2024年河南省中考数学三模复习训练试卷（解析版）

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选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，
“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，将这个数用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：，
故选：C．
2 . 下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方以及完全平方公式逐项计算即可．
【详解】解：A.2a与3b不是同类项，不能合并，故不正确；
B. ，故不正确；
C. ，故正确；
D. ，故不正确；
故选C．
3. 下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义逐一判断即可得答案．
【详解】A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
C.是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意，
D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
故选：C.
4. 计算的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．
【详解】解：
；
故选：C．
5 . 某校男子足球队的年龄分布如图所示，
则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中位数分别是（ ）

A．15.5，15.5B．15.5，15C．15，15.5D．15，15
【答案】D
【详解】根据图中信息可知这些队员年龄的平均数为：
=15岁，
该足球队共有队员2+6+8+3+2+1=22人，
则第11名和第12名的平均年龄即为年龄的中位数，即中位数为15岁，
故选：D．
某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，
某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将左图抽象成右图的数学问题：
在平面内，，的延长线交于点F；若，
则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形外角性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
7. 关于x的一元二次方程 （k为实数）根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．方程没有实数根D．不能确定
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可判断根的情况．
【详解】
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
8 . 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，
跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故选B

9. 如图，ABCD是一张矩形纸片，点E是AD边上的一点，将纸片沿直线BE翻折，
点A落在DC边上的点F处，若AB＝10，AD＝8，则DE的长为（ ）

A．6B．5C．4D．3
解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝10，AD＝8
∴，，
∵将纸片沿直线BE翻折，点A落在DC边上的点F处
∴，
在中，
∴
设
∴
在中，
∴，解得
∴，
故选：D．
10 . 如图，是以原点为圆心，为半径的圆，点P是直线上的一点，
过点P作的一条切线为切点，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】先确定点和点坐标，再计算出，则，再利用切线性质得到，根据勾股定理得到，
于是可判断最小时，最小，的值最小，然后求出此时的长，
再计算的最小值．
【详解】解：作于，连接、，
如图，
当时，，则，
当时，，解得，则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵为切线，
∴，
∴，
∴，
∵最小时，的值最小，
∵最小时，最小，
∴当，即点运动到点时，最小，的值最小，
此时，
∴的最小值．
故选：D．
填空题（本大题共有5个小题，每小题3分，共15分）
11 现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，
卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，
则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．

【答案】
【分析】根据概率公式即可求解．
【详解】解：将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，
则抽出的卡片图案是琮琮的概率是
故答案为：．
12. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 .
【答案】且
【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到，且，求解即可．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且，
故答案为：且．
13. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
14. 某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，
经过______分钟时，当两仓库快递件数相同．

【答案】20
【分析】利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，在求出两直线的交点即可得到答案．
【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
联立，
解得：，
经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，
故答案为：20．
15 .如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，
将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF=__________．

【答案】
解：过E作EH⊥CF于H，
则有∠HEC+∠ECH=90°，
由折叠的性质得：BE=EF，∠BEA=∠FEA，
∵点E是BC的中点，
∴CE=BE，
∴EF=CE，
∴∠FEH=∠CEH，
∴∠AEB+∠CEH=90°，
∴∠ECH=∠AEB，即∠ECF=∠AEB，
在矩形ABCD中，
∵∠B=90°，
∴ AE==10，
∴sin∠ECF=sin∠AEB= = ，
故答案为．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：－tan60°；
（2）化简：．
【答案】（1）-2；（2）
【分析】（1）先化简二次根式，绝对值，计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再合并即可；
（2）先计算括号内的分式的减法，再把除法转化为乘法运算，约分后可得结果．
【详解】解：（1）－tan60°
=2+1－－3－
=－2；
（2）
．
17. 第31届世界大学生运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，
某校开展了“热爱体育，喜迎大运”系列活动，增设篮球、足球、柔道、射击共四个课外活动项目．
为了解全校1800名同学对增设的四个活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，
对他们喜爱的项目（每人限选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，
并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：

