第八章　§8.２　第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计作业练习

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§8.2　一元线性回归模型及其应用第1课时　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计1．A　[用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．]2．C　[依题意eq \x\to(x)＝eq \f(1,5)×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，eq \x\to(y)＝eq \f(1,5)×(9＋a＋17＋b＋27)＝eq \f(53＋a＋b,5)，又经验回归方程eq \o(y,\s\up6(^))＝4.5x＋3.7过点(eq \x\to(x)，eq \x\to(y))，所以eq \f(53＋a＋b,5)＝4.5×3＋3.7，解得a＋b＝33.]3．C　[由eq \i\su(i＝1,20,x)i＝400，得eq \x\to(x)＝eq \f(400,20)＝20；由eq \i\su(i＝1,20,y)i＝1 580，得eq \x\to(y)＝eq \f(1 580,20)＝79，故点(20,79)在经验回归直线上，即79＝20eq \o(b,\s\up6(^))－1，得eq \o(b,\s\up6(^))＝4，即eq \o(y,\s\up6(^))＝4x－1，当x＝26时，代入计算得eq \o(y,\s\up6(^))＝103.]4．B　[由题意，样本(4,3)处的残差为－0.15，所以3.15＝0.7×4＋eq \o(a,\s\up6(^))，所以eq \o(a,\s\up6(^))＝0.35，由经验回归直线eq \o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35过点(eq \x\to(x)，eq \x\to(y))，且eq \x\to(x)＝eq \f(1,4)×(3＋4＋5＋6)＝4.5，可得eq \x\to(y)＝0.7×4.5＋0.35＝3.5，由eq \x\to(y)＝eq \f(1,4)×(2.5＋3＋4＋m)＝3.5，解得m＝4.5.]5．ABD　[eq \x\to(x)＝eq \f(4＋5＋6＋7＋8＋9,6)＝6.5，eq \x\to(y)＝eq \f(90＋84＋83＋80＋75＋68,6)＝80，故A正确；将(6.5,80)代入经验回归方程得eq \o(a,\s\up6(^))＝106，故经验回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝－4x＋106，由于经验回归方程的斜率为－4，故B正确，C错误；根据经验回归方程可以预测，当单价为10元时，销量为－40＋106＝66(件)，故D正确．]6．AD　[对于A，eq \x\to(x)＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq \x\to(y)＝eq \f(238＋290＋341＋377＋457,5)＝340.6，因为经验回归直线eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋183.1过点(eq \x\to(x)，eq \x\to(y))，所以340.6＝3eq \o(b,\s\up6(^))＋183.1，解得eq \o(b,\s\up6(^))＝52.5，故A正确；对于B，因为52.5×4＋183.1＝393.1≠377，所以经验回归直线eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋183.1不经过点(4,377)，故B错误；对于C，由A选项知，经验回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝52.5x＋183.1，所以每年研究生报考人数约增加52.5万人，故C错误；对于D，令x＝7，则eq \o(y,\s\up6(^))＝52.5×7＋183.1＝550.6，故预测2024年研究生报考人数为550.6万人，故D正确．]7．1解析　因为eq \x\to(x)＝eq \f(0＋1＋3＋4,4)＝2，eq \x\to(y)＝eq \f(0.9＋1.9＋3.2＋4.4,4)＝2.6，所以2.6＝0.8×2＋eq \o(a,\s\up6(^))，所以eq \o(a,\s\up6(^))＝1.8.eq \o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋4解析　由题意得，eq \x\to(x)＝eq \f(1＋2＋3＋4,4)＝2.5，eq \x\to(y)＝eq \f(5＋6＋6.5＋8,4)＝6.375，因为经验回归方程过(2.5,6.375)，(12,15.4)两点，所以设y关于x的经验回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(6.375＝2.5\o(b,\s\up6(^))＋\o(a,\s\up6(^))，,15.4＝12\o(b,\s\up6(^))＋\o(a,\s\up6(^))，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝0.95，,\o(a,\s\up6(^))＝4，))所以y关于x的经验回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋4.9．解　(1)由题意知n＝10，eq \x\to(x)＝eq \f(1,10)eq \i\su(i＝1,10,x)i＝eq \f(80,10)＝8，eq \x\to(y)＝eq \f(1,10)eq \i\su(i＝1,10,y)i＝eq \f(20,10)＝2，又eq \i\su(i＝1,10,x)eq \o\al(2,i)－10eq \x\to(x)2＝720－10×82＝80，eq \i\su(i＝1,10,x)iyi－10eq \x\to(x) eq \x\to(y)＝184－10×8×2＝24，则eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(24,80)＝0.3，eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \x\to(y)－eq \o(b,\s\up6(^))eq \x\to(x)＝2－0.3×8＝－0.4，故所求经验回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝0.3x－0.4.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(eq \o(b,\s\up6(^))＝0.3＞0)，故x与y之间是正相关．(3)将x＝7代入经验回归方程可以预测该家庭的月储蓄为eq \o(y,\s\up6(^))＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．10．