2024年中考数学热点探究十六 相似图形中的分类讨论练习附解析

这是一份2024年中考数学热点探究十六 相似图形中的分类讨论练习附解析，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，BC＝4cm，D为AC的中点，若动点E以1cm/s的速度从点B出发，沿B→C方向运动，设点E的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（ ）
A．0.5或2B．0.5或3.5C．2或2.5D．2或3.5
2．如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且ADAB=DEBC，则AE的长为（ ）
A．1B．2C．1或32D．1或2
3．将一张三角形彩纸ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点F，折痕为DE．已知AB=AC=6，BC=8，若以点C，D，F为顶点的三角形与△ABC相似，则BD的长是（ ）
A．127B．247C．127 或4D．247 或4
4．一个钢筋三脚架三边长分别为30cm，60cm，80cm，现在要做一个和它相似的钢筋三脚架，而只有长为40cm和90cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（ ）
A．一种B．两种
C．三种D．四种或四种以上
5．如图，在矩形ABCD中，AD=3AB=310，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN的值为（ ）
A．6或2B．3或158C．2或3D．6或158
6．如图①，在△ABC中，∠B＝108°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C→A匀速运动一周．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为v（cm），v与t的函数图象如图②所示．当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为（ ）
A．5+2或5B．5+3或6C．5+3或5D．5+2或6
7．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将△BCD沿射线BD平移a个单位长度（a>0）得到△B'C'D'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的值为（ ）
A．75或165B．2或165C．85或165D．75或3
8．如图所示，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点分别在CD，AD上滑动.若要△ABE与以点D，点M，点N为顶点的三角形相似，则DM的长为（ ）
A．55B．255C．55或255D．255或355
9．将一张▱ABCD（AD0).
（1）用含t的代数式表示线段AP的长.
（2）以PQ为边作矩形PQMN，使点M与点A在PQ所在直线的两侧，且PQ=2MQ.
①当点Q在边AD上，且点M落在CD上时，求t的值.
②当点M在矩形ABCD内部时，直接写出t的取值范围.
（3）点E在边AB上，且AE=2.在线段PQ上只存在一点F，使∠AFE=90°，直接写出t的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠B=90°-∠C，∠BAC＝90°，∠C＝60°，
∴∠B=90°-60°=30°，
∴AC=12BC=2，
∵点D是AC的中点，
∴CD=12AC=1，
∵动点E以1cm/s的速度从点B出发，沿B→C方向运动，
∴BE=t，则CE=4-t，
当△CDE∽△CAB时
CDCA=CEBC即12=4−t4，
解之：t=2；
当△CDE∽△CBA，
∴CDCB=CEAC即14=4−t2
解之：t=3.5，
∴t的值为2或3.5.
故答案为：D.
【分析】利用三角形的内角和定理可求出∠B=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AC的长，同时求出CD的长；再根据点E的运动方向和速度，可表示出BE，CE的长，再分情况讨论：当△CDE∽△CAB时；当△CDE∽△CBA时，分别可得到关于t的方程，解方程求出t的值，即可求解.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AC=2BC=4，AB=23，∠C=60°.
∵D为AB的中点，
∴AD=3.
∵ADAB=DEBC，
∴DE=1.
当∠ADE=90°时，
∵∠ADE=∠ABC，ADAB=DEBC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=ADBC=12，
∴AE=2.
当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，
∵D为AB的中点，H为AC的中点，
∴DH∥BC，DH=12BC=1，
∴∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1，
∴∠DEH=60°，
∴∠ADE=∠A=30°，
∴AE=DE=1.
综上可得：AE的长为1或2.
故答案为：D.
【分析】易得AC=2BC=4，AB=23，∠C=60°，根据中点的概念可得AD的值，结合已知条件可得DE的值，当∠ADE=90°时，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可得AE的值；当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，则DH为△ABC的中位线，DH∥BC，DH=12BC=1，由平行线的性质可得∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1，则∠ADE=∠A=30°，据此解答.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ABC沿DE折叠，B和F重叠，
∴BD=DF，
设BD=DF=m，
∵BC=8，
∴CD=8-m，
当△FDC∽△ABC时，
FDAB=DCBC，
∵AB=AC=6，
8−m8=m6
解得：m=247，
即BD=247；
当△DCF∽△ABC，
DCAB=DFAC，
∴8−m6=m6
解得：m=4，
即BD=4；
当△CFD∽△ABC时，同理可得BD=4.
故BD=247或4.
故答案为：D.
【分析】先根据折叠性质得到BD=DF，设BD=m，则CD=8-m，两个三角形相似，分三种情况，根据相似三角形对应边成比例的性质可得到关于m的方程，解方程即可得BD的长.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：由相似三角形对应边成比例得，只能将40cm长的作为一边，将90cm长的截成两段，设从90cm的钢筋上载下的两段分别长xcm，ycm，
当40cm长的边对应30cm长的边时，
3040=60x=80y，解得：x=80，y=10623，
此时x+y>90，
所以此截法不可行；
当40cm长的边对应60cm长的边时，
30x=6040=80y，解得：x=20，y=5313，
此时x+y