(1)参加问卷调查的同学共______名，补全条形统计图；
(2)估计该校1800名同学中喜爱篮球运动的人数；
(3)学校准备组建一支校足球队，某班甲、乙、丙、丁四名同学平时都很喜欢足球运动，现决定从这四人中任选两名同学加入球队，请你用树状图或列表法求恰好选中乙、丙两名同学的概率．
【答案】(1)60，补全条形统计图见详解.
(2)该校1800名同学中喜爱篮球运动的人数约为540人.
(3).
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
（1）用喜爱足球的人数除以其所占的百分比可得参加问卷调查的同学的人数，用参加问卷调查的同学的人数分别减去喜爱篮球、足球、射击的人数，求出喜爱柔道的人数，补全条形统计图即可．
（2）根据用样本估计总体，用1800乘以参加问卷调查的同学中喜爱篮球运动的人数的百分比，即可得出答案．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选中乙、丙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：参加问卷调查的同学共（名）
喜爱柔道的人数为（名），补全条形统计图如图所示；
（2）解：（人），
∴该校1800名同学中喜爱篮球运动的人数约为540人；
（3）画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好选中乙、丙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中乙、丙两名同学的概率为．
18 .近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，
其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱BC＝18cm，灯臂CD＝33cm，
灯罩DE＝20cm，BC⊥AB，CD，DE分别可以绕点C，D上下调节一定的角度．经使用发现：
当∠DCB＝140°，且ED∥AB时，台灯光线最佳．求此时点D到桌面AB的距离．
（精确到0.1cm，参考数值：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【答案】点D到桌面AB的距离约为43.4cm
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数，即可得到DF的长，再根据FG＝CB，即可求得DG的长，从而可以解答本题．
【详解】解：过点D作DG⊥AB，垂足为G，过点C作CF⊥DG，垂足为F，如图所示，

∵CB⊥AB，FG⊥AB，CF⊥FG，
∴∠B＝∠BGF＝∠GFC＝90°，
∴四边形BCFG为矩形，
∴∠BCF＝90°，FG＝BC＝18cm，
又∵∠DCB＝140°，
∴∠DCF＝50°，
∵CD＝33cm，∠DFC＝90°，
∴DF＝CD•sin50°≈33×0.77＝25.41（cm），
∴DG≈25.41+18≈43.4（cm），
答：点D到桌面AB的距离约为43.4cm．
19 .端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？
【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子
【分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．
【详解】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的最大值为87；
答：最多购进87个甲种粽子．
20 . 如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图像直接写出不等式时的解集．
【答案】(1)
(2)6
(3)或
【分析】（1）先把代入求解反比例函数解析式，再求解A的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）先求解C的坐标，再利用，从而可得答案.
（3）由可得：一次函数的图象在反比例函数图象的下方，结合函数图象可得答案.
【详解】（1）解：把代入得：

