2024年安徽省滁州市天长市九年级中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题(本大题共10 小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出 A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义，即可求解，
本题考查了相反数的定义，熟记“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题关键．
【详解】解：的相反数是2024，
故选：．
2. 据报道，2023年合肥市全年生产总值(GDP)约为12700亿元，将12700亿用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
【详解】∵亿，
故选：B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项法则判定A；根据同底数幂相乘运算法则计算并判定B；根据完全平方公式计算并判定C；根据幂的乘方法则计算并判定D．
【详解】解：A、，没有同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B、，故此选项计算错误，不符合题意；
C、，故此选项计算错误，不符合题意；
D、，故此选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂相乘，完全平方公式，幂乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4. 如图，下列说法错误的是（ ）

A. 图②与图③的主视图形状不同B. 图①与图③的俯视图形状相同
C. 图②与图③的左视图形状相同D. 图②、图③各自的三视图相同
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了几何体三视图，对各几何体三视图分别作出判断再比较解答即可．
【详解】解：A、图②的主视图为矩形，图③的主视图为圆形，图②与图③的主视图形状不同正确，不符合题意；
B、图①与图③的俯视图都为圆形，图①与图③的俯视图形状相同，正确，不符合题意；
C、图②的左视图为正方形，图③的左视图为圆形，图②与图③的左视图形状不相同，原说法错误，符合题意；
D、图②的三视图都为正方形、图③的三视图都为圆形，图②、图③各自的三视图相同，正确，不符合题意，
故选：C．
5. 已知正整数m、n满足：，，则的值为（ ）
A. 4B. 8C. 9D. 27
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据，，即可得，，问题随之得解．
【详解】∵，，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴，
故选：B．
6. 已知点在反比例函数 的图象上，点在正比例函数的图象上，则下列式子成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数、正比例图象上点的坐标特征，将点A，点B坐标代入相对应的解析式即可求解．
【详解】解：∵点在反比例函数 的图象上，
∴，即，且，
∵点在正比例函数的图象上，
∴，
∴．
∴．
故选：A．
7. 如图，在中，点， 分别在边 和 上，，连接交对角线于点，若点是的四等分点()，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行四边形性质，相似三角形的判定与性质，由四边形是平行四边形得，从而求证，再根据相似三角形的性质得，又点是的四等分点则，，再证明即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵点是的四等分点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
8. 甲乙两位同学相约去国际会展中心参观，会展中心共有东南西北四个大门，他们分别从东西两个大门进去，参观后，他们各自从其它三个大门选择一个出来，则他们从同一个大门出来的概率是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：不妨设三个大门分别为A，B，C，
根据题意列表如下：
由表可知，共有9种等可能结果，其中他们从同一个大门出来的结果有3种，
则他们从同一个大门出来的概率是，
故选：B．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．
9. 已知实数a，b，c，其中且满足，，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键；由题意易得，然后代入可进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，即，
∴；故A正确；
∴；故C正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故D错误；
故选D．
10. 已知一副三角板如图所示放置，含角的三角板的直角顶点 D 在含角的三角板斜边的中点处，点 M，N 分别是直角边 ，上的两点，且．连接，，其所在的两条直线相交于点 H，连接．当直角板在绕 D点旋转时，若，则长度的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，先证明连接，可得，进而可证明，即可知点H在以为直径的圆上，圆心O在线段的中点，据此问题随之得解．
【详解】连接，如图，

根据题意可知：是等腰直角三角形，点D 为斜边的中点，，
∴，，， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即点H在以为直径的圆上，圆心O在线段的中点，如图，
∴半径，
在中，，，
∴，
当A、H、O三点共线时，可得最小，
∵半径，
则最小，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理的推论等知识，确定点H在以为直径的圆上，是解答本题的关键．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11. 分解因式：=______．
【答案】x（x+2）（x﹣2）
【解析】
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
=
=x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键．
12. 如图，是的直径，的半径为2，为正十边形的一边， 且，则劣弧的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用正十边形的中心角求法得，再根据等腰三角形的性质及由平行线的性质求得的度数，进而求得，然后用弧长公式求解即可．
【详解】解：为正十边形的一边，
，
，
，
，
，
，
劣弧的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角、圆的定义、等腰三角形的性质、平行线的性质、弧长公式，熟练掌握基本图形的性质，会利用弧长公式求解弧长是解答的关键．
13. 如图，一次函数与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数 交于M，N两点，若，则k的值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，中点坐标公式的应用，先求解，，设，而，可得，可得，可得，再进一步可得答案．
【详解】解：∵一次函数与坐标轴交于A，B两点，
当，则，当，则，
∴，，
设，而，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
14. 如图，在矩形中，是对角线，，垂足为点M，点 E 是边上的一点，连接，，且．

