分析】（1）连结AC，取AC的中点P，作射线BP即可；
（2）连接 AD、AB、BC、CD ，根据勾股定理可求出AD、AB、BC、CD的长并得出四边形ABCD是菱形，
在△AEB和△DFA中，AE=DF∠AEB=∠DFABE=AF从而得出 △AEB≌△DFA(SAS) ， ∠ABE=∠DAF进而得出四边形ABCD是正方形， 所以AD⊥l，BC⊥l，且AD=BC，所以 直线即为所作 。
9．【答案】（1）解：如图所示，中线AD和重心点G即为所作；
（2）解：如图所示，CE即为所作；
（3）解：如图，点O即为所作，
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到DC的中点D，连接AD即可，再作AB边上的中线，两条中线的交点即为三角形的重心；
（2）取格点M，N，连接MN交AB于点E，连接CE即可；
（3）作线段AB和线段AC的垂直平分线，两直线交于N，则N为三角形的外心，根据圆周角定理即可求解.
10．【答案】（1）解：如图1：▱ABCD即为所求；
（2）解：如图2：四边形AECF即为所求．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，作图；
（2）根据线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，作图。
11．【答案】（1）解：如图①，四边形ABCD即为所求；
（2）解：如图②，四边形ABCE即为所求；
（3）解：如图③，四边形ABCF即为所求。
【解析】【分析】（1）根据网格线的特点，利用等腰直角三角形和全等三角形作图，即可满足∠ABC+∠DAB=180°；
（2）根据网格线的特点和垂直平分线的性质，及等腰三角形的性质作图，即可满足∠ABC=∠AEC；
（3）根据网格线特点，利用等腰直角三角形和全等三角形作图，即可满足∠ABC+∠AFC=180°。
12．【答案】解：⑴如图所示：△AB1C1即为所求；
⑵如图所示：△A2B2C2即为所求；
⑶如图所示：线段BD即为所求
【解析】【分析】 ⑴ 位似比就是新图与原图的相似比； ⑵ 会进行平移作图； ⑶ 作AC的垂直平分线找到中点D，连接BD。
13．【答案】解：⑴如图，△A1B1C1即为所求作的三角形，
；
(−4，−1).
⑵如图，连接B1P， 交x轴于P，
∴B1P+PA=B1P， 则P即为所求作的点，
B1P=41
⑶存在，
M的坐标为：(2+25，0)，(2−25，0)，(−2，0)，(−3，0).
【解析】【解答】 解：⑴如图，△A1B1C1即为所求作的三角形，
；
(−4，−1).
⑵如图，连接B1P， 交x轴于P，
∴B1P+PA=B1P， 则P即为所求作的点，
B1P=41
⑶∵M在x轴上，且△MAC为等腰三角形，
而AC=22+42=25，
当CM=CA=25时，M1，M2满足条件，
此时CM1=CM2=AC=25，OM1=2+25，OM2=25−2，
∴M1(2+25，0)，M2(2−25，0)，
当AC=AM3=25时，AO⊥x轴，
∴OM3=OC=2，
∴M3(−2，0).
当M在AC的垂直平分线上时，如图， 则M4C=M4A，
设M(x，0)， 由勾股定理可得：
∴x2+42=(x−2)2，
解得：x=−3， 则M4(−3，0)，
综上：M的坐标为：(2+25，0)，(2−25，0)，(−2，0)，(−3，0).
【分析】(1) 按照要求作图即可；
(2) 连接B1P， 交x轴于P， 根据B1P+PA=B1P， 确定P点；
(3)勾股定理求出AC，当CM=CA=25时，求出M1，M2点坐标，当AC=AM3=25时，求出M3，当M在AC的垂直平分线上时，求出M4.
14．【答案】（1）解：∵四边形OABC是矩形，
∴BC//OA
∴∠OP2C=∠P2OA=30°.
由作图可知，EF是OP2的中垂线，
∴OP3=P3P2.
∴∠P3OP2=∠P3P2O=30°.
∴∠P3OA=∠P3OP2+∠P2OA=60°.
