备考2024年中考数学核心素养专题一0二 几何图形的最值问题练习附解析

这是一份备考2024年中考数学核心素养专题一0二 几何图形的最值问题练习附解析，共65页。试卷主要包含了选择题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上，∠ABC=120°，点A(−3，0)，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（ ）
A．3B．5C．22D．323
2．如图，在△ACD中，AD=6，BC=5，AC2=AB(AB+BC)，且△DAB∼△DCA，若AD=3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（ ）
A．72B．62C．52D．85
3．如图，AB为⊙O的直径，AB=10，点C是AB上方半圆上的一点，点D是AB下方半圆上的点．连接AC，BC，AD，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E．若AD＝52，则当下列哪种情况时，AC•CE取得最大值. （ ）
A．CD取最大值时B．AC⊥AD时
C．CD⊥DE时D．OC⊥AB时
4．如图，▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝12BD，连接AE，CF，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（ ）
A．等于定值5-2B．有最大值121313
C．有最小值121313D．有最小值13
5．如图，AB为⊙O的直径，AB＝8，点C为半圆AB上一动点，以BC为边向⊙O外作正ΔBCD（点D在直线AB的上方），连接OD，则线段OD的（ ）
A．随点C的运动而变化，最小值为43
B．随点C的运动而变化，最大值为8
C．随点C的运动而变化，最大值为83
D．随点C的运动而变化，但无最值
6．设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（ ）
A．有最大值 94 πB．有最小值 94 π
C．有最大值 92 πD．有最小值 92 π
7．如图，在扇形AOB中，∠AOB=60°，OD平分∠AOB交AB于点D，点C是半径OB上一动点，若OA=1，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A．2+π6B．2+π3C．22+π6D．22+π3
8．如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB=4，则下列结论错误的是（ ）
A．PA+PB的最小值为33B．PE+PF的最小值为23
C．△CDE周长的最小值为6D．四边形ABCD面积的最小值为33
9．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A．6B．2 2C．2 3D．3 2
10．如图，分别经过原点O和点A(4，0)的动直线a，b夹角∠OBA=30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（ ）
A．3+66B．32C．63D．56
二、填空题
11． 如图，在平面直角坐标系中 A(3，0)，B(0，4)，AB=5，P 是线段 AB 上的一个动点，则 OP 的最小值是 ．
12．如图所示的图案绕中心旋转n°后能与原来的图案完全重合，则n的最小值为
13．如图，点C为线段 AB 的中点，E为直线 AB 上方的一点，且满足 CE=CB ，连接 AE ，以 AE 为腰，A为直角顶点作等腰 Rt△ADE ，连接 CD ，当 CD 最大，且最大值为 2+1 时，则 AB .
14．如图，AB是⊙O直径，点C是⊙O上一点，OC=1且∠BOC=60°，点D是BC的中点，点P是直径AB上一动点，则CP+DP的最小值为 ．
15．如图，∠MON＝45°，一直角三角尺△ABC的两个顶点C、A分别在OM，ON上移动，若AC＝6，则点O到AC距离的最大值为 .
16．三角形的两条边长分别为4和22，若第三条边长为整数，则第三条边长的最大值为 ．
17．平面直角坐标系中，已知点P(m，3n2−9)，且实数m，n满足m−n2+4=0，则点P到原点O的距离的最小值为 .
18．如图，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=90°，D为边AB上一点，将CD绕点C顺时针旋转45°得到CE，连接AE，则AE长度的最小值为 .
19．如图，抛物线y=14x2−4与x轴交于A，B两点，P是以点C(0，3)为圆心，2cm为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是 .
20．已知线段AB=10，M、N为直线AB上任意两点，将线段AM、BN分别沿着点M和N折叠，使得A的对应点为A'，B的对应点为B'，若A'B'=2，则AM−BN的最大值和最小值的差为 .
21．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段AB的中点．点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DE＝AB＝10．以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，则线段MG长度的最大值为 ．
22．如图，在矩形ABCD中，AB=4，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°．点E是AO的中点，若点F是对角线BD上一点，则EF+32DF的最小值是 ．
23．等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，点D是平面内一点，AD=1，连接BD，将BD绕D点逆时针旋转90°得到DE，连接AE，当∠DAB= （填度数）度时，AE可以取最大值，最大值等于 ．
三、综合题
24．在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6，P为对角线BD上一个动点，求PM﹣PN的最大值.