（1）若，则______；
（2）若点E是的中点，则 的值为_______．
【答案】 ①. 58 ②.
【解析】
【分析】（1）根据，可得，问题即可得解；
（2）过点C作于点F，根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半可得，结合在（1）中，证明是等腰三角形，可得，再证明，进而可得，且设，即，再证明，可得，则有，问题得解．
【详解】（1）在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：58；
（2）过点C作于点F，如图，

∵在中，点E是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在（1）中已得，
∴，
∴，即是等腰三角形，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
在矩形中，，，
∴，
∴，
∴，且设，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，(负值舍去)
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开立方，再算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】原式
．
16. 某企业积极落实二十大精神，争取通过增收减支，到今年年底使企业利润翻一番，该企业的具体目标是：保证今年总产值比去年增加20%，总支出比去年减少20%，已知该企业去年的利润（利润总产值总支出）为200万元，求今年的总产值，总支出分别是多少万元？
【答案】总产值，总支出分别是720万元和320万元
【解析】
【分析】设去年的总产值，总支出分别是x万元和y万元，根据题意列二元一次方程组解题即可．
【详解】解：设去年的总产值，总支出分别是x万元和y万元，
则，
解得：，
∴今年的总产值为：万元，
总支出为万元，
答：今年的总产值，总支出分别是720万元和320万元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量列方程组是解题的关键．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17. 观察下列式子：
第1个式子：
第2个式子：
第3个式子：
第4个式子：
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）请写出第5个式子： ；
（2）请写出你猜想的第n个式子(用含n的等式表示， ，且为整数)，并证明．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是观察等式发现规律，总结规律．
（1）观察前几个等式的规律，即可写出第5个等式；
（2）结合（1）发现的规律即可写出第n个等式，证明式子左右两边相等即可．
【小问1详解】
解∶
【小问2详解】
猜想：，
证明：左边
，
右边 ，
左边右边，即证．
18. 如图，在平面直角坐标系中， 是格点三角形(顶点均在格点上)，且三个顶点的坐标分别为，请根据条件解决下列问题：
（1）以点 B为位似中心，位似比为2将放大，请在网格图中画出放大后的 ，并写出点和点的坐标；
（2）请仅用无刻度的直尺作出的一条中位线 (不写作法，保留作图痕迹)．
【答案】（1）见解析，；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据坐标系中位似作图的基本步骤，分类计算即可；
（2）根据点的坐标特点，确定中点，根据中位线定理的意义，作图即可．
本题考查了位似作图，中位线作图，熟练掌握位似作图的基本步骤，中位线的意义是解题的关键．
【小问1详解】
根据位似作图得基本步骤，且，
以点 B为位似中心，位似比为2将放大，位似作图如下：
故；．
【小问2详解】
根据坐标的特点，作图如下：
则中位线即为所求．
五、(本大题共2 小题，每小题 10分，满分20分)
19. 图1是某学校的教学楼，共五层，每个楼层的高度相等．为了安全，在此楼顶装有铁围栏，小明同学想通过所学知识测出铁围栏的高度(的长)．图2是平面示意图，小明同学站在教学楼对面的教师楼二楼走廊A处，观测正对面教学楼五楼楼顶C 处的仰角为 测完又走到教师楼三楼走廊 B 处，观测正对面铁围栏顶部 D的仰角为 ．教师楼每一层的高度和教学楼每一层高度相等，且在同一水平高度．已知教师楼和教学楼之间的水平距离 约为，请问小明同学测得铁围栏的高度约为多少米？(参考数据： )

【答案】小明同学测得铁围栏的高度约为
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，分别过点A，B作，则，解求出，则每一层高度为，据此可得；再解中，得到，则．
【详解】解：如图，分别过点A，B作．