解　(1)经计算eq \x\to(x)＝5，eq \x\to(y)＝0.48，由0.48＝5eq \o(b,\s\up6(^))＋0.88，可得eq \o(b,\s\up6(^))＝－0.08，当x＝8时，eq \o(y,\s\up6(^))＝－0.08×8＋0.88＝0.24(吨)，所以当浇灌海水浓度为8‰时，该品种的亩产量约为0.24吨．(2)①由(1)知eq \o(y,\s\up6(^))＝－0.08x＋0.88，从而有②R2＝1－eq \f(0.000 4＋0.000 4＋0.000 1＋0＋0.000 1,0.142＋0.12＋0.012＋－0.082＋－0.172)＝1－eq \f(0.001,0.065)＝eq \f(64,65)≈0.98，所以亩产量的变化有98%是由海水浓度引起的．11．C　[由散点图知，去掉离群点D后，x与y的线性相关程度变强，且为正相关，所以样本相关系数r的值变大，故A正确；决定系数R2的值变大，残差平方和变小，故B正确，C错误；解释变量x与响应变量y的相关性变强，故D正确．]12．D　[对于A，因为eq \x\to(x)＝eq \f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，将eq \x\to(x)＝4代入eq \o(y,\s\up6(^))＝6.3x＋6.8，故eq \x\to(y)＝6.3×4＋6.8＝32，∴★＝32×5－(19＋25＋40＋44)＝32，故A错误；对于B，经验回归方程中6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗平均增加6.3吨，故B错误；对于C，当x＝8时，eq \o(y,\s\up6(^))＝6.3×8＋6.8＝57.2(吨)，故C错误；对于D，因为eq \x\to(x)＝4，eq \x\to(y)＝32，故eq \o(y,\s\up6(^))＝6.3x＋6.8必经过点(4,32)，故D正确．]13．C　[eq \x\to(x)＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5＋6,6)＝eq \f(7,2)，eq \x\to(y)＝eq \f(0＋2＋1＋3＋3＋4,6)＝eq \f(13,6)，eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,6,x)iyi－6\x\to(x) \x\to(y),\i\su(i＝1,6,x)\o\al(2,i)－6\x\to(x)2)＝eq \f(5,7)，eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \x\to(y)－eq \o(b,\s\up6(^))eq \x\to(x)＝－eq \f(1,3)，eq \o(b,\s\up6(^))′＝eq \f(2－0,2－1)＝2＞eq \o(b,\s\up6(^))，eq \o(a,\s\up6(^))′＝－2＜eq \o(a,\s\up6(^)).]14．54.5解析　eq \x\to(x)＝eq \f(1,10)eq \i\su(i＝1,10,x)i＝160，eq \x\to(y)＝eq \f(1,10)eq \i\su(i＝1,10,y)i＝46，故46＝0.85×160＋eq \o(a,\s\up6(^))，解得eq \o(a,\s\up6(^))＝－90，故经验回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝0.85x－90，则当x＝170时，eq \o(y,\s\up6(^))＝0.85×170－90＝54.5(kg)．15．BD　[当m＝6时，eq \x\to(x)＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq \x\to(y)＝eq \f(10＋6＋6＋n＋2,5)＝6，解得n＝6，则eq \i\su(i＝1,5,x)iyi＝1×10＋2×6＋3×6＋4×6＋5×2＝74，eq \i\su(i＝1,5,x)eq \o\al(2,i)＝12＋22＋32＋42＋52＝55，eq \x\to(x) eq \x\to(y)＝18，eq \i\su(i＝1,5, )(xi－eq \x\to(x))(yi－eq \x\to(y))＝(1－3)×(10－6)＋(2－3)×(6－6)＋(3－3)×(6－6)＋(4－3)×(6－6)＋(5－3)×(2－6)＝－16，eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \x\to(x))2(yi－eq \x\to(y))2＝(1－3)2×(10－6)2＋(2－3)2×(6－6)2＋(3－3)2×(6－6)2＋(4－3)2×(6－6)2＋(5－3)2×(2－6)2＝128，所以eq \o(b,\s\up6(^))1＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x) \x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n \x\to(x)2)＝eq \f(74－5×18,55－5×32)＝－eq \f(8,5)，得eq \o(a,\s\up6(^))1＝eq \x\to(y)－eq \o(b,\s\up6(^))1eq \x\to(x)＝eq \f(54,5)，r1＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\to(x)2yi－\x\to(y)2))＝eq \f(－16,\r(128))＝－eq \r(2)，seq \o\al(2,1)＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(yi－eq \x\to(y))2＝eq \f(10－62＋6－62＋6－62＋6－62＋2－62,5)＝eq \f(32,5)；同理，当m＝8时，eq \o(b,\s\up6(^))2＝－2，eq \o(a,\s\up6(^))2＝12，r2＝－eq \f(5\r(34),17)，seq \o\al(2,2)＝8，所以r1>r2，seq \o\al(2,1)eq \o(b,\s\up6(^))2，eq \o(a,\s\up6(^))1Req \o\al(2,0)，所以eq \o(y,\s\up6(^))＝3.2x－151.8的拟合效果更好．(3)由(1)可知，第八组数据的利润应为116万元，此时eq \i\su(i＝1,8,x)iyi＝78 880－86.5×16＝77 496，又eq \i\su(i＝1,8,x)eq \o\al(2,i)＝56 528，eq \x\to(x)＝84，eq \x\to(y)＝117－eq \f(16,8)＝115，所以eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,8,x)iyi－8\x\to(x) \x\to(y),\i\su(i＝1,8,x)\o\al(2,i)－8\x\to(x)2)＝eq \f(77 496－8×84×115,56 528－8×842)＝2.7，所以eq \o(a,\s\up6(^))＝115－2.7×84＝－111.8，所以新的经验回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝2.7x－111.8.海水浓度xi(‰) 34567亩产量yi(吨)0.620.580.490.40.31残差eq \o(ei,\s\up6(^)) －0.020.020.010－0.01