25．如图
[感知]如图①，以△ABC的边AB、AC为直角边，A为直角顶点，向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，连结BE、CD，易知△ADC≌△ABE．(不要求证明)
[探究]如图②，在△ABC中，已知∠ACB=135°，∠BAD=90°，BC=1，AC=2，AB=AD，求CD的长．
[应用]如图③，在△ABC中，BC=2，AC=1．以△ABC的边AB为直角边，A为直角顶点，向外作等腰直角△ABD，则线段CD长度的最大值是 ▲
26．对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”．
已知点N（3，0），A（1，0），B(0，3)，C(3，−1)．
（1）①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是 ；
②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围；
（2）以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．
27．对于平面直角坐标系中的两个图形K1和K2，给出如下定义：点G为图形K1上任意一点，点H为K2图形上任意一点，如果G，H两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形K1和K2的“近距离”。如图1，已知△ABC，A（-1，-8），B（9，2），C（-1，2），边长为2的正方形PQMN，对角线NQ平行于x轴或落在x轴上.
（1）填空：
①原点O与线段BC的“近距离”为 ；
②如图1，正方形PQMN在△ABC内，中心O’坐标为（m，0），若正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，则m的取值范围为 ；
（2）已知抛物线C：y=−14x2+3x−a，且-1≤x≤9，若抛物线C与△ABC的“近距离”为1，求a的值；
（3）如图2，已知点D为线段AB上一点，且D（5，-2），将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°0 时，若 a12a22+⋅⋅⋅+an2=m2 ，则 a1+a2+⋅⋅⋅+an 与 m 之间的数量关系是 ．
（4）小明家住 15 楼一天，他要把一根 3 米长的竹竿放入电梯带回家中，如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是 米．
（5）公园准备修建一个四边形水池，边长分别为 a 米， b 米， c 米， d 米，分别以水池四边为边向外建四个正方形花园，若花园面积和为 900 平方米，则水池的最大周长为 米．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】如图：连接BE，
，
∵菱形ABCD，
∴B、D关于直线AC对称，
∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，
∵菱形ABCD，∠ABC=120°，点A(−3，0)，
∴∠CDB=60°，∠DAO=30°，OA=3，
∴OD=3，AD=DC=CB=23
∴△CDB是等边三角形
∴BD=23
∵点E是CD的中点，
∴DE=12CD=3，且BE⊥CD，
∴BE=BD2−DE2=3
故答案为：A．
【分析】连接BE，根据题意可得，B、D关于直线AC对称，直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小，根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值，根据菱形的性质求出BE的长即可。
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ΔDAB∼ΔDCA，
∴ADBD=CDAD，
∴6BD=5+BD6，
解得：BD=4（负值舍去），
∵ΔDAB∼ΔDCA，
∴ACAB=CDAD=96=32，
∴AC=32AB，
∵AC2=AB(AB+BC)，
∴(32AB)2=AB(AB+BC)，
∴AB=4，
∴AB=BD=4，
过B作BH⊥AD于H，
∴AH=12AD=3，
∴BH=AB2−AH2=42−32=7，
∵AD=3AP，AD=6，
∴AP=2，
当PQ⊥AB时，PQ的值最小，
∵∠AQP=∠AHB=90°，∠PAQ=∠BAH
∴ΔAPQ∼ΔABH，
∴APAB=PQBH，
∴24=PQ7，
∴PQ=72
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可得BD、AC，由AC2=AB(AB+BC)可得AB，过B作BH⊥AD于H，由等腰三角形的性质可得AH=12AD，利用勾股定理可得BH，由AD=3AP可得AP的值，由垂线段最短的性质可得当PQ⊥AB时， PQ的值最小，证明△APQ∽△ABH，然后根据相似三角形的性质可得PQ.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：连接BD，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝10，AD＝52
∴BD＝52
∴AD＝BD，
∴弧AD=弧BD，
∴∠ACD＝∠DCB，
∵DE∥AB，
∴∠CBA＝∠E，
∵∠CBA＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠E，
∴△ACD∽△DCE，
∴AC∶CD＝CD∶CE，
∴AC•CE＝CD2，
∴当CD最大时，AC•CE有最大值，
故答案为：A.
