2024届安徽省合肥市高三下学期第一次教学质量检测数学试题

这是一份2024届安徽省合肥市高三下学期第一次教学质量检测数学试题，共14页。试卷主要包含了已知函数的定义域为，且，记，则，函数的图象可能是等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分：150分）
姓名__________座位号__________
注意事项：
1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A.144 B.120 C.100 D.80
3.已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ）

4.双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.在中，内角的对边分别为，若，且，则（ ）
A.1 B. C. D.2
6.已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
7.已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且，记，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.现有甲､乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分100分）.设事件表示从甲机构测评分数中任取3个，至多1个超过平均分”，事件表示“从甲机构测评分数中任取3个，恰有2个超过平均分”.下列说法正确的是（ ）
A.甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分
B.甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差
C.乙机构测评分数的第一四分位数为91.5
D.事件互为对立事件
10.函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知椭圆的左､右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（ ）
A.存在点，使
B.
C.的最小值为
D.周长的最大值为8
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合，若，则的取值范围是__________.
13.已知函数的一条对称轴为，当时，的最小值为，则的最大值为__________.
14.已知点，定义为的“镜像距离”.若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
己知函数，当时，有极大值.
求实数的值；
当时，证明：.
16.（15分）
如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点.
证明：平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值.
17.（15分）
2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园､26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车､骑自行车和步行三种方式游园.
若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为，求的分布列及数学期望；
（2）为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表：
用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率.
18.（17分）
已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点.
求证：；
设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值.
19.（17分）
“-数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设是非零实数，对任意，定义“-数”
利用“-数”可定义“-阶乘”
和“-组合数”，即对任意，
计算：；
（2）证明：对于任意，
（3）证明：对于任意，
2024年合肥市高三第一次教学质量检测
数学试题参考答案及评分标准
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.A 2.B 3.D 4.B 5.A 6.C 7.D 8.A
二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9.BD 10.ABD 11.BCD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.
四､解答题：本题共5小题，共77分.
15.（13分）
解：函数的定义域为，且，
（1）因为时，有极大值，
所以，解得，
经检验，当时，在时有极大值，
所以；
（2）由（1）知，，
当时，要证，即证，即证：.
设，则，
因为，所以，
所以在上单调递增，
所以，即，即，
故当时，
16.（15分）
解：（1）连接.
因为，且，
又分别是棱的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面，
因为，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面.
（2）四边形均为正方形，所以.
所以平面.
因为，
所以平面.
从而.
又，
所以为等边三角形.
因为是棱的中点，
所以.
即两两垂直.
以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，
所以.
设为平面的法向量，
则，即，可取.
因为，所以.
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角正弦值为.
注：其它解法酌情给分.
17.（15分）
解：（1）由题意知：所有可能取值为，且
所以的分布列为：
所以的数学期望为：.
（2）记事件为“游客乙乘坐观光车游园”，事件为“游客乙骑自行车游园”，事件为“游客乙步行游园”，事件为“游园结束时，乙能参观完所有展园”，
则.
.
由全概率公式，得
.
所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为0.4
18.（17分）
解：（1）因为抛物线的焦点为，
所以，即的方程为：.
设点，由题意可设，
由得，
所以.
由，得，
所以，即.
令，得，即，
同理，，且，
所以.
由，得，即.
所以.
故.
（2）设点，结合（1）知，，即
因为，
所以.
同理，，
所以.
又，
所以.
当且仅当时，等号成立.即直线斜率为0时，取最小值...
注：其它解法酶情给分.
19.（17分）
解：（1）由定义可知，
.
（2）因为，
.
又.
所以
（3）由定义得：对任意.结合（2）可知
.
即，也即.
所以
，
，
……
.
上述个等式两边分别相加得：
.
注：其它解法酌情给分机构名称
甲
乙
分值
90
98
90
92
95
93
95
92
91
94
游园方式
游园结果
观光车
自行车
步行
参观完所有展园
80
80
40
未参观完所有展园
20
120
160
0
1
2