∴点P3表示60°；
由作图可知，P2D=P2O.
∴∠P2OD=∠P2DO.
又∵CB//OA，
∴∠P2DO=∠DOA.
∴∠P2OD=∠DOA=12∠P2OA=15°.
∴点P4表示15°；
（2）解：方法不唯一，如图2，如作∠P3OP4的角平分线交BC于点P5，点P5即为所求作的点，理由如下：
由（1）可知∠P4OA=15°，∠P3OA=60°，
∴∠P3OP4=∠P3OA-∠P4OA=45°，
∵OP5平分∠P3OP4，
∴∠P5OP4=22.5°，
∴∠P5OA=∠P5OP4+∠P4OA=37.5°，
∴点P5表示37.5°.
【解析】【分析】（1）由矩形的对边平行得BC∥OA，由二直线平行，内错角相等得∠OP2C=∠P2OA=30°，由作图可知，EF是OP2的中垂线，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得OP3=P3P2，由等边对等角得∠P3OP2=∠P3P2O=30°，然后根据角的和差可求出∠P3OA的度数，从而得出点P3所表示的度数；由等边对等角得∠P2OD=∠P2DO，由二直线平行，内错角相等得∠P2DO=∠DOA，从而推出∠P2OD=∠DOA，结合角的和差即可求出点P4所表示的度数；
（2）方法不唯一，如图2，如作∠P3OP4的角平分线交BC于点P5，点P5即为所求作的点，理由如下：由（1）可知∠P4OA=15°，∠P3OA=60°，进而根据角的和差及角平分线的定义可得∠P5OP4=22.5°，最后根据角的和差可得∠P5OA=37.5°，从而即可得出结论.
15．【答案】解：⑴12
⑵135°
⑶如图，点O即为所求作．
⑷如图，点G即为所求作．
【解析】【解答】解：（1）如图，
在Rt△ADC中，AD=1，CD=2，
∴tan∠FCA=DADC=12.
故答案为：12
（2）连接CI，取格点D，连接AD，BD，延长CA交格点与点J，连接DJ，
∵CN垂直平分AI，
∴AC=IC，
∴∠ACI=2∠FCA，
∴△ADB∽△CAI，
∴∠DAB=∠ACI=2∠FCA，
∵AB=AD，
∴AD是AB绕着点A顺时针旋转2∠FCA得到的，
∴△ADJ是等腰直角三角形，
∴∠DAJ=45°，
∴∠DAC=135°.
故答案为：135°
【分析】（1）在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义可求出tan∠FCA的度数.
（2）连接CI，取格点D，连接AD，BD，延长CA交格点与点J，连接DJ，利用线段垂直平分线的性质可证得AC=IC，利用等腰三角形的性质可证得∠ACI=2∠FCA，同时可得到△ADB∽△CAI，利用相似三角形的对应角相等可证得∠DAB=∠ACI=2∠FCA，因此可得到AD是AB绕着点A顺时针旋转2∠FCA得到的，可推出△ADJ是等腰直角三角形，可知∠DAJ=45°，即可求出∠DAC的度数.
（3）利用三角形的外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，据此可作出△ADC的外接圆的圆心O.
（4）取格点J，K，连接JK交格线于点D，连接DF交AD于点G，可确定出点G的位置.
16．【答案】解：所作正方形ADMN、圆心O、点P、线段AQ如图所示，
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质进行作图；
（2）作AF、BC的垂直平分线，交点即为圆心O；
（3）令AF的垂直平分线与圆的交点为P，则点P即为所求；
（4）根据旋转的性质，找出点E到点A顺时针旋转90°的对应点Q的位置，然后连接AQ即可.作法（如图）
结论
①在CB上取点P1，使CP1=4.
∠P1OA=45°，
点P1表示45°.
②以O为圆心，8为半径作弧，与BC交于点P2
∠P2OA=30°，
点P表示30°.
③分别以O，P2为圆心，大于OP2长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，连结EF与BC相交于点P3.
…
④以P2为圆心，OP2的长为半径作弧，与射线CB交于点D，连结OD交AB于点P4.
…