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据勾股定理算出BD的长，可得AD=BD，根据同圆中等弦所对的劣弧相等得弧AD=弧BD，进而根据等弧所对的圆周角相等得∠ACD＝∠DCB，再根据同弧所对的圆周角相等得∠CBA＝∠ADC，根据平行线的性质得∠CBA＝∠E，故∠ADC＝∠E，证明△ACD∽△DCE，从而得到AC•CE＝CD2，再由CD的最大决定AC•CE的最大即可求解．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：记AC交BD于点O，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵EF=12BD，
∴OB=EF=OD，
∴BE=OF，OE=DF，
∵AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，
∴AC=4，
∴OA=2，
∴OB=AB2+OA2=13，
当BE=OE时， AE+CF 的值最小，E为OB中点，
∴AE=12OB，
同理：CF=12OD，
∴AE+CF=OB=13，
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质得：OB=OD，OA=OC，结合已知条件得到：BE=OF，OE=DF，然后根据勾股定理求出AC的长，根据当BE=OE时， AE+CF 的值最小，即可求解.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：连接OC，
∵△CBD是等边三角形，
∴∠BDC=60°，CD=BD，
在△OCD和△OBD中，
OC=OBOD=ODCD=BD
∴△OCD≌△OBD（SSS）
∴∠BDO=∠CDO=12∠CDB=30°，
过点O作OF⊥BD于点F，
∴OD=2OF，
要使OD的值最大，则OF的值最大，
∴当点F和点B重合时，此时OF的值最大，
∴OF=OB=4，
∴OD=4×2=8.
故答案为：B
【分析】连接OC，利用等边三角形的性质，可证得∠BDC=60°，CD=BD，利用SSS证明△OCD≌△OBD，利用全等三角形的性质可证得∠BDO=∠CDO=30°；过点O作OF⊥BD于点F，可知OD=2OF，要使OD的值最大，则OF的值最大，可得到当点F和点B重合时，此时OF的值最大，可求出OD的长.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵2r+l＝6，
∴l＝6﹣2r，
∴圆锥的侧面积S侧＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣ 32 )2﹣ 94 ]＝﹣2π(r﹣ 32 )2+ 92 π，
∴当r＝ 32 时，S侧有最大值 92π .
故答案为：C.
【分析】先把l用含r的代数式表示，代入圆锥的侧面积公式，得出一个关于S侧和r的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求圆锥侧面积的最值即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：作点D关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C，此时阴影部分的周长最小.
∵扇形AOB中，∠AOB=60°，OD平分∠AOB，
∴∠AOD=∠BOD=30°.
由轴对称的性质可得∠EOB=∠BOD=30°，OE=OD，
∴∠AOE=90°，
∴△AOE为等腰直角三角形.
∵OA=1，
∴AE=2，弧AD=30π×1180=π6，
∴阴影部分周长的最小值为2+π6.
故答案为：A.