所以反比例函数的解析式为：
把代入得

把代入得：
解得：
所以一次函数的解析式为：
（2）解：为
令 则 即

（3）解：由可得：
一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
所以：或
21 .如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．求证：
(1)△EDA∽△EBD；
(2)ED•BC＝AO•BE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)连接DO，通过证明△COD≌△COB得到∠CDO＝∠CBO＝90°，然后通过两角对应相等得出结论；
(2)通过证明△EOD∽△ECB得到＝，进一步得出结果.
【详解】（1）连接DO，如图：
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，
∴∠CBO＝90°，
∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠EDO＝∠ADB＝90°，即∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠BDO，
∵OD＝OB，
∴∠BDO＝∠DBO，
∴∠EDA＝∠DBO，即∠EDA＝∠DBE，
∵∠E＝∠E，
∴△EDA∽△EBD；
（2）由（1）知：∠EDO＝∠EBC＝90°，
又∠E＝∠E，
∴△EOD∽△ECB，
∴＝，
∴ED•BC＝OD•BE
∵OD＝AO，
∴ED•BC＝AO•BE．
22. 在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
点D、E和F分别是斜边AB、直角边AC和直角边BC上的动点，∠EDF=90°，
(1)如图1，若四边形DECF是正方形，求这个正方形的边长．
(2)如图2，若E点正好运动到C点，并且tan∠DCF=，求BF的长．
(3)如图3，当时，求的值
【答案】(1)；
(2)1；
(3)
【分析】（1）设正方形的边长为x，则AE＝3－x，由正方形的性质，得DEBC，则AE：AC＝DE：BC，代入计算即可求解；
（2）过D点作DG⊥BC，垂足为G点，由tan∠DCF＝，得DG：CG＝1：2，设DG＝y，则CG＝2y，则BG＝4－2x，根据DGAC，得DG：AC＝BG：BC，代入即可求得x=1.2，从而求得BG＝4－2x＝1.6，再根据tan∠GDF =tan∠DCF＝，得，即可求得FG＝0.6，然后由FB＝BG－FG求解即可；
（3）过D点作DM⊥AC，垂足为M点，作DN⊥BC，垂足为N点，先由勾股定理求得AB=5，再证明Rt△DME∽Rt△DNF，得＝，由=，得=，设DM＝z，则DN＝2z，再由DMBC ，得DM：BC＝AM：AC＝AD：AB，即z：4＝（3－2z）：3 ，解得 z＝，所以：4＝AD：5 ，求得AD＝，BD＝5－＝，即可代入求解．
【详解】（1）解：∵四边形AOBC是的正方形，
∴DEBC，
∴AE：AC＝DE：BC
设正方形的边长为x，则AE＝3－x，
∴（3－x）：3＝x：4，
解得 x＝，
即这个正方形的边长为；
（2）解：过D点作DG⊥BC，垂足为G点，如图2，
∵tan∠DCF＝，
∴DG：CG＝1：2
设DG＝y，则CG＝2y，
∴BG＝4－2y，
∵DGAC，
∴DG：AC＝BG：BC，
∴y：3＝（4－2y）：4，解得 y＝1.2 ，
BG＝4－2y＝1.6，
∵∠EDF＝，
∴∠CDG＋∠GDF＝，
∵DG⊥BC，
∴∠CDG＋∠DCG＝，
∴∠GDF＝∠DCG，
∵tan∠DCF＝，
∴tan∠GDF＝，
∴，
∵DG＝1.2，
∴FG＝0.6，
∴FB＝BG－FG＝1.6－0.6 ＝1；
（3）解：过D点作DM⊥AC，垂足为M点，过D点作DN⊥BC，垂足为N点，如图3，
∵∠ACB＝，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∵DM⊥AC，DN⊥BC，∠ACB＝，
∴∠MDN＝，
∴∠MDE＋∠EDN＝，
∵∠EDF＝，
∴∠FDN＋∠EDN＝，
∴∠MDE＝∠FDN，
∴Rt△DME∽Rt△DNF，
∴＝，
∵=，
∴=，
设DM＝z，则DN＝2z，
∵DMBC ，
∴DM：BC＝AM：AC＝AD：AB，
∴z：4＝（3－2z）：3 ，解得 z＝，
∴：4＝AD：5 ，
∴AD＝，BD＝5－＝，
∴＝．
如图，抛物线与轴交于， 两点，点在点 的左边，与轴交于点，
点是抛物线的顶点，且，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线下方的抛物线上一动点，不与点，重合，过点 作 轴的垂线交 于点，求面积的最大值及此时点坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2＋2x－6；（2）S△ACP有最大值，点P的坐标是（－3，－）；（3）存在， M的坐标是（－2，4）或（－2，－8）或（－2，－3＋）或（－2，－3－）．
【分析】（1）设抛物线的解析式是y＝a（x＋2）2－8，把A（－6，0）代入即可求出解析式；
（2）先求出点C（0，－6），设点P（m，m2＋2m－6），设直线AC的解析式是y＝kx＋b，解得直线AC的解析式是y＝－x－6，得到E（m，－m－6），PE＝－m2－3m，利用S△ACP＝S△AEP＋S△CEP，即可得到答案；
（3）根据OA＝OC，得到∠OAC＝∠OCA＝45°，再分三种情况：①当∠CAM＝90°时，②当∠ACM＝90°时，③当∠AMC＝90°时，分别求出答案.
【详解】（1）设抛物线的解析式是y＝a（x＋2）2－8，把A（－6，0）代入得a（－6＋2）2－8＝0，解得a＝，
∴y＝（x＋2）2－8＝x2＋2x－6；
（2）解：当x＝0时，y＝－6，∴C（0，－6），
设点P（m，m2＋2m－6），
设直线AC的解析式是y＝kx＋b，
把A（－6，0），C（0，－6）代入得
，解得
∴直线AC的解析式是y＝－x－6，
∵PE⊥x轴交AC于E，
∴E（m，－m－6），
∴PE＝－m－6－（m2＋2m－6）＝－m2－3m（－6＜m＜0），
∵S△ACP＝S△AEP＋S△CEP＝=,
∴当m＝－3时，S△ACP有最大值，最大值为，
此时点P的坐标是（－3，－）；
（3）存在，抛物线的对称轴是直线x＝－2，设M（－2，t）．
直线x＝－2交x轴于H，
在Rt△AOC中，OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°.
①当∠CAM＝90°时，如图1，∠MAO＝90°－∠OAC＝45°，
∴AH＝MH＝4，
∴M（－2，4）；
②当∠ACM＝90°时，如图2，过点M作MG⊥y轴于G，
则∠MCG＝180°－∠ACM－∠ACO＝45°，
∴MG＝CG＝2，
∴OG＝OC＋CG＝8，
∴M（－2，－8）；
③当∠AMC＝90°时，如图3，
设M（-2，t），
∵AM2＋CM2＝AC2，
∴（－2＋6）2＋t2＋（－2）2＋（t＋6）2＝72，解得t＝－3±，
∴M（－2，－3＋）或（－2，－3－），
∴综上所述，M的坐标是（－2，4）或（－2，－8）或（－2，－3＋）或（－2，－3－）.