由题可知．
在中，，
，
，
∴每一层高度为，
∴．
在中，，
，
，
∴．
答：小明同学测得铁围栏的高度约为．
20. 如图，在中，是直径，点 E 是弧的中点．
（1）如图1，连接，，若，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，延长，交于点D，若 ，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证明，根据平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边形，然后根据，说明四边形是菱形；
（2）连接，，，根据，得出，证明，得出，求出，根据垂直平分线的性质得出，即可求出结果．
【小问1详解】
证明：∵点E是弧的中点，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形．
【小问2详解】
解：如图，连接，，，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴的半径为 ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，垂直平分线的性质，菱形的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
六、(本题满分12分)
21. 在2024年4月23日“世界读书日”之前，我校为了了解学生阅读情况，对学生在2023年读课外书的数量进行了调查．下面是根据随机抽取的部分学生的读书数量情况整理的表格和两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解答下列问题．
被调查人数条形统计图 被调查人数扇形统计图
（1）此次抽样调查共调查了 名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）请说明样本数据中，学生读书数量中位数落在哪个范围内；
（4）我校共有名学生，估计在2023年读课外书的数量超过本的学生有多少名？
【答案】（1）
（2）见解析 （3）D组8~本
（4）名
【解析】
【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）由组人数及其所占百分比可得总人数；
（2）根据各分组人数之和等于总人数求得组人数，从而补全条形图；
（3）根据中位数的定义求解可得；
（4）用总人数乘以样本中超过本的学生占被调查人数的比例即可得．
【小问1详解】
解：此次抽样调查共调查了学生(名)．
故答案为∶．
【小问2详解】
C组的人数为：(名)．
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
共有个数据，
其中位数是第个数据的平均数，而第个数据均落在 D 组内，
学生读书数量的中位数落在D组8~本．
【小问4详解】
估计2023年读课外书的数量超过本的学生有 名)
七、(本题满分 12分)
22. 如图1，在中， 在内作，其中点D，E分别在边，上，过点 B作，垂足为点 F，且交 于点G．
（1）求证：；
（2）如图2，若是的中线，且，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证明，，可证；
（2）作，利用三角形相似，平行线分线段成比例定理，正切函数列式计算即可.
本题考查了三角形相似的判定和性质，正切函数的应用，平行线分线段成比例定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质，正切函数是解题的关键．
【小问1详解】
证明∵
∴.
∵，
∴，，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
【小问2详解】
解：如图，作.
∵，
∴设,则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
由(1)可知，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，，
∵是的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
八、(本题满分14分)
23. 已知，在平面直角坐标系内，抛物线 交x 轴于A，B 两点，交 y轴于点C，且．
（1）求抛物线与直线的解析式；
（2）点 P在抛物线的对称轴上，且使得的值最大，过对称轴上的另一点Q任作与x轴不平行的直线l，交抛物线于点 M，N，若的内心始终在抛物线的对称轴上，求点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，已知点 D是线段上(不含端点A，C)的一个动点，过点 D 作直线，交直线l于点E，过点E作，垂足为点 F，求线段的最小值．
【答案】（1）抛物线的解析式为： ，直线的解析式为
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法求一次函数、二次函数解析式，即可作答．
（2）先作图，根据内心定义，得出直线或直线与对称轴的交点即为Q点，求出直线的解析式为，代入，即可作答．
（3）运用分类讨论，①当直线l经过点A，时，则根据勾股定理得在中，则有②当直线l经过点时，则根据勾股定理得在中，则有结合二次函数的图象性质，即可作答．
【小问1详解】
解:∵抛物线 交x 轴于A，B 两点，交 y轴于点C，且．
∴
解得
∴抛物线的解析式为：
当时，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，把点A，C的坐标代入，
得
解得
∴直线的解析式为，
【小问2详解】
解：由可知：对称轴为直线，
连接并延长交于对称轴，交点即为点P，
此时的值最大，
把代入，解得
∴点P的坐标为，
设点C关于直线对称的点为，
要使得的内心始终在对称轴上，
根据对称性，直线l必经过或经过，
即直线或直线与对称轴的交点即为Q点，
设点直线的解析式为
把点和点C的坐标分别代入
得
解得
根据点和点C的坐标
可求出直线的解析式为，
当时，，
根据对称性，直线与对称轴的交点也为Q，坐标均为，
【小问3详解】
解：由于直线l有两条，分两种情况分析：
①当直线l经过点A，时，
设直线的解析式
把和代入
得
解得
∴直线的解析式为，
设点D的纵坐标为a，把代入直线和直线
可得

又∵，
在中，则有
由题可知，，
∴此时不存在最小值，
②当直线l经过点时，
设点D的纵坐标为a，把代入直线和直线
可得
∴
在中，则有
令
∴当时，t有最小值，最小值为
即当点D的纵坐标为时，
则
有最小值为
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，涉及待定系数法求一次函数、二次函数解析式，轴对称性质，勾股定理，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
A
B
C
A
AA
BA
CA
B
AB
BB
CB
C
AC
BC
CC
2023 年本校学生读课外书数量分组
A
B
C
D
E
0
1~3本
4~7本
8~本
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