【分析】作点D关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C，此时阴影部分的周长最小，由角平分线的概念可得∠AOD=∠BOD=30°，由轴对称的性质可得∠EOB=∠BOD=30°，OE=OD，进而推出△AOE为等腰直角三角形，然后根据阴影部分的周长=AE+弧AD的长进行计算.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：如图1所示，延长AD、BE相交于点M，∵△ADE和△BCE都是等边三角形，∴∠DAE=∠CBE=60°，∴△MAB是等边三角形。
A、过点P作直线l∥AB，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'，BA'与直线l相较于点p，此时PA+PB的长度最小，且PA+PA=PA'+PB=A'B，又∠DEA=∠MBA=60°，∠DAE=∠CEB=60°，∴DE∥MB，CE∥MA，∴四边形DECM是平行四边形，所以点P既是CD的中点，又是ME的中点，又∵点E在AB上移动，∴点P在直线l上移动，所以点M到l的距离等于点P到AB的距离，又知AB=4，∴等边三角形ABC的高为23，所以M到l的距离=点P到AB的距离=3，又A和A'关于l对称，∴AA'=23，且∠A'AB=90°，∴A'B=AA'2+AB2=232+42=27，所以PA+PB的最小值为33不正确，A符合题意；
B、因为四边形DECM是平行四边形，∴PE=PM，∴PE+PF=PM+PF，所以当MPE三点在同一直线上时，PM+PF的值最小，因为点F是AB的中点，∴此时最小值为等边△MAB的高。即PM+PF的值最小为23，∴PE+PF的最小值为23正确，所以B不符合题意；
C、如图2所示，分别过点D、C作AB的垂线，垂足分别为点K、T，∵△ADE和△BCE都是等边三角形KE=12AE，TE=12BE，∴KE+TE=12AE+BE=12×AB=12×4=2，∴CD≥2，∵CD+DE+CE=CD+AE+BE，∴CD+DE+CE≥2+4，即△CDE的周长≥6，∴△CDE的周长的最小值为6正确，所以C不符合题意；
D、如图2所示，设AE=2a，则BE=4-2a，∴KE=a，TE=2-a，DK=3a，CT=（2−a）3，∴四边形ABCD的面积为：S△ADK+S△CBK+S梯形DKTC=12×a×3a+12×（2−a）×（2−a）3+123a+(2−a)3）×2=3a−12+33，∴当a=1时，四边形ABCD的面积最小，最小值为33，所以D正确，不符合题意。
故答案为：A。
图1 图2
【分析】A、如图1，根据轴对称的性质，可得PA+PB的最小值为A'B的长度，根据勾股定理即可；
B、如图1，根据两点之间，线段最短，可知当M、P、F三点共线时，PE+PF的值最小，此时的最小值就是等边△MAB的高；
C、如图2，△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+AE+BE=CD+4，所以当CD取最小值时，周长最小，当CD垂直CT时，CD最小，此时CD=KT=2，可求得周长的最小值；
D、设设AE=2a，根据四边形ABCD的面积为=S△ADK+S△CBK+S梯形DKTC，从而得到四边形ABCD的面积关于a的二次函数关系式，根据二次函数的最小值，求得四边形ABCD的面积的最小值。
根据计算结果，判断正确与错误，选出正确选项即可。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝ 3 ，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝ AH2+CH2=(3)2+(3)2=6 ，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
∠BFD=∠CKD=90°∠BDF=∠CDKBD=CD ，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为 6 ，
综上所述，AE+BF的最大值为 6 .
故答案为：A.
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：作△KOA为等边三角形，取D（8，0），则AM为△OBD的中位线，
∴OB∥AM，OB=12AM，OK=OA=AK=4，AD=4，OD=8，
∴∠OKD=90°，sin∠OAM=sin∠ODB，
∵OA=4，∠OBA=30°，
∴点B位于以k为圆心的圆上，
∴KB=OK=4，
∴当BD与圆K相切时，sin∠OAM=sin∠ODB最大，
∴此时∠KBD=90°，
连接OK并延长与BD的延长线交于点N，过点N作NG⊥OD于点G，
由勾股定理得DK=82−42=43，BD=42，
∵∠KBD=∠KBN=90°，∠OKD=∠DKN=90°，
∴∠BKD＋∠NKB=90°，∠BKN+∠KNB=90°，
∴∠KNB=∠BKD，
∴△NKB∽△BKD，
∴KNKD=442，
∴KN=26，
由勾股定理得BN=22，
∴8NG=4+26×43（等面积法），
∴NG=23+32，
∴sin∠OAM=3+66
故答案为：A
【分析】作△KOA为等边三角形，取D（8，0），则AM为△OBD的中位线，根据中位线的性质和等边三角形的性质即可得到OB∥AM，OB=12AM，OK=OA=AK=4，AD=4，OD=8，根据直角三角形斜边上的中线的性质结合平行线的性质即可得到∠OKD=90°，sin∠OAM=sin∠ODB，再结合题意即可判断点B位于以k为圆心的圆上，且当BD与圆K相切时，sin∠OAM=sin∠ODB最大，连接OK并延长与BD的延长线交于点N，过点N作NG⊥OD于点G，先根据勾股定理即可得到DK和BD的长，接着运用相似三角形的判定与性质证明△NKB∽△BKD，进而即可得到KN的长，再运用勾股定理即可得到BN的长，进而运用三角形的等面积法即可得到NG的长，最后根据锐角三角形函数的定义即可求解。
11．【答案】125
【解析】【解答】解：∵A(3，0)，B(0，4)，
∴OA=3，OB=4，OA⊥OB，
∴△AOB的面积=12×3×4=6，
而当OP⊥AB时，OP的值最小，
∴12×5×OP=6，
∴OP=125，
即OP的最小值为125，
故答案为：125.
【分析】由OP垂直AB时，OP的值最小，进而根据等面积法，即可求解．
12．【答案】45
【解析】【解答】解：∵如图所示的图案连接各点后是正八边形，且绕中心旋转n°后能与原来的图案完全重合
∴ n=360°÷8=45°，
∴ n是45°的倍数
∴ n的最小值为45°
故答案为：45°.
【分析】本题考查旋转对称图形：在平面内，把一个图形绕某一定点旋转一定的角度能与自身重合的图形。正八边形的一边对应的角度为n=360°÷8=45°，则只需旋转角为45° 的倍数都可使旋转前后的图形重合。
13．【答案】2
【解析】【解答】解：如图1中，将线段CA绕点A逆时针旋转90°得到线段AH，连接CH，DC.
∵∠DAE＝∠HAC＝90°，
∴∠DAH＝∠EAC，
∵DA＝EA，HA＝CA，
∴△DAH≌△EAC（SAS），
∴DH＝CE，
∵CD≤DH＋CH，
∴当D，C，H共线时，DC最大值= 2+1 ，如图2中，
设AC=x，则BC=CE=DH=x，CH= 2x ，
∴2x +x= 2+1 ，解得：x=1，
∴AB=2AC=2.
故答案为：2.
【分析】将线段CA绕点A逆时针旋转90°得到线段AH，连接CH，DC，易证△DAH≌△EAC，得到DH＝CE，推出当D，C，H共线时，DC取得最大值，设AC=x，则BC=CE=DH=x，CH= 2x，据此求解.
14．【答案】2
【解析】【解答】解：作点D关于AB的对称点D'，连接OD，OD'，CD'，PD'，DD'
可知CP+DP=CP+D'P，根据“两点之间线段最短”可得当C，P，D'三点共线时，CP+D'P最小，即为CD'
∵点C在⊙O上，∠BOC=60°，点D是BC的中点
∴∠DOB=12∠BOC=30°
∵点D关于AB的对称点D'
∴BD⌢=BD'⌢
∴∠BOD'=∠BOD=30°
∴∠COD'=90°
∵OC=OD'=1
∴CD'=OC2+OD'2=2
故答案为：2
【分析】作点D关于AB的对称点D'，连接OD，OD'，CD'，PD'，DD'，可知CP+DP=CP+D'P，根据“两点之间线段最短”可得当C，P，D'三点共线时，CP+D'P最小，即为CD'，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，勾股定理即可求出答案.
15．【答案】3 2 +3
【解析】【解答】解：如图，作△AOC的外接圆⊙P，过点P作PQ⊥AC与Q，延长QP⊙P于O'，连接PA、PC.
当点O在圆周上运动到点O'，即点O与O'重合时，点O到AC距离最大.
∵∠MON＝45°，
∴∠CO'A＝45°，
∴∠CPA＝90°，
∵PQ⊥AC，
∴QA＝QC＝ 12 AC＝3，
∴PQ＝ 12 AC＝3，
PA＝ 2 QA＝3 2 ，
OP＝AP＝3 2 ，
∴O'Q＝OP+PQ＝3 2 +3.
故答案为：3 2 +3.
【分析】作△AOC的外接圆⊙P，过点P作PQ⊥AC与Q，延长QP⊙P于O'，连接PA、PC；由题意知：当点O在圆周上运动到点O'，即点O与O'重合时，点O到AC距离最大。根据O'Q＝OP+PQ可求解.
16．【答案】8
【解析】【解答】解：设第三边长为x，
∵三角形的两条边长分别为4和22，